數(shù)學(xué)是什么

內(nèi)容概要

　　北京大學(xué)繼出版《人文社會(huì)科學(xué)是什么》叢書后推出這套《自然科學(xué)是什么》叢書，深入淺出地介紹了自然科學(xué)領(lǐng)域的知識(shí)，為大、中學(xué)生展示了一個(gè)五彩繽紛的自然科學(xué)世界。相信這套書的出版會(huì)對(duì)提高中華民族的科學(xué)素養(yǎng)、普及自然科學(xué)知識(shí)起重大的推動(dòng)作用。

作者簡介

　　胡作玄，1936年生，1957年北京大學(xué)畢業(yè)，1964年調(diào)至中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所，1980年轉(zhuǎn)至中國科學(xué)院系統(tǒng)科學(xué)研究所，現(xiàn)任研究員。主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)，科學(xué)史，思想史。著有《20世紀(jì)數(shù)學(xué)思想》（1999）、《近代數(shù)學(xué)史》（2006）、《大有可為的數(shù)學(xué)》（2006）、《影響世界歷史的100名著排行榜》（2004、2005）等。譯著有《羅素自傳》（2002）、《化學(xué)簡史》（1979）、《數(shù)學(xué)概觀》（2001）等，另有各方面論文近百篇。

書籍目錄

導(dǎo)言　數(shù)學(xué)是什么？0.1　數(shù)學(xué)與哲學(xué)0.2　數(shù)學(xué)與科學(xué)0.3　數(shù)學(xué)與藝術(shù)一　數(shù)1.1　自然數(shù)的難題1.2　初等數(shù)論及其問題1.3　高斯的啟發(fā)1.4　數(shù)列中的問題1.5　自然數(shù)的加法表示小結(jié)二　量2.1　自然數(shù)的有理擴(kuò)張2.2　從離散到連續(xù)2.3　第二次劃分小結(jié)三　圖3.1　初等圖論3.2　圖論三大問題3.3　拉姆齊理論小結(jié)四　形4.1　幾何學(xué)是什么4.2　歐幾里得幾何學(xué)4.3　非歐幾何學(xué)4.4　解析幾何學(xué)4.5　豐富多彩的直觀幾何對(duì)象小結(jié)五　算5.1　從算術(shù)到代數(shù)5.2　算術(shù)：從有限到無窮5.3　從代數(shù)到分析5.4　從多項(xiàng)式到一般函數(shù)5.5　函數(shù)小結(jié)六　集合6.1　無窮6.2　從素樸集合論到公理集合論6.3　病態(tài)的集合小結(jié)七　邏輯7.1　數(shù)學(xué)基礎(chǔ)7.2　幾何學(xué)基礎(chǔ)和公理理論7.3　希爾伯特計(jì)劃7.4　哥德爾不完全性定理小結(jié)八　結(jié)構(gòu)8.1　多頭的數(shù)學(xué)家——布爾巴基8.2　布爾巴基的思想8.3　域8.4　群小結(jié)九　空間9.1　空間概念的演化9.2　維數(shù)9.3　流形9.4　什么是拓?fù)鋵W(xué)9.5　龐加萊猜想小結(jié)十　概率10.1　賭場產(chǎn)生的問題10.2　概率的哲學(xué)本質(zhì)10.3　布朗運(yùn)動(dòng)10.4　隨機(jī)分析小結(jié)十一　數(shù)學(xué)大廈11.1　經(jīng)典數(shù)學(xué)11.2　現(xiàn)代數(shù)學(xué)11.3　后現(xiàn)代數(shù)學(xué)小結(jié)十二　理解數(shù)學(xué)12.1　基礎(chǔ)教育中的數(shù)學(xué)12.2　數(shù)學(xué)家的工作12.3　偉大的數(shù)學(xué)家創(chuàng)造偉大的數(shù)學(xué)小結(jié)結(jié)束語數(shù)學(xué)是什么！閱讀書目后記《自然科學(xué)是什么》叢書出版后記

