數(shù)學是什么

內容概要

　　北京大學繼出版《人文社會科學是什么》叢書后推出這套《自然科學是什么》叢書，深入淺出地介紹了自然科學領域的知識，為大、中學生展示了一個五彩繽紛的自然科學世界。相信這套書的出版會對提高中華民族的科學素養(yǎng)、普及自然科學知識起重大的推動作用。

作者簡介

　　胡作玄，1936年生，1957年北京大學畢業(yè)，1964年調至中國科學院數(shù)學研究所，1980年轉至中國科學院系統(tǒng)科學研究所，現(xiàn)任研究員。主要研究方向為數(shù)學，科學史，思想史。著有《20世紀數(shù)學思想》（1999）、《近代數(shù)學史》（2006）、《大有可為的數(shù)學》（2006）、《影響世界歷史的100名著排行榜》（2004、2005）等。譯著有《羅素自傳》（2002）、《化學簡史》（1979）、《數(shù)學概觀》（2001）等，另有各方面論文近百篇。

書籍目錄

導言　數(shù)學是什么？0.1　數(shù)學與哲學0.2　數(shù)學與科學0.3　數(shù)學與藝術一　數(shù)1.1　自然數(shù)的難題1.2　初等數(shù)論及其問題1.3　高斯的啟發(fā)1.4　數(shù)列中的問題1.5　自然數(shù)的加法表示小結二　量2.1　自然數(shù)的有理擴張2.2　從離散到連續(xù)2.3　第二次劃分小結三　圖3.1　初等圖論3.2　圖論三大問題3.3　拉姆齊理論小結四　形4.1　幾何學是什么4.2　歐幾里得幾何學4.3　非歐幾何學4.4　解析幾何學4.5　豐富多彩的直觀幾何對象小結五　算5.1　從算術到代數(shù)5.2　算術：從有限到無窮5.3　從代數(shù)到分析5.4　從多項式到一般函數(shù)5.5　函數(shù)小結六　集合6.1　無窮6.2　從素樸集合論到公理集合論6.3　病態(tài)的集合小結七　邏輯7.1　數(shù)學基礎7.2　幾何學基礎和公理理論7.3　希爾伯特計劃7.4　哥德爾不完全性定理小結八　結構8.1　多頭的數(shù)學家——布爾巴基8.2　布爾巴基的思想8.3　域8.4　群小結九　空間9.1　空間概念的演化9.2　維數(shù)9.3　流形9.4　什么是拓撲學9.5　龐加萊猜想小結十　概率10.1　賭場產(chǎn)生的問題10.2　概率的哲學本質10.3　布朗運動10.4　隨機分析小結十一　數(shù)學大廈11.1　經(jīng)典數(shù)學11.2　現(xiàn)代數(shù)學11.3　后現(xiàn)代數(shù)學小結十二　理解數(shù)學12.1　基礎教育中的數(shù)學12.2　數(shù)學家的工作12.3　偉大的數(shù)學家創(chuàng)造偉大的數(shù)學小結結束語數(shù)學是什么！閱讀書目后記《自然科學是什么》叢書出版后記

