數(shù)學(xué)史

前言

　　不管一個人對于數(shù)學(xué)史方面的書籍如何熟悉，他往往還是樂于尋找一本新書，看看書中對某個論題是怎樣處理的。在這一方面，斯科特博士已無須我們再進(jìn)行介紹。他早年關(guān)于華萊士和笛卡兒的著作已顯示出他在這一方面的專心致志和博學(xué)，這兩本書是基于他對原始資料的系統(tǒng)研究而寫成的。在寫現(xiàn)在這本書的時候，他遵循了同樣的方針，并且涉及的范圍更為廣闊。他廣泛地說明了一個數(shù)學(xué)家，特別是當(dāng)他首次提出聞名于世的偉大發(fā)現(xiàn)和發(fā)明時，實際上說了些什么，以及是怎樣說的。于是我們就對從萊登紙草到現(xiàn)代計算方法的詳細(xì)描述獲得了栩栩如生的印象。讓人高興的是斯科特博士對于埃及、巴比倫和中國最早期的數(shù)學(xué)作出了如此充分的說明。通過以往5。年來學(xué)者們的工作，關(guān)于這個古代時期，尤其是關(guān)于這一時期的算術(shù)知識以及實際上的代數(shù)方法，人們了解得已經(jīng)很多。希臘人對數(shù)學(xué)出色的貢獻(xiàn)久已為人們所認(rèn)識，而現(xiàn)在我們對他們在萌芽時期的發(fā)展又知道得更多了。作進(jìn)一步說明用的插圖的選擇是恰當(dāng)?shù)?，每一幅都?jīng)過了細(xì)致的審查，并給我們以更多的教益。

內(nèi)容概要

科學(xué)給人以知識，歷史給人以智慧。這本數(shù)學(xué)史展現(xiàn)給我們的不僅有數(shù)學(xué)知識，更包括先人的智慧。它講述了從上古到19世紀(jì)兩千多年整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域中主要數(shù)學(xué)概念和命題的發(fā)展，將代數(shù)、幾何、算術(shù)、三角學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)娓娓道來，讓我們能深入了解這些概念和命題的產(chǎn)生之根和發(fā)展路徑，并進(jìn)一步描述了數(shù)學(xué)思維和方法是如何逐步擺脫上古時期對天文學(xué)和實用性的依附，一代代天才的數(shù)學(xué)家又是如何以他們令人驚嘆的思維和推理能力從數(shù)量關(guān)系和空間形式上去解釋世界的。最重要的是，作者從整個文化層面探討了小到個人的數(shù)學(xué)觀念，大到民族的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)，如何在人類文明發(fā)展的大背景下，經(jīng)過無數(shù)次的沖突與整合、淘汰與優(yōu)化，以及同其他學(xué)科的交織與融合，最終形成了整個人類輝煌的數(shù)學(xué)文明。

書籍目錄

前言作者序第一章  上古時代的數(shù)學(xué)第二章  希臘數(shù)學(xué)的起源第三章  三角學(xué)的發(fā)明第四章  亞歷山大科學(xué)的衰微——黑暗時期與復(fù)興第五章  東方的數(shù)學(xué)第六章  文藝復(fù)興時期的數(shù)學(xué)：從雷格蒙塔努斯到笛卡兒第七章  17世紀(jì)：幾何學(xué)的新方法第八章  力學(xué)的興起第九章  小數(shù)和對數(shù)的發(fā)明第十章  微積分的發(fā)明第十一章  二項式定理和《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》第十二章  分析方法的發(fā)展第十三章  從歐拉到拉格朗日第十四章  近代幾何之開端第十五章  算術(shù)——數(shù)學(xué)中的女王附錄一  書中所提人物的小傳附錄二  對書中提到的某些論題的簡短注釋參考書目人名譯名對照表地名譯名對照表后記

