數(shù)學(xué)分析講義（第一冊）

前言

　　第二次世界大戰(zhàn)后移居美國的法國數(shù)學(xué)家AndWeil于1954年在一篇指導(dǎo)芝加哥大學(xué)攻讀數(shù)學(xué)的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的題為“數(shù)學(xué)課程”的文章（參看【22】）中寫道：“……傳統(tǒng)的（20世紀(jì)初期的）數(shù)學(xué)課程設(shè)置比較簡單：二維和三維的解析幾何，初等代數(shù)（即初等方程式論）……然后便是微積分及其在曲線及曲面理論上的應(yīng)用。微積分課程最終延伸和發(fā)展成復(fù)變函數(shù)論……也許還要討論一下橢圓函數(shù)的定義及它的一些公式，這樣，學(xué)生便被認(rèn)為是個(gè)可以進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的成熟的數(shù)學(xué)家了?！盇。Weil繼續(xù)寫道：“很不幸，當(dāng)今（指作者寫該文時(shí)的1954年）的數(shù)學(xué)教師和攻讀數(shù)學(xué)的學(xué)生就不那么輕松了。上述的課題仍然是基本的，但已是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠了。因此，必須想方設(shè)法地在較短時(shí)間內(nèi)完成更多的教學(xué)任務(wù)。約半個(gè)世紀(jì)以來，抽象數(shù)學(xué)，或稱公理化方法的發(fā)展清楚地告訴我們：數(shù)學(xué)，部分地說，是種語言。這種語言必須趕上科學(xué)發(fā)展對它的需求，它有自身必須學(xué)習(xí)的語法和詞匯。近代數(shù)學(xué)的語法和詞匯主要是由集合論，一般拓?fù)浜痛鷶?shù)提供的……雖然，這些內(nèi)容也曾滲透到傳統(tǒng)的微積分與幾何學(xué)的課程中，但因支離破碎地分散在不同數(shù)學(xué)分支的課文中而浪費(fèi)大量時(shí)間?！?/pre>


內(nèi)容概要
本書是作者在清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系(1987—2003)及北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(2003—2009)給本科生講授數(shù)學(xué)分析課的講稿的基礎(chǔ)上編成的。一方面，作者力求以近代數(shù)學(xué)(集合論，拓?fù)?，測度論，微分流形和微分形式)
的語言來介紹數(shù)學(xué)分析的基本知識，以使同學(xué)盡早熟悉近代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中的表述方式。另一方面在篇幅允許的范圍內(nèi)，作者盡可能地介紹數(shù)學(xué)分析與其他學(xué)科(特別是物理學(xué))的聯(lián)系，以使同學(xué)理解自然現(xiàn)象一直是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要源泉。全書分為三冊。第一冊包括：集合與映射，實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)，極限，連續(xù)函數(shù)類，一元微分學(xué)和一元函數(shù)的Riemann積分；第二冊包括：點(diǎn)集拓?fù)涑醪?，多元微分學(xué)，測度和積分；第三冊包括：Fourier分析初步，微分流形，重線性代數(shù)，微分形式和流形上的積分學(xué)。每章都配有豐富的習(xí)題，它除了提供同學(xué)訓(xùn)練和熟悉正文中的內(nèi)容外，也介紹了許多補(bǔ)充知識。
本書可作為高等院校數(shù)學(xué)系攻讀數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)的本科生數(shù)學(xué)分析課程的教材或教學(xué)參考書，也可作為需要把數(shù)學(xué)當(dāng)做重要工具的同學(xué)f例如攻讀物理的同學(xué))的教學(xué)參考書。


作者簡介
陳天權(quán)，1959年畢業(yè)于北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系。曾講授過數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)，實(shí)變函數(shù)，復(fù)變函數(shù)，概率論，泛函分析等課程。主要的研究方向是非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)力學(xué)。