章節(jié)摘錄

　　一　數(shù)　　1.1　自然數(shù)的難題　　在數(shù)學中，再也沒有比自然數(shù)（也就是正整數(shù)）更自然、更原始的對象了?？梢哉f，數(shù)學中的一切都是從這里開始的。不知多么久遠之前，人們已經(jīng)知道自然數(shù)1，2，…，可是，只有到很晚的時候人們才知道零、負數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)、復數(shù)、代數(shù)數(shù)、超越數(shù)乃至四元數(shù)、八元數(shù)以及各種結構（例如有限域）的元素。這些對象早的也就兩千五百多年，晚的不過百年，其中對許多對象我們都已經(jīng)有了豐富的知識。但是，這些看來十分簡單的數(shù)仍有大量的問題尚未解決，而在這些尚未解決的問題當中，沒有想到的是大多數(shù)問題出現(xiàn)在我們再熟悉不過的自然數(shù)序列之中?！　≈袊耸熘母绲掳秃詹孪刖褪瞧渲械囊粋€，但除此以外，還有成千上百個難題同它一樣，讓許多人費力費時而得不到證明或反證，其中有一些問題小學生都能懂，卻難倒所有的大數(shù)學家。這反映出數(shù)學能從十分簡單的對象中得出復雜而難證的定理?！　?.1.1　3n+1問題　　對許多提法簡單的數(shù)學問題的理解也必須有點數(shù)學基礎知識，例如什么是素數(shù)?？墒菍?n+1問題，則什么基礎知識都不需要，小學生都能懂，而且小學生還把它作為算術的練習來玩。　　3n+1問題：不管從什么正整數(shù)n出發(fā)，我們進行如下的一系列運算，最終在有限步內達到1。　　這里的運算很簡單，你碰到的數(shù)無非是兩類：奇數(shù)和偶數(shù)。碰到n是奇數(shù)時，你就求3n+1；而當n是偶數(shù)時，你就把它除以2，當然得數(shù)仍是整數(shù)。不管是奇數(shù)還是偶數(shù)，都照這個辦法做下去。3n+1問題就是你最終總可以到達1，雖然1可以變成3×1+1=4，接著4變成2，2又變成1。后面這個循環(huán)可以無休止進行下去，但是這就沒意思了。因此，我們第一次變到1，就不再繼續(xù)算下去了。　　最早誰發(fā)現(xiàn)這個猜想似乎已經(jīng)不可考證，但傳說是從20世紀30年代“世界數(shù)學中心”、德國小城哥廷根來的，因此西方文獻中也有用當時在哥廷根的兩位數(shù)學家科拉茨（Lothar Collatz，1910-1990）或哈塞（Hehnut Hasse，1898-1979）命名的，稱為科拉茨問題或哈塞問題，也有用原籍波蘭、后去美國的數(shù)學家烏拉姆（Stanislaw Ulam，1909-1984）命名的?！　№槺闾嵋幌拢瑸趵肥俏缓苡忻麣獾臄?shù)學家，他首先發(fā)展了用擲骰子的辦法來進行計算，這一方法非常重要，后來用賭城蒙特卡羅來命名，稱為蒙特卡羅方法。除此之外，他還參與美國的原子彈特別是氫彈的設計和制造?！　∵@個問題在20世紀50年代初期，由哈塞傳到美國。他到了錫拉丘斯大學，因此這個問題也稱為敘拉古問題，這是由于錫拉丘斯的原文Syracuse與阿基米德被羅馬士兵殺死的城市——意大利南部的敘拉古的拼寫完全一樣?！　∪毡緮?shù)學家角谷靜夫（Kakutani Kazio，1911—2004）聽到這個問題之后，也曾傳播這個問題。他在耶魯大學和芝加哥大學講學時，提到這個問題，結果所有數(shù)學家都放下手頭的工作，一心一意去鉆研這個問題，經(jīng)過一個月毫無成果的工作之后，才不得不罷手。　　當代最偉大的數(shù)學家之一愛爾特希（Paul Erdos，1913—1996）不無悲觀地承認：“當代數(shù)學還沒有發(fā)展到解決這個問題的水平。”　　盡管如此，數(shù)學家還是不甘心讓這么一個簡單的問題徹底打垮。他們開始懸賞求解：1970年加拿大幾何學家考克斯特（H.S.M，（Coxeter，1907—2003）出獎賞50美元，愛爾特希把獎金提高十倍——500美元，到80年代又有人提高到1000英鎊。時至今日，還沒人能夠領賞?！　”M管沒人能攻克這個堡壘，但從它引出各種問題對數(shù)學發(fā)展很有用。它與丟番圖逼近、一致分布、遍歷理論、可計算理論等密切相關。　　眼前無路可回頭，是否能夠從某一個數(shù)找到一個反例?數(shù)學家用計算機算了幾萬億以上個數(shù)，結果無一例外?！　?.1.2　表示問題　　數(shù)的最重要的進步是尋找一種十分方便的表示，也就是進位制和位值制。可是這種表示的深刻之處在于它的簡便性、唯一性以及可以任意推廣，而這些正足數(shù)學重要性的一個方面。　　數(shù)學的符號把許多啰嗦的話變成簡單的縮寫，1234讀起來是一千二百三十四，用其他語言更是十分繁瑣。除此之外，數(shù)學的進步永遠為推廣留下了空間。我們用1，2，3，4，5，6，7，8，9，0可以表示一切自然數(shù)，但是仔細寫出來，還需要10的各次方冪。

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