章節(jié)摘錄

　　第五章　東方的數(shù)學(xué)在前面所評述的希臘文化時期之前很久，遠(yuǎn)東的民族就已經(jīng)開始對數(shù)學(xué)表現(xiàn)出興趣了，因此我們現(xiàn)在要轉(zhuǎn)而談?wù)剸|方。在公元前1200年左右，印度河流域為雅利安民族所侵。在這之后，一種粗糙的文化慢慢開始在印度民族中出現(xiàn)了。跟古代其他民族一樣，印度民族的數(shù)學(xué)知識也是由于研究星體的運動而發(fā)展起來的。毫無疑問，印度人很早就有了初步的天文知識，這是他們?yōu)榱吮硎炯竟?jié)的循環(huán)而培育起來的。他們早已有了根據(jù)太陽和月亮編寫出的歷書。他們經(jīng)過長期地仔細(xì)觀察和記錄這些星體的運動，逐步獲得了大量的計算技巧。習(xí)慣上都強調(diào)東方數(shù)學(xué)知識之邃古，我們不清楚為什么要這樣做，因為保存下來的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中沒有一本可以被肯定為是紀(jì)元前寫的，吠陀時期的文獻(xiàn)也沒有顯示出什么數(shù)學(xué)方面的東西。因此，要準(zhǔn)確評價印度的成就是不可能的。即便在后來作家的著作中，也沒有援引外來的材料或談到外來的影響，可是有確鑿的證據(jù)說明，這種影響是不小的。在公元前許多世紀(jì)，印度已與西方有所接觸。亞歷山大大帝在征服埃及后，曾出征到美索不達(dá)米亞和整個中亞細(xì)亞。到了公元前327年，印度河流域已經(jīng)處在他的管轄之下了。亞歷山大向東方出征的直接后果之一，便是刺激了東西方之間的交流。在他死后，作為文化中心的巴比倫就處于塞琉西王朝的統(tǒng)治之下了。巴比倫人、波斯人、希臘人和印度人在這里相互接觸，而這種同希臘科學(xué)的接觸對印度人是很有好處的。但與希臘人不同，印度人在數(shù)學(xué)上只想獲得算術(shù)和代數(shù)方面的才能，他們雖然在熱心地培育這兩個學(xué)科，但數(shù)學(xué)對他們來說無非是一種計算技巧，他們并將之簡化為一套規(guī)則的技巧，他們所掌握的幾何學(xué)從來沒有達(dá)到過很高標(biāo)準(zhǔn)。許多世紀(jì)以來，它都沒有超越過用少數(shù)幾個沒有經(jīng)過證明的公式來進(jìn)行測量的原始形式，這些公式都是從外國抄襲來的，而在抄襲中訛誤則是屢見不鮮。在整個東方數(shù)學(xué)中，任何地方都找不到絲毫的證據(jù)可以看出有我們稱之為證明的那種東西。“印度數(shù)學(xué)家對于我們所說的數(shù)學(xué)方法是沒有什么興趣的。他們沒有提出一個定義，不大堅持邏輯順序，他們并不關(guān)心他們所用的規(guī)則制定得是否適當(dāng)，而且對基本原理一般都漠然視之。他們從來沒有把數(shù)學(xué)作為一個研究科目來提高，事實上，他們對學(xué)問的態(tài)度可以說顯然是非數(shù)學(xué)化的。”雖然如此，他們的貢獻(xiàn)并不是不重要的，特別是他們在書寫數(shù)字方面所使用的位置值原理一直被說成是“他們最偉大的成就，并且在所有的數(shù)學(xué)發(fā)明中，是一個對智慧的總進(jìn)展最有貢獻(xiàn)的發(fā)明”。在處理那些導(dǎo)致一個以上未知數(shù)的方程的問題方面，印度人獲得了大量技巧。他們解二次方程的方法即使放在現(xiàn)代教科書中也未必不合適，而在他們嘗試解某些簡易的三次方程和四次方程的實例時，曾預(yù)見到處理這些方程的現(xiàn)代發(fā)展。他們沒有為有理量與無理量之間的微妙區(qū)別所阻礙——這些問題一直是希臘人所感到困惑的，而毫不猶豫地接受了二次方程的無理數(shù)解，因而勝過了他們的前人。關(guān)于絕對負(fù)數(shù)這個非常重要的概念的引出，也要歸功于印度人。然而，他們突出的貢獻(xiàn)是在研究不定方程方面。在這方面，他們超過了丟番圖，并且預(yù)見到現(xiàn)代代數(shù)中的某些發(fā)現(xiàn)。如前所述，印度人研究數(shù)學(xué)的動力是由于其試圖制定一種標(biāo)記季節(jié)循環(huán)的歷書，因此他們最早的著作是關(guān)于天文學(xué)的。這些著作就是所謂的《悉曇多》（Siddhantas，照字面直譯就是《已經(jīng)確立的結(jié)論》）。然而，《悉曇多》的內(nèi)容比那些僅僅記載巴比倫人流傳下來的結(jié)果的編纂物豐富些。它們的內(nèi)容有相當(dāng)多是理論知識，其中可以清楚地看到希臘影響的痕跡。