書籍目錄
第1章　集合與映射
　1.1　集合
　1.2　集合運(yùn)算及幾個(gè)邏輯符號
　1.3　映射
　1.4　映射的乘積(或復(fù)合)
　1.5　可數(shù)集
　1.6　習(xí)題
　1.7　補(bǔ)充教材一：關(guān)于自然數(shù)集合N
　1.8　補(bǔ)充教材二：基數(shù)的比較
　1.9　補(bǔ)充習(xí)題
　進(jìn)一步閱讀的參考文獻(xiàn)
第2章　實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)
  2.1　實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算
  2.2　實(shí)數(shù)的大小次序
  2.3　實(shí)數(shù)域的完備性
  2.4　復(fù)數(shù)
  2.5　習(xí)題
  2.6　補(bǔ)充教材一：整數(shù)環(huán)z與有理數(shù)域Q的構(gòu)筑
  2.7　補(bǔ)充教材二：實(shí)數(shù)域R的構(gòu)筑
  進(jìn)一步閱讀的參考文獻(xiàn)
  第3章　極限
  3.1　序列的極限
  3.2　序列極限的存在條件
  3.3　級數(shù)
  3.4　正項(xiàng)級數(shù)收斂性的判別法
  3.5　冪級數(shù)
  3.6　函數(shù)的極限
  3.7　習(xí)題
  進(jìn)一步閱讀的參考文獻(xiàn)
第4章　連續(xù)函數(shù)類和其他函數(shù)類
  4.1　連續(xù)函數(shù)的定義及其局部性質(zhì)
  4.2 (有界)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)
  4.3　單調(diào)連續(xù)函數(shù)及其反函數(shù)
  4.4　函數(shù)列的一致收斂性
  4.5　習(xí)題
  4.6　補(bǔ)充教材：半連續(xù)函數(shù)及階梯函數(shù)
  進(jìn)一步閱讀的參考文獻(xiàn)
第5章　一元微分學(xué)
  5.1　導(dǎo)數(shù)和微分
  5.2　導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算規(guī)則
  5.3　可微函數(shù)的整體性質(zhì)及其應(yīng)用
  5.4　高階導(dǎo)數(shù)，高階微分及Taylor公式
  5.5　Taylor級數(shù)
  5.6　凸函數(shù)
  5.7　幾個(gè)常用的不等式
  5.8　習(xí)題
  5.9　補(bǔ)充教材一：關(guān)于可微函數(shù)的整體性質(zhì)
  5.10　補(bǔ)充教材二：一維線性振動的數(shù)學(xué)表述
　　5.10.1　諧振子
　　5.10.2　阻尼振動
　　5.10.3　強(qiáng)迫振動
  進(jìn)一步閱讀的參考文獻(xiàn)
第6章  一元函數(shù)的Riemann積分
  6.1  Riemann積分的定義
  6.2  Riemann積分的簡單性質(zhì)
  6.3  微積分學(xué)基本定理
  6.4  積分的計(jì)算
  6.5  有理函數(shù)的積分
  6.6  可以化為有理函數(shù)積分的積分
    6.6.1  R(x，■)的積分
    6.6.2  R(x，根號ax2+bx+c)的積分
    6.6.3  R(sinx，cosx)的積分
  6.7  反常積分
  6.8  積分在幾何學(xué)，力學(xué)與物理學(xué)中的應(yīng)用
    6.8.1  定向區(qū)間的可加函數(shù)
    6.8.2  曲線的弧長
    6.8.3  功
  6.9  習(xí)題
  6.10  補(bǔ)充教材一：關(guān)于Newton—Leibniz公式成立的條件
  6.11  補(bǔ)充教材二：Stieltje8積分
  6.12  補(bǔ)充教材三：單擺的平面運(yùn)動和橢圓函數(shù)
    6.12.1  一維的非線性振動的例：單擺的平面運(yùn)動
    6.12.2  描述單擺平面運(yùn)動的橢圓函數(shù)
  6.13  補(bǔ)充教材四：上、下積分的定義
  進(jìn)一步閱讀的參考文獻(xiàn)
附錄　部分練習(xí)及附加習(xí)題的提示
參考文獻(xiàn)
名詞索引


章節(jié)摘錄
版權(quán)頁：   插圖：   §1.5 可數(shù)集 兩個(gè)有限集的元素的個(gè)數(shù)（或稱集合的基數(shù)）相等的充分必要條件是它們之間可以建立一個(gè)一一對應(yīng)（或稱雙射）。將此概念推廣，我們稱兩個(gè)（有限或無限）集合有相同的基數(shù)（cardinal number），假若它們之間能建立一個(gè)雙射，若集合A與集合B的某子集之間能建立一個(gè)雙射（等價(jià)地，有一個(gè)A→B的單射），則稱集合A的基數(shù)小于或等于集合B的基數(shù)。若集合A與集合B的某子集之間能建立一個(gè)雙射，但集合A與集合B之間不能建立任何雙射，則稱集合A的基數(shù)小于集合B的基數(shù)。 以上引進(jìn)的（有限或無限）集合的基數(shù)的概念是有限集的元素的個(gè)數(shù)概念的自然推廣。但是，我們不久會發(fā)現(xiàn)，有限集的元素個(gè)數(shù)概念有些重要性質(zhì)是一般集合的基數(shù)概念所沒有的。 例1.5.1 全體自然數(shù)構(gòu)成的集合N與全體偶自然數(shù)構(gòu)成的集合{k= 2n：n ∈N}有相同的基數(shù)，因?yàn)樗鼈冎g可以建立如下的雙射： φ：N→{k= 2n：n ∈N）， φ（n）=2n。 應(yīng)該指出，{k= 2n：n ∈N）是集合N的真子集，一個(gè)無限集（它的確切定義下面給出）有可能和它的某個(gè)真子集有相同的基數(shù)，而有限集是不可能與它的任何真子集有相同的基數(shù)的。換言之，任何有限集的真子集的基數(shù)永遠(yuǎn)小于該有限集的基數(shù)，而無限集是有可能與它的某個(gè)真子集有相同的基數(shù)的。這個(gè)性質(zhì)是有限集與無限集的分水嶺，它可以作為集合是有限集還是無限集的定義。但是，以下的定義也許更直觀： 定義1.5.1滿足以下兩個(gè)條件之一的集合A稱為有限集： （1）A是空集； （2）有自然數(shù)n，使得集合{1，…，n}與A有相同基數(shù)。 空集的基數(shù)定義為0，與{1，…，n）有相同基數(shù)的集合的基數(shù)定義為n。非有限集稱為無限集。 利用自然數(shù)集N的公理（參看1.7節(jié)）及由公理而推得的自然數(shù)集N的性質(zhì)，不難證明關(guān)于有限集基數(shù)的以下性質(zhì)（同學(xué)自學(xué)了§1.7后，利用數(shù)學(xué)歸納原理不難自行證明它們）：（1）有限集的子集仍是有限集；（2）任何有限集的子集的基數(shù)小于或等于該集的基數(shù)；（3）任何有限集的真子集的基數(shù)小于原集的基數(shù)；（4）有限個(gè)有限集的并仍是有限集。




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