高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)

前言

高等數(shù)學(xué)是理工科高等院校的一門重要的基礎(chǔ)課，它對學(xué)生綜合素質(zhì)的培養(yǎng)及后續(xù)課程的學(xué)習(xí)起著極其重要的作用。隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，高等學(xué)校各個專業(yè)對高等數(shù)學(xué)的要求不斷提高，數(shù)學(xué)正在日益滲透到各個專業(yè)領(lǐng)域，已成為人們學(xué)習(xí)和研究各門專業(yè)知識的重要工具。掌握好高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本理論及基本技能和分析方法，對學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)有很大幫助。同時，高等數(shù)學(xué)也是工科院校碩士研究生入學(xué)考試的必考科目。由于高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容繁多，習(xí)題浩如煙海，剛?cè)氪髮W(xué)校門的學(xué)生學(xué)習(xí)時會產(chǎn)生一定的難度。為了克服這種困難，我們組織了具有豐富教學(xué)經(jīng)驗的教師，以國家教育部工科數(shù)學(xué)課程指導(dǎo)委員會制定的《高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的基本要求》為依據(jù)，結(jié)合目前高等數(shù)學(xué)課程的實際教學(xué)情況，與同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系主編的《高等數(shù)學(xué)》（第六版）教材同步，編寫了《高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)》一書。本書集編寫組教師多年的教學(xué)經(jīng)驗，將一些典型例題及解題方法與技巧融入書中。它將會成為學(xué)生學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》的良師益友。本書以基本題為主，側(cè)重基本概念、基礎(chǔ)知識和基本技能的訓(xùn)練，突出重點，質(zhì)疑難點，既可幫助學(xué)生解決教材中的一些難點內(nèi)容，又能使學(xué)生學(xué)會舉一反三、觸類旁通，提高分析問題與解決問題的能力。全書各章分為教學(xué)基本要求、本章導(dǎo)學(xué)、知識點精要、疑難問題及常見錯誤例析、典型例題解析、同步習(xí)題及解答和數(shù)學(xué)史料7個部分。（1）教學(xué)基本要求：根據(jù)教育部工科數(shù)學(xué)課程指導(dǎo)委員會制定的《高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的基本要求》，明確指出對各章教學(xué)內(nèi)容的要求，使學(xué)生了解教學(xué)目標(biāo)。（2）本章導(dǎo)學(xué)：指出本章知識的結(jié)構(gòu)和內(nèi)在聯(lián)系，以及與其他知識點的聯(lián)系，同時指出本章要掌握的主要內(nèi)容以及學(xué)習(xí)這些內(nèi)容的方法。（3）知識點精要：給出該章的主要定義及重要命題，補充書上沒有但在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常利用的一些重要結(jié)論。（4）疑難問題及常見錯誤例析：對學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中遇到的疑難問題及常見錯誤用例題或問答方式進行分析和解答，以幫助學(xué)生加深對概念的理解和運算方法的掌握。（5）典型例題解析：列舉該章的重點題型，并歸納總結(jié)各種題型的解決方法、技巧和注意問題，以幫助提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。（6）同步習(xí)題及解答：每章最后都給出與教學(xué)內(nèi)容同步的練習(xí)題及詳細的解答，以幫助學(xué)生鞏固內(nèi)容，檢查學(xué)習(xí)效果。（7）數(shù)學(xué)史料：對本章所涉及的數(shù)學(xué)內(nèi)容的產(chǎn)生、發(fā)展進行簡單介紹，以提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

內(nèi)容概要

本書以國家教育部工科數(shù)學(xué)課程指導(dǎo)委員會制定的《高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的基本要求》為依據(jù)，結(jié)合目前該門課程的實際教學(xué)情況編寫，凝結(jié)了編寫組教師多年的教學(xué)經(jīng)驗。本書與同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系主編的《高等數(shù)學(xué)》（第六版）教材同步，共分12章，每章由教學(xué)基本要求、本章導(dǎo)學(xué)、知識點精要、疑難問題及常見錯誤例析、典型例題解析、同步習(xí)題及解答和數(shù)學(xué)史料7個部分組成。本書以基本題為主，側(cè)重基本概念基礎(chǔ)知識和基本技能的訓(xùn)練，突出重點，質(zhì)疑難點，既可以幫助學(xué)生解決教材中的一些重點難點問題，又能使學(xué)生學(xué)會舉一反三、觸類旁通，提高分析問題與解決問題的能力。    本書是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書，可作為理工科院校本科或?qū)？茖W(xué)生的學(xué)習(xí)指導(dǎo)書或考研參考書，也可以作為相關(guān)課程教學(xué)人員的教學(xué)參考用書。