章節(jié)摘錄

　　一　數(shù)　　1.1　自然數(shù)的難題　　在數(shù)學(xué)中，再也沒有比自然數(shù)（也就是正整數(shù)）更自然、更原始的對(duì)象了?？梢哉f，數(shù)學(xué)中的一切都是從這里開始的。不知多么久遠(yuǎn)之前，人們已經(jīng)知道自然數(shù)1，2，…，可是，只有到很晚的時(shí)候人們才知道零、負(fù)數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、代數(shù)數(shù)、超越數(shù)乃至四元數(shù)、八元數(shù)以及各種結(jié)構(gòu)（例如有限域）的元素。這些對(duì)象早的也就兩千五百多年，晚的不過百年，其中對(duì)許多對(duì)象我們都已經(jīng)有了豐富的知識(shí)。但是，這些看來十分簡單的數(shù)仍有大量的問題尚未解決，而在這些尚未解決的問題當(dāng)中，沒有想到的是大多數(shù)問題出現(xiàn)在我們?cè)偈煜げ贿^的自然數(shù)序列之中?！　≈袊耸熘母绲掳秃詹孪刖褪瞧渲械囊粋€(gè)，但除此以外，還有成千上百個(gè)難題同它一樣，讓許多人費(fèi)力費(fèi)時(shí)而得不到證明或反證，其中有一些問題小學(xué)生都能懂，卻難倒所有的大數(shù)學(xué)家。這反映出數(shù)學(xué)能從十分簡單的對(duì)象中得出復(fù)雜而難證的定理?！　?.1.1　3n+1問題　　對(duì)許多提法簡單的數(shù)學(xué)問題的理解也必須有點(diǎn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，例如什么是素?cái)?shù)?？墒菍?duì)3n+1問題，則什么基礎(chǔ)知識(shí)都不需要，小學(xué)生都能懂，而且小學(xué)生還把它作為算術(shù)的練習(xí)來玩?！　?n+1問題：不管從什么正整數(shù)n出發(fā)，我們進(jìn)行如下的一系列運(yùn)算，最終在有限步內(nèi)達(dá)到1?！　∵@里的運(yùn)算很簡單，你碰到的數(shù)無非是兩類：奇數(shù)和偶數(shù)。碰到n是奇數(shù)時(shí)，你就求3n+1；而當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，你就把它除以2，當(dāng)然得數(shù)仍是整數(shù)。不管是奇數(shù)還是偶數(shù)，都照這個(gè)辦法做下去。3n+1問題就是你最終總可以到達(dá)1，雖然1可以變成3×1+1=4，接著4變成2，2又變成1。后面這個(gè)循環(huán)可以無休止進(jìn)行下去，但是這就沒意思了。因此，我們第一次變到1，就不再繼續(xù)算下去了。　　最早誰發(fā)現(xiàn)這個(gè)猜想似乎已經(jīng)不可考證，但傳說是從20世紀(jì)30年代“世界數(shù)學(xué)中心”、德國小城哥廷根來的，因此西方文獻(xiàn)中也有用當(dāng)時(shí)在哥廷根的兩位數(shù)學(xué)家科拉茨（Lothar Collatz，1910-1990）或哈塞（Hehnut Hasse，1898-1979）命名的，稱為科拉茨問題或哈塞問題，也有用原籍波蘭、后去美國的數(shù)學(xué)家烏拉姆（Stanislaw Ulam，1909-1984）命名的。　　順便提一下，烏拉姆是位很有名氣的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)展了用擲骰子的辦法來進(jìn)行計(jì)算，這一方法非常重要，后來用賭城蒙特卡羅來命名，稱為蒙特卡羅方法。除此之外，他還參與美國的原子彈特別是氫彈的設(shè)計(jì)和制造?！　∵@個(gè)問題在20世紀(jì)50年代初期，由哈塞傳到美國。他到了錫拉丘斯大學(xué)，因此這個(gè)問題也稱為敘拉古問題，這是由于錫拉丘斯的原文Syracuse與阿基米德被羅馬士兵殺死的城市——意大利南部的敘拉古的拼寫完全一樣?！　∪毡緮?shù)學(xué)家角谷靜夫（Kakutani Kazio，1911—2004）聽到這個(gè)問題之后，也曾傳播這個(gè)問題。他在耶魯大學(xué)和芝加哥大學(xué)講學(xué)時(shí)，提到這個(gè)問題，結(jié)果所有數(shù)學(xué)家都放下手頭的工作，一心一意去鉆研這個(gè)問題，經(jīng)過一個(gè)月毫無成果的工作之后，才不得不罷手?！　‘?dāng)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一愛爾特希（Paul Erdos，1913—1996）不無悲觀地承認(rèn)：“當(dāng)代數(shù)學(xué)還沒有發(fā)展到解決這個(gè)問題的水平?！薄　”M管如此，數(shù)學(xué)家還是不甘心讓這么一個(gè)簡單的問題徹底打垮。他們開始懸賞求解：1970年加拿大幾何學(xué)家考克斯特（H.S.M，（Coxeter，1907—2003）出獎(jiǎng)賞50美元，愛爾特希把獎(jiǎng)金提高十倍——500美元，到80年代又有人提高到1000英鎊。時(shí)至今日，還沒人能夠領(lǐng)賞?！　”M管沒人能攻克這個(gè)堡壘，但從它引出各種問題對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展很有用。它與丟番圖逼近、一致分布、遍歷理論、可計(jì)算理論等密切相關(guān)?！　⊙矍盁o路可回頭，是否能夠從某一個(gè)數(shù)找到一個(gè)反例?數(shù)學(xué)家用計(jì)算機(jī)算了幾萬億以上個(gè)數(shù)，結(jié)果無一例外?！　?.1.2　表示問題　　數(shù)的最重要的進(jìn)步是尋找一種十分方便的表示，也就是進(jìn)位制和位值制?？墒沁@種表示的深刻之處在于它的簡便性、唯一性以及可以任意推廣，而這些正足數(shù)學(xué)重要性的一個(gè)方面?！　?shù)學(xué)的符號(hào)把許多啰嗦的話變成簡單的縮寫，1234讀起來是一千二百三十四，用其他語言更是十分繁瑣。除此之外，數(shù)學(xué)的進(jìn)步永遠(yuǎn)為推廣留下了空間。我們用1，2，3，4，5，6，7，8，9，0可以表示一切自然數(shù)，但是仔細(xì)寫出來，還需要10的各次方冪。

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