模形式與跡公式

前言

　　以分析方法研究、解決數(shù)論問題已有數(shù)百年的歷史，并形成了解析數(shù)論這一數(shù)論的重要分支，但是以分析方法研究數(shù)論并不局限于古典解析數(shù)論，例如本書第一章所要介紹的非解析模形式理論，就需要利用泛函分析的工具來得到非歐Laplace算子的譜分解，更進(jìn)一步，通過對上半平面中的不變微分算子與不變積分算子的研究，Selberg提出了Selberg跡公式的理論與結(jié)論，利用這個Setberg跡公式可以推出非歐Laplace算子特征值的分布估計，同時也可看出非歐Laplace算子特征值的分布與素數(shù)分布的類似性?！　elberg并沒有給出他的跡公式的證明，因此在此后若干年時間許多數(shù)學(xué)家都在試圖以不同的方法補出Selberg跡公式的證明，這大大地促進(jìn)了跡公式理論的發(fā)展，本書在這方面著重介紹了群GL（2）上的跡公式，而這個跡公式在可簡約代數(shù)群上的推廣及其與扭曲跡公式的比較，是當(dāng)今跡公式理論中很活躍的一個課題，其重要性是這個跡公式可以用來研究并可能最終證明Langlands的群表示函子性猜想。

內(nèi)容概要

模型式理論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，它在函數(shù)論、李群表示論、數(shù)論、幾休、通訊等分支中都有廣泛的應(yīng)用。模型式可分為解析的與非解析的兩大類，解析模形起源于20世紀(jì)20年代，目前已臻完善，非解析模型式則是較晚發(fā)展起來的，它在現(xiàn)代物理學(xué)中有重重要的應(yīng)用，這兩類模型式在許多方面有類似之處但非解析的情形有其特殊的困難之處。        本書從上半平面上的非解析模形式著手，對跡公式的理論與方法進(jìn)行了系統(tǒng)地介紹，特別是對模形式的國內(nèi)外研究概貌及研究成果，其中包括作者大量的研究成果給予了詳實的講述。全書共分七章，內(nèi)容包括：Maass波動形式、Selberg跡公式、GL（2）群上的跡公式、Kuznetsov跡公式、相對跡公式（幾何部分）、相對跡公式（譜分解部分）等，并在附錄中介紹了p進(jìn)行數(shù)域。為了盡可能從相對初等的角度來引導(dǎo)讀者進(jìn)入這個領(lǐng)域，從而對數(shù)論中的模型式與群表示理論有所了解，本書重點討論了模形式與跡公式的最簡單的情況。    本書可作為高等學(xué)校數(shù)學(xué)專業(yè)研究生教材，也可供高等學(xué)校數(shù)學(xué)專業(yè)高年級學(xué)生、青年教師，以及數(shù)學(xué)工作者參考。

作者簡介

本書作者現(xiàn)為美國依阿華大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，于1981年在清華大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系本科畢業(yè)，后在美國哥倫比亞大學(xué)取得碩士與博士學(xué)位。葉揚波教授曾任美國高等研究院成員，約翰·霍普金斯大學(xué)及康奈爾大學(xué)助理教授。

書籍目錄

第一章 Maass波動形式  1 引言  2 Maass波動形式  3 波動形式的Fourier級數(shù)  4 非歐Laplace算子的譜分解——泛函分析  5 不完全0級數(shù)  6 子空間上的特征值  7 Eisenstein級數(shù)的Fourier展開  8 Eisenstein級數(shù)的解析延拓及性質(zhì)  9 在Riemann函數(shù)上的應(yīng)用  10 非歐Laplace算子的譜分析——Eisenstein級數(shù)  11 Hecke算子  12 Hecke算子的交換性  13 Hecke算子的自共軛性  14 Hecke算子在Maass形式上的作用  15 Hecke算子的對角化  16 尖點形式Fourier系數(shù)的估計  17 Hecke算子在Eisenstein級數(shù)上的作用第二章 Selberg跡公式  1 不變算子  2 微分算子與積分算子  3 Selberg變換  4 不變積分算子的譜分解  5 不變積分算子的連續(xù)譜上的作用  6 不變積分算子在離散譜上的作用  7 Selberg跡公式  8 尖點形式的存在性第三章 GL（2）群上的跡公式  1 賦值向量環(huán)  2 自守形式  3 自守群表示  4 截算子  5 Eisenstein級數(shù)  6 核函數(shù)的譜分解  7 跡公式中的截算子  8 跡公式的幾何部分  9 跡分式的最后形式  10 四元數(shù)代數(shù)  11 跡公式的比較第四章 Kuznetsov跡公式  1 整體積分  2 函數(shù)選取  3 局部積分  4 Kloosterman和與跡公式  5 譜分解部分  6 在Kloosterman和上的應(yīng)用第五章 相對跡公式（幾何部分）  1 二次擴域上GL（2）群的相對跡公式  2 軌道積分第六章 相對跡公式（譜分解部分）附錄 p進(jìn)數(shù)與p進(jìn)數(shù)域參考文獻(xiàn)索引

編輯推薦

　　《北京大學(xué)數(shù)學(xué)叢書·模形式與跡公式》可作為高等學(xué)校數(shù)學(xué)專業(yè)研究生教材，也可供高等學(xué)校數(shù)學(xué)專業(yè)高年級學(xué)生、青年教師，以及數(shù)學(xué)工作者參考。

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