書籍目錄

第1章　函數(shù)與極限　1.1　教學(xué)基本要求　1.2　本章導(dǎo)學(xué)　1.3　知識點精要　　1.3.1  函數(shù)　　1.3.2　極限　　1.3.3　函數(shù)的連續(xù)性　1.4　疑難問題及常見錯誤例析　1.5　典型例題解析　　1.5.1　函數(shù)的概念　　1.5.2　求極限的方法　　1.5.3　極限的存在性　　1.5.4  己知函數(shù)的極限值，確定函數(shù)中的常數(shù)　　1.5.5　無窮小的階　　1.5.6　函數(shù)連續(xù)性判斷　　1.5.7　閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用　1.6　同步習(xí)題及解答　　1.6.1  同步習(xí)題　　1.6.2　同步習(xí)題解答　1.7　數(shù)學(xué)史料第2章　導(dǎo)數(shù)與微分　2.1　教學(xué)基本要求　2.2　本章導(dǎo)學(xué)　2.3　知識點精要　　2.3.1  一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)　　2.3.2　一元函數(shù)的微分　2.4　疑難問題及常見錯誤例析　2.5　典型例題解析　　2.5.1  函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算　　2.5.2　利用導(dǎo)數(shù)定義求極限　　2.5.3　討論函數(shù)的可導(dǎo)性　　2.5.4　已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)中的常數(shù)　　2.5.5　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用　　2.5.6　函數(shù)的微分　　2.5.7　函數(shù)的微分應(yīng)用　2.6　同步習(xí)題及解答　　2.6.1  同步習(xí)題　　2.6.2　同步習(xí)題解答　2.7　數(shù)學(xué)史料第3章　微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用　3.1　教學(xué)基本要求　3.2　本章導(dǎo)學(xué)　3.3　知識點精要　　3.3.1  中值定理　　3.3.2　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用　3.4　疑難問題及常見錯誤例析　3.5　典型例題解析　　3.5.1  中值定理的相關(guān)問題　　3.5.2　利用洛必達法則求極限　　3.5.3　不等式的證明　　3.5.4　函數(shù)的單調(diào)性　　3.5.5  函數(shù)的極值和最值　　3.5.6　函數(shù)的凹凸性和拐點　3.6　同步習(xí)題及解答　　3.6.1　同步習(xí)題　　3.6.2　同步習(xí)題解答　3.7　數(shù)學(xué)史料第4章　不定積分　4.1　教學(xué)基本要求　4.2　本章導(dǎo)學(xué)　4.3　知識點精要　　4.3.1  不定積分的基本概念與性質(zhì)　　……第5章  定積分第6章  定積分的應(yīng)用第7章  微分方程第8章  空間解析幾何與向量代數(shù)第9章  多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第10章  重積分第11章  曲線積分與曲面積分第12章  無窮級數(shù)參考文獻

章節(jié)摘錄

插圖：第1章　函數(shù)與極限1.1　教學(xué)基本要求1.2　本章導(dǎo)學(xué)本章主要介紹函數(shù)、極限、連續(xù)等基本概念及其性質(zhì)，它們是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是從初等數(shù)學(xué)過渡到高等數(shù)學(xué)的橋梁。函數(shù)是微積分學(xué)的研究對象，函數(shù)概念的實質(zhì)是變量之間的一種對應(yīng)關(guān)系，這種關(guān)系使得當(dāng)其中一個變量給定時，另一個變量就能被唯一確定，這就是函數(shù)，函數(shù)部分重點是復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和分段函數(shù)及函數(shù)記號的運算，這里要求主要掌握求函數(shù)的定義域的方法以及利用函數(shù)的概念求函數(shù)表達式的方法，這些方法都是在初等數(shù)學(xué)中所熟悉的方法。極限理論是微積分的基礎(chǔ)，研究函數(shù)的性質(zhì)的實質(zhì)是研究各類極限，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等，所以極限不僅是本章的重點也是本課程的重點，在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時，要求會判斷函數(shù)極限的存在，掌握運用極限存在準(zhǔn)則、兩個重要極限以及極限的四則運算法則求極限的方法，注意不僅在本章中有很多求極限的方法，而且在后續(xù)章節(jié)中還要介紹一些求極限的方法（例如，利用洛必達法則、利用導(dǎo)數(shù)定義、利用定積分定義、利用收斂級數(shù)性質(zhì)等求極限的方法），讀者在學(xué)習(xí)過程中，要善于適時歸納總結(jié)，以便尋求最簡單的方法求極限，由于作為本章重點內(nèi)容的極限問題都可以歸結(jié)為無窮小量的問題，所以無窮小的估計和分析也是極限方法的重要部分，要求讀者會確定無窮小的階數(shù)并會比較無窮小的階；熟記常見的等價無窮小，并會應(yīng)用等價無窮小代換求極限。連續(xù)函數(shù)或除若干點外是連續(xù)的函數(shù)是高等數(shù)學(xué)研究的主要對象，而函數(shù)的連續(xù)性是通過極限定義的，所以判斷函數(shù)的連續(xù)及函數(shù)的間斷點類型等問題本質(zhì)上還是求極限，因此，連續(xù)性也是本章的重點內(nèi)容之一，要求掌握判定函數(shù)連續(xù)性的方法，并能指證所給函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；會判斷間斷點的類型；注意在討論分段　函數(shù)在分界點處的連續(xù)性時，要用定義來討論；會用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)判定方程根的存在，會證明相關(guān)的證明題。

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