數(shù)學分析講義（第一冊）

前言

　　第二次世界大戰(zhàn)后移居美國的法國數(shù)學家AndWeil于1954年在一篇指導芝加哥大學攻讀數(shù)學的學生學習數(shù)學的題為“數(shù)學課程”的文章（參看【22】）中寫道：“……傳統(tǒng)的（20世紀初期的）數(shù)學課程設置比較簡單：二維和三維的解析幾何，初等代數(shù)（即初等方程式論）……然后便是微積分及其在曲線及曲面理論上的應用。微積分課程最終延伸和發(fā)展成復變函數(shù)論……也許還要討論一下橢圓函數(shù)的定義及它的一些公式，這樣，學生便被認為是個可以進行數(shù)學研究的成熟的數(shù)學家了?！盇。Weil繼續(xù)寫道：“很不幸，當今（指作者寫該文時的1954年）的數(shù)學教師和攻讀數(shù)學的學生就不那么輕松了。上述的課題仍然是基本的，但已是遠遠不夠了。因此，必須想方設法地在較短時間內(nèi)完成更多的教學任務。約半個世紀以來，抽象數(shù)學，或稱公理化方法的發(fā)展清楚地告訴我們：數(shù)學，部分地說，是種語言。這種語言必須趕上科學發(fā)展對它的需求，它有自身必須學習的語法和詞匯。近代數(shù)學的語法和詞匯主要是由集合論，一般拓撲和代數(shù)提供的……雖然，這些內(nèi)容也曾滲透到傳統(tǒng)的微積分與幾何學的課程中，但因支離破碎地分散在不同數(shù)學分支的課文中而浪費大量時間?！?/pre>


內(nèi)容概要
本書是作者在清華大學數(shù)學科學系(1987—2003)及北京大學數(shù)學科學學院(2003—2009)給本科生講授數(shù)學分析課的講稿的基礎上編成的。一方面，作者力求以近代數(shù)學(集合論，拓撲，測度論，微分流形和微分形式)
的語言來介紹數(shù)學分析的基本知識，以使同學盡早熟悉近代數(shù)學文獻中的表述方式。另一方面在篇幅允許的范圍內(nèi)，作者盡可能地介紹數(shù)學分析與其他學科(特別是物理學)的聯(lián)系，以使同學理解自然現(xiàn)象一直是數(shù)學發(fā)展的重要源泉。全書分為三冊。第一冊包括：集合與映射，實數(shù)與復數(shù)，極限，連續(xù)函數(shù)類，一元微分學和一元函數(shù)的Riemann積分；第二冊包括：點集拓撲初步，多元微分學，測度和積分；第三冊包括：Fourier分析初步，微分流形，重線性代數(shù)，微分形式和流形上的積分學。每章都配有豐富的習題，它除了提供同學訓練和熟悉正文中的內(nèi)容外，也介紹了許多補充知識。
本書可作為高等院校數(shù)學系攻讀數(shù)學、應用數(shù)學、計算數(shù)學的本科生數(shù)學分析課程的教材或教學參考書，也可作為需要把數(shù)學當做重要工具的同學f例如攻讀物理的同學)的教學參考書。


作者簡介
陳天權(quán)，1959年畢業(yè)于北京大學數(shù)學力學系。曾講授過數(shù)學分析，高等代數(shù)，實變函數(shù)，復變函數(shù)，概率論，泛函分析等課程。主要的研究方向是非平衡態(tài)統(tǒng)計力學。


