模形式與跡公式

前言

　　以分析方法研究、解決數(shù)論問(wèn)題已有數(shù)百年的歷史，并形成了解析數(shù)論這一數(shù)論的重要分支，但是以分析方法研究數(shù)論并不局限于古典解析數(shù)論，例如本書(shū)第一章所要介紹的非解析模形式理論，就需要利用泛函分析的工具來(lái)得到非歐Laplace算子的譜分解，更進(jìn)一步，通過(guò)對(duì)上半平面中的不變微分算子與不變積分算子的研究，Selberg提出了Selberg跡公式的理論與結(jié)論，利用這個(gè)Setberg跡公式可以推出非歐Laplace算子特征值的分布估計(jì)，同時(shí)也可看出非歐Laplace算子特征值的分布與素?cái)?shù)分布的類(lèi)似性?！　elberg并沒(méi)有給出他的跡公式的證明，因此在此后若干年時(shí)間許多數(shù)學(xué)家都在試圖以不同的方法補(bǔ)出Selberg跡公式的證明，這大大地促進(jìn)了跡公式理論的發(fā)展，本書(shū)在這方面著重介紹了群GL（2）上的跡公式，而這個(gè)跡公式在可簡(jiǎn)約代數(shù)群上的推廣及其與扭曲跡公式的比較，是當(dāng)今跡公式理論中很活躍的一個(gè)課題，其重要性是這個(gè)跡公式可以用來(lái)研究并可能最終證明Langlands的群表示函子性猜想。

內(nèi)容概要

模型式理論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它在函數(shù)論、李群表示論、數(shù)論、幾休、通訊等分支中都有廣泛的應(yīng)用。模型式可分為解析的與非解析的兩大類(lèi)，解析模形起源于20世紀(jì)20年代，目前已臻完善，非解析模型式則是較晚發(fā)展起來(lái)的，它在現(xiàn)代物理學(xué)中有重重要的應(yīng)用，這兩類(lèi)模型式在許多方面有類(lèi)似之處但非解析的情形有其特殊的困難之處。        本書(shū)從上半平面上的非解析模形式著手，對(duì)跡公式的理論與方法進(jìn)行了系統(tǒng)地介紹，特別是對(duì)模形式的國(guó)內(nèi)外研究概貌及研究成果，其中包括作者大量的研究成果給予了詳實(shí)的講述。全書(shū)共分七章，內(nèi)容包括：Maass波動(dòng)形式、Selberg跡公式、GL（2）群上的跡公式、Kuznetsov跡公式、相對(duì)跡公式（幾何部分）、相對(duì)跡公式（譜分解部分）等，并在附錄中介紹了p進(jìn)行數(shù)域。為了盡可能從相對(duì)初等的角度來(lái)引導(dǎo)讀者進(jìn)入這個(gè)領(lǐng)域，從而對(duì)數(shù)論中的模型式與群表示理論有所了解，本書(shū)重點(diǎn)討論了模形式與跡公式的最簡(jiǎn)單的情況。    本書(shū)可作為高等學(xué)校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)研究生教材，也可供高等學(xué)校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)高年級(jí)學(xué)生、青年教師，以及數(shù)學(xué)工作者參考。

作者簡(jiǎn)介

本書(shū)作者現(xiàn)為美國(guó)依阿華大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，于1981年在清華大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系本科畢業(yè)，后在美國(guó)哥倫比亞大學(xué)取得碩士與博士學(xué)位。葉揚(yáng)波教授曾任美國(guó)高等研究院成員，約翰·霍普金斯大學(xué)及康奈爾大學(xué)助理教授。

書(shū)籍目錄

第一章 Maass波動(dòng)形式  1 引言  2 Maass波動(dòng)形式  3 波動(dòng)形式的Fourier級(jí)數(shù)  4 非歐Laplace算子的譜分解——泛函分析  5 不完全0級(jí)數(shù)  6 子空間上的特征值  7 Eisenstein級(jí)數(shù)的Fourier展開(kāi)  8 Eisenstein級(jí)數(shù)的解析延拓及性質(zhì)  9 在Riemann函數(shù)上的應(yīng)用  10 非歐Laplace算子的譜分析——Eisenstein級(jí)數(shù)  11 Hecke算子  12 Hecke算子的交換性  13 Hecke算子的自共軛性  14 Hecke算子在Maass形式上的作用  15 Hecke算子的對(duì)角化  16 尖點(diǎn)形式Fourier系數(shù)的估計(jì)  17 Hecke算子在Eisenstein級(jí)數(shù)上的作用第二章 Selberg跡公式  1 不變算子  2 微分算子與積分算子  3 Selberg變換  4 不變積分算子的譜分解  5 不變積分算子的連續(xù)譜上的作用  6 不變積分算子在離散譜上的作用  7 Selberg跡公式  8 尖點(diǎn)形式的存在性第三章 GL（2）群上的跡公式  1 賦值向量環(huán)  2 自守形式  3 自守群表示  4 截算子  5 Eisenstein級(jí)數(shù)  6 核函數(shù)的譜分解  7 跡公式中的截算子  8 跡公式的幾何部分  9 跡分式的最后形式  10 四元數(shù)代數(shù)  11 跡公式的比較第四章 Kuznetsov跡公式  1 整體積分  2 函數(shù)選取  3 局部積分  4 Kloosterman和與跡公式  5 譜分解部分  6 在Kloosterman和上的應(yīng)用第五章 相對(duì)跡公式（幾何部分）  1 二次擴(kuò)域上GL（2）群的相對(duì)跡公式  2 軌道積分第六章 相對(duì)跡公式（譜分解部分）附錄 p進(jìn)數(shù)與p進(jìn)數(shù)域參考文獻(xiàn)索引

編輯推薦

　　《北京大學(xué)數(shù)學(xué)叢書(shū)·模形式與跡公式》可作為高等學(xué)校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)研究生教材，也可供高等學(xué)校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)高年級(jí)學(xué)生、青年教師，以及數(shù)學(xué)工作者參考。

圖書(shū)封面

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