高等代數(shù)簡明教程

內(nèi)容概要

高等代數(shù)是一門基礎(chǔ)理論課。近年來，由于自然科學(xué)和工程技術(shù)的迅速發(fā)展，特別是由于電子計算機(jī)的普遍使用，使得代數(shù)學(xué)得到日益廣泛的應(yīng)用。這就要求計算機(jī)、信息、統(tǒng)計、經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融工程等專業(yè)的學(xué)生不僅要了解代數(shù)學(xué)的一些計算問題，還應(yīng)具備代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論知識，以便融會貫通地運用代數(shù)學(xué)的工具去解決理論上和實踐中遇到的各種問題。編者結(jié)合多年從事高等代數(shù)課程教學(xué)的體會和經(jīng)驗，編寫了這本教材的講義，目的是為計算機(jī)、信息、統(tǒng)計、經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融工程等相關(guān)專業(yè)提供一本適用的高等代數(shù)教科書，試用多年，師生反應(yīng)不錯。我們根據(jù)這幾年的教學(xué)過程師生提供的反饋信息，對講義內(nèi)容進(jìn)行了修改，形成了今天呈現(xiàn)給讀者的這一版本教材。    在編寫過程中，我們借鑒了國內(nèi)外一些優(yōu)秀教材的思想、處理方法和編排體例，注重理論與應(yīng)用相結(jié)合，敘述上由淺入深，使初學(xué)者能快速入門，進(jìn)而深入掌握高等代數(shù)的基本理論和方法。本教材以線性方程組作為引子，以矩陣作為貫穿全書的主線，詳細(xì)介紹了高等代數(shù)中的基本概念和基本思想。本書的前四章是高等代數(shù)的基礎(chǔ)篇，內(nèi)容包括一元多項式理論、線性方程組理論、矩陣代數(shù)和行列式；后四章則是高等代數(shù)的核心篇，主要介紹了線性空間、歐氏空間、矩陣可對角化問題及二次型化簡等內(nèi)容。本書滲透了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想和觀點，在概念引入、理論分析和例題演算等環(huán)節(jié)盡量體現(xiàn)代數(shù)和幾何的聯(lián)系，使學(xué)生能夠通過幾何背景理解代數(shù)概念的來龍去脈，并找到分析和解決代數(shù)問題的方法。本書還介紹了高等代數(shù)在其他學(xué)科中的一些應(yīng)用。本書的每一節(jié)都配有一定的習(xí)題，書后附有習(xí)題提示與參考答案。同時，還將配套出版輔導(dǎo)教材《高等代數(shù)簡明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)》。    全書共八章，各章之間既相對獨立又緊密聯(lián)系。前四章供第一學(xué)期使用，后四章供第二學(xué)期使用。根據(jù)高等代數(shù)課程的基本要求，全年共108學(xué)時加上36課時的習(xí)題課可以講完全部內(nèi)容。如果課時緊張，加*號的章節(jié)可以作為選學(xué)內(nèi)容。我們建議，具體的課時安排如下：第一章10學(xué)時，第二章l6學(xué)時，第三章l6學(xué)時，第四章l2學(xué)時，第五章l2學(xué)時，第六章l6學(xué)時，第七章12學(xué)時，第八章l4學(xué)時。實際使用時也可以根據(jù)需要進(jìn)行調(diào)整。

書籍目錄

第一章　多項式　1.1　數(shù)域　1.2　一元多項式　1.3　整除性　1.4　多項式的分解　1.5　多項式函數(shù)　1.6　多項式的根第二章　線性方程組和矩陣　2.1　線性方程組　2.2　階梯形矩陣　2.3　向量空間Rn　2.4　線性方程組的解集　2.5　線性相關(guān)性　2.6　秩　2.7　線性方程組的應(yīng)用第三章　矩陣代數(shù)　3.1　矩陣的代數(shù)運算　3.2　矩陣的轉(zhuǎn)置　3.3　矩陣的逆　3.4　初等矩陣與逆矩陣的初等變換算法　3.5　分塊矩陣　*3.6　矩陣的應(yīng)用　*3.7　Rn到Rm的線性映射第四章　行列式　4.1　行列式及其幾何意義　4.2　行列式的性質(zhì)　4.3　行列式按一行(列)展開　4.4　克萊姆法則及逆矩陣的行列式算法　*4.5　拉普拉斯定理　*4.6　n階行列式的計算第五章　線性空間與線性變換　5.1　線性空間與子空間　5.2　維數(shù)，基與坐標(biāo)　5.3　基變換與坐標(biāo)變換　5.4　子空間的交與和　5.5　線性空間的同構(gòu)　5.6　線性變換第六章　特征值和特征向量　6.1　矩陣的特征值和特征向量　6.2　矩陣的相似與可對角化的條件　6.3　凱萊一哈密爾頓定理　6.4　線性變換的特征值和特征向量　*6.5　應(yīng)用：萊斯利模型　*6.6　最小多項式　*6.7　若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形簡介第七章　正交性與最小二乘法　7.1　內(nèi)積　7.2　標(biāo)準(zhǔn)正交基　7.3　正交投影　7.4　施密特正交化過程　7.5　最小二乘法　*7.6　歐氏空間簡介第八章　實對稱矩陣與二次型　8.1　實對稱矩陣的相似對角化　8.2　二次型　8.3　配方法與二次型的規(guī)范型　8.4　二次型和實對稱矩陣的正定性　*8.5　奇異值分解　*8.6　應(yīng)用：二次曲面與圖像處理　習(xí)題提示與參考答案索引參考文獻(xiàn)　

章節(jié)摘錄

　　多項式是中學(xué)代數(shù)課程的一項主要內(nèi)容，也是代數(shù)學(xué)中一個最基本的對象，在數(shù)學(xué)以及實際應(yīng)用中都會碰到。因此有必要比較系統(tǒng)地對其進(jìn)行學(xué)習(xí)。本章將介紹多項式的概念，研究整除性理論和因式分解的問題，對在中學(xué)所學(xué)的相關(guān)知識作加深和推廣　　1.1數(shù)域　　數(shù)是數(shù)學(xué)中一個最基本的概念。數(shù)的發(fā)展，大體上經(jīng)歷了從開始接觸數(shù)時的自然數(shù)，到整數(shù)，再到有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)，這樣一個漸進(jìn)的認(rèn)識過程。為方便起見，我們一般用N表示所有自然數(shù)，Z表示所有整數(shù)，Q表示所有有理數(shù)，R表示所有實數(shù)，C表示所有復(fù)數(shù)?！　“凑账芯繂栴}的不同，我們常常需要界定數(shù)的不同范圍。在數(shù)的不同范圍內(nèi)對同一個問題的回答可能是不同的。例如，一個二次方程有沒有解與所考慮的取值范圍有關(guān)；又如，在整數(shù)范圍內(nèi)，并不是總可以作除法的，這是因為任意兩個整數(shù)的商不一定是整數(shù)。由一些數(shù)組成的集合稱為數(shù)集。我們知道，不同的數(shù)集會具有一些不同的性質(zhì)，但在代數(shù)學(xué)中經(jīng)常將有共同性質(zhì)的對象進(jìn)行統(tǒng)一的討論。加、減、乘、除四則運算是數(shù)與數(shù)之間的基本運算關(guān)系。

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