書籍目錄
第1章　集合與映射
　1.1　集合
　1.2　集合運算及幾個邏輯符號
　1.3　映射
　1.4　映射的乘積(或復合)
　1.5　可數(shù)集
　1.6　習題
　1.7　補充教材一：關于自然數(shù)集合N
　1.8　補充教材二：基數(shù)的比較
　1.9　補充習題
　進一步閱讀的參考文獻
第2章　實數(shù)與復數(shù)
  2.1　實數(shù)的四則運算
  2.2　實數(shù)的大小次序
  2.3　實數(shù)域的完備性
  2.4　復數(shù)
  2.5　習題
  2.6　補充教材一：整數(shù)環(huán)z與有理數(shù)域Q的構(gòu)筑
  2.7　補充教材二：實數(shù)域R的構(gòu)筑
  進一步閱讀的參考文獻
  第3章　極限
  3.1　序列的極限
  3.2　序列極限的存在條件
  3.3　級數(shù)
  3.4　正項級數(shù)收斂性的判別法
  3.5　冪級數(shù)
  3.6　函數(shù)的極限
  3.7　習題
  進一步閱讀的參考文獻
第4章　連續(xù)函數(shù)類和其他函數(shù)類
  4.1　連續(xù)函數(shù)的定義及其局部性質(zhì)
  4.2 (有界)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)
  4.3　單調(diào)連續(xù)函數(shù)及其反函數(shù)
  4.4　函數(shù)列的一致收斂性
  4.5　習題
  4.6　補充教材：半連續(xù)函數(shù)及階梯函數(shù)
  進一步閱讀的參考文獻
第5章　一元微分學
  5.1　導數(shù)和微分
  5.2　導數(shù)與微分的運算規(guī)則
  5.3　可微函數(shù)的整體性質(zhì)及其應用
  5.4　高階導數(shù)，高階微分及Taylor公式
  5.5　Taylor級數(shù)
  5.6　凸函數(shù)
  5.7　幾個常用的不等式
  5.8　習題
  5.9　補充教材一：關于可微函數(shù)的整體性質(zhì)
  5.10　補充教材二：一維線性振動的數(shù)學表述
　　5.10.1　諧振子
　　5.10.2　阻尼振動
　　5.10.3　強迫振動
  進一步閱讀的參考文獻
第6章  一元函數(shù)的Riemann積分
  6.1  Riemann積分的定義
  6.2  Riemann積分的簡單性質(zhì)
  6.3  微積分學基本定理
  6.4  積分的計算
  6.5  有理函數(shù)的積分
  6.6  可以化為有理函數(shù)積分的積分
    6.6.1  R(x，■)的積分
    6.6.2  R(x，根號ax2+bx+c)的積分
    6.6.3  R(sinx，cosx)的積分
  6.7  反常積分
  6.8  積分在幾何學，力學與物理學中的應用
    6.8.1  定向區(qū)間的可加函數(shù)
    6.8.2  曲線的弧長
    6.8.3  功
  6.9  習題
  6.10  補充教材一：關于Newton—Leibniz公式成立的條件
  6.11  補充教材二：Stieltje8積分
  6.12  補充教材三：單擺的平面運動和橢圓函數(shù)
    6.12.1  一維的非線性振動的例：單擺的平面運動
    6.12.2  描述單擺平面運動的橢圓函數(shù)
  6.13  補充教材四：上、下積分的定義
  進一步閱讀的參考文獻
附錄　部分練習及附加習題的提示
參考文獻
名詞索引


章節(jié)摘錄
版權(quán)頁：   插圖：   §1.5 可數(shù)集 兩個有限集的元素的個數(shù)（或稱集合的基數(shù)）相等的充分必要條件是它們之間可以建立一個一一對應（或稱雙射）。將此概念推廣，我們稱兩個（有限或無限）集合有相同的基數(shù)（cardinal number），假若它們之間能建立一個雙射，若集合A與集合B的某子集之間能建立一個雙射（等價地，有一個A→B的單射），則稱集合A的基數(shù)小于或等于集合B的基數(shù)。若集合A與集合B的某子集之間能建立一個雙射，但集合A與集合B之間不能建立任何雙射，則稱集合A的基數(shù)小于集合B的基數(shù)。 以上引進的（有限或無限）集合的基數(shù)的概念是有限集的元素的個數(shù)概念的自然推廣。但是，我們不久會發(fā)現(xiàn)，有限集的元素個數(shù)概念有些重要性質(zhì)是一般集合的基數(shù)概念所沒有的。 例1.5.1 全體自然數(shù)構(gòu)成的集合N與全體偶自然數(shù)構(gòu)成的集合{k= 2n：n ∈N}有相同的基數(shù)，因為它們之間可以建立如下的雙射： φ：N→{k= 2n：n ∈N）， φ（n）=2n。 應該指出，{k= 2n：n ∈N）是集合N的真子集，一個無限集（它的確切定義下面給出）有可能和它的某個真子集有相同的基數(shù)，而有限集是不可能與它的任何真子集有相同的基數(shù)的。換言之，任何有限集的真子集的基數(shù)永遠小于該有限集的基數(shù)，而無限集是有可能與它的某個真子集有相同的基數(shù)的。這個性質(zhì)是有限集與無限集的分水嶺，它可以作為集合是有限集還是無限集的定義。但是，以下的定義也許更直觀： 定義1.5.1滿足以下兩個條件之一的集合A稱為有限集： （1）A是空集； （2）有自然數(shù)n，使得集合{1，…，n}與A有相同基數(shù)。 空集的基數(shù)定義為0，與{1，…，n）有相同基數(shù)的集合的基數(shù)定義為n。非有限集稱為無限集。 利用自然數(shù)集N的公理（參看1.7節(jié)）及由公理而推得的自然數(shù)集N的性質(zhì)，不難證明關于有限集基數(shù)的以下性質(zhì)（同學自學了§1.7后，利用數(shù)學歸納原理不難自行證明它們）：（1）有限集的子集仍是有限集；（2）任何有限集的子集的基數(shù)小于或等于該集的基數(shù)；（3）任何有限集的真子集的基數(shù)小于原集的基數(shù)；（4）有限個有限集的并仍是有限集。




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