《悉曇多》共有五卷，其中《蘇利耶歷數(shù)全書》（Surya Siddhanta）和《包利薩歷數(shù)全書》（Paulisa Siddhanta）是最重要的，可以認(rèn)為其中包含有印度三角學(xué)的基礎(chǔ)。隨著西方羅馬帝國的衰微，數(shù)學(xué)活動的中心移到了東方。在公元500一公元1000年期問，印度出現(xiàn)了四五個有名的數(shù)學(xué)家。印度數(shù)學(xué)最繁盛的時期可能是在聞名于6世紀(jì)初的天文一數(shù)學(xué)家阿耶波多的著作發(fā)表前后。他的著作實質(zhì)上是《悉曇多》中所載結(jié)果的系統(tǒng)化，他的論文《阿耶波多歷書》（Aryabhativa）是特別有價值的，因為它不僅推動了這門學(xué)科的研究，而且還描繪了當(dāng)時數(shù)學(xué)知識的狀態(tài)。書中可以找到常用算術(shù)運算的種種規(guī)則，其中包括乘方和開方。此外還有一些關(guān)于簡單的二次方程、簡單的代數(shù)恒等式和等差級數(shù)的知識。但它最重要的一個特點乃是書中用連分?jǐn)?shù)處理了不定方程的問題，這和今天所用的方法實質(zhì)上相同。然而，正如印度關(guān)于數(shù)學(xué)的所有其他著作一樣，它很難說是一本科學(xué)論著。它收集了66條規(guī)則，其中許多都是非常復(fù)雜并且難以遵守的，它的重點總是放在論題的計算方面。書中沒有一處地方提示過證明方法，在為了得到解答而采取的一個個步驟中，進(jìn)行的方法與所有古代的東方問題一樣，都是巧妙地用文字來解釋的。如前所述，阿耶波多非常注意三角學(xué)，他引入了正弦和正矢的概念，對于托勒密的繁拙的半弦來說是一個顯著的進(jìn)步。他的幾何學(xué)僅限于用少數(shù)規(guī)則來確定立體的體積，并且這些規(guī)則中不少是不準(zhǔn)確的。例如，棱錐體的體積被定為底面積和高的乘積之一半，球的體積被定為具有同樣半徑的圓面積和這面積的平方根之乘積。雖然如此，他對于圓周與其直徑之比卻求出了一個非常相近的近似值。他是這樣說的：100加4，乘以8，再加62000，結(jié)果是直徑為20000的圓周的近似值，這就導(dǎo)致所求的比值是3.1416。但由于某種原因，直到12世紀(jì)前后印度數(shù)學(xué)家始終沒有使用過這個值。阿耶波多以后的6個世紀(jì)，即公元600—公元1200年，是一個燦爛輝煌的時期，同時也是一個荒蕪貧瘠的時期。這個時期最不朽的貢獻(xiàn)仍然是在不定方程的研究方面，這個問題對印度人總是具有一種強烈的吸引力。前面我們看到，丟番圖在處理這種問題時顯示了相當(dāng)?shù)牟胖?，但他似乎沒有得出求解的普遍法則。要把建立普遍法則的功績歸諸印度數(shù)學(xué)家會是言過其實的，但是，他們的工作對于我們在丟番圖那里所能找到的東西來說，則標(biāo)志著明顯的進(jìn)步。同時，有些跡象表明這個時期對幾何學(xué)的興趣恢復(fù)了，人們開始研究直角三角形的性質(zhì)，對純粹幾何學(xué)的不大徹底的處理也出現(xiàn)了。就在這個時期，特別是在分析方面產(chǎn)生了許多顯示出相當(dāng)技巧的數(shù)學(xué)家，他們是婆羅摩笈多（生于598年）、摩訶吠羅（活躍于9世紀(jì)）、施里德哈勒和婆什迦羅（約1114—1185）。婆羅摩笈多是他的國家里最偉大的數(shù)學(xué)家之一。他的工作主要建立在前人的工作上，尤其是阿耶波多的基礎(chǔ)上，但其中也有許多創(chuàng)造性的東西。他的著作中經(jīng)常出現(xiàn)算術(shù)運算（包括對開方問題的處理）、利息問題、比例、等差級數(shù)以及自然數(shù)的平方和等問題。我們在這里還可以看到他對負(fù)數(shù)及零已經(jīng)有了清楚的概念。他提出了解各種二次方程的規(guī)則，這些規(guī)則是用一系列問題的解答作為例證來說明的，但在各個步驟中仍然是用文字?jǐn)⑹龅?，此外別無其他方式。然而，他在不定方程方面卻顯示出最偉大的才能。阿耶波多簡單陳述過解一次不定方程的方法。婆羅摩笈多則大大超過了這一點，他提出了方程ax+by=c（a，b和c都是整數(shù)）的完全整數(shù)解，以及處理不定方程ax2+1=y2的巧妙方法。雖然他在這個數(shù)學(xué)分支中的工作不如我們在5個多世紀(jì)以后婆什迦羅的工作中所看到的那樣完整，但這已足夠給予他在數(shù)學(xué)史上一個不朽的地位了……

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