高等代數(shù)方法與技巧

內(nèi)容概要

　　《高等代數(shù)方法與技巧》通過高等代數(shù)的知識(shí)點(diǎn)及近年來研究生入學(xué)試題進(jìn)行分析和研究，把高等代數(shù)的解題方法歸納為50類，以此幫助讀者進(jìn)一步理解和把握高等代數(shù)的思想內(nèi)涵，掌握并學(xué)會(huì)高等代數(shù)的證題方法和技巧。
本書作為臨沂大學(xué)優(yōu)秀校本教材，經(jīng)學(xué)校立項(xiàng)并由山東人民出版社正式出版發(fā)行。本書既可作為大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)高等代數(shù)后繼課程的教材、作為數(shù)學(xué)專業(yè)研究生考試的輔導(dǎo)教材，也可作為理工科各專業(yè)講授線性代數(shù)教學(xué)和學(xué)生自學(xué)的輔導(dǎo)參考書。

書籍目錄

君子務(wù)本，本立而道生——《臨沂大學(xué)優(yōu)秀校本教材》總序韓延明
前言
第一章 行列式
 1．1 行列式定義的方法l
 1．2 行列式性質(zhì)的方法
 1．3 行列式乘積的方法
 1．4 行列式降階的方法
 1．5 矩陣積與和的行列式的方法
第二章 矩陣
 2．1 矩陣定義及其運(yùn)算的方法
 2．2 可逆矩陣與伴隨矩陣的方法
 2．3 標(biāo)準(zhǔn)單位向量的方法
 2．4 矩陣分塊的方法
 2．5 初等變換與初等矩陣的方法
 2．6 矩陣特征根的方法
 2．7 降階與升階的方法
 2．8 齊次線性方程組的方法
 2．9 構(gòu)造連續(xù)函數(shù)的方法
 2．10 可交換矩陣的方法
 2．11 矩陣若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的方法
第三章 特殊矩陣
 3．1 準(zhǔn)對(duì)角矩陣的方法
 3．2 k對(duì)稱矩陣的方法
 3．3 k正交矩陣的方法
 3．4 正規(guī)矩陣的方法
 3．5 多項(xiàng)式零化矩陣的方法
 3．6 正定矩陣的方法
第四章 線性方程組
 4．1 線性方程組有解的判定方法
 4．2 線性方程組的向量方法
 4．3 線性方程組的克萊姆方法
 4．4 齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的方法
 4．5 線性方程組解結(jié)構(gòu)的方法
 4．6 線性方程AXB=C解結(jié)構(gòu)的方法
第五章 多項(xiàng)式
 5．1 多項(xiàng)式的整除性方法
 5．2 多項(xiàng)式的最大公因式方法
 5．3 不可約多項(xiàng)式的方法
 5．4 多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式根的方法
第六章 向量空間
 6．1 向量空間定義的方法
 6．2 向量線性關(guān)系的方法
 6．3 基、維數(shù)和坐標(biāo)的方法
 6．4 子空間的交與和的方法
 6．5 向量空間同構(gòu)的方法
第七章 線性變換
 7．1 線性變換定義及運(yùn)算的方法
 7．2 線性變換與矩陣的方法
 7．3 求解線性變換特征根與特征向量的方法
 7．4 線性變換與矩陣對(duì)角化的方法
 7．5 線性變換不變子空間的方法
第八章 歐氏空間
 8．1 歐氏空間定義的方法
 8．2 歐氏空間正交向量組的方法
 8．3 正交變換與正交矩陣的方法
 8．4 對(duì)稱變換與對(duì)稱矩陣的方法
第九章 二次型
 9．1 二次型定義的方法
 9．2 二次型標(biāo)準(zhǔn)形的方法242
 9．3 正定二次型的方法
 9．4 Hermite型與Hermite矩陣的方法
習(xí)題解答與提示
主要參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：   插圖：   3.典型例題 例1 設(shè)A是m×n矩陣，對(duì)任意n維列向量X都有AX=0。證明：A=0。 證明 令A(yù)=（α1，α2，…，αn），取X=εi，i=1，2，…，n，于是有 α=Aεi=0，i=1，2，…，n。 所以A=0。 或證 A=AIn=A（ε1，ε2，…，εn）=（Aε1，Aε2，…，Aεn）=0。 例2 設(shè)A是一個(gè)n階矩陣，證明：A是實(shí)反對(duì)稱矩陣（即AT=—A）當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意n維列向量X都有XTAX=0。 證明 取X=εi，i=1，2，…，n，有aii=εTiAεi=0。 取X=εi+εj，則 XTAX=（εTi+εTj）A（εi+εj） =aii+aij+aji+ajj =aij+aji=0。 即aij=—aji，所以AT=—A。 反之，若AT=—A，則對(duì)任意列向量X，XTAX是一個(gè)數(shù)，于是有XTAX=XT（—A）TX=—（XTAX）T=—XTAX，所以XTAX=0。 例3 設(shè)A是一個(gè)n階整數(shù)矩陣。證明：對(duì)任意整數(shù)列向量β，AX=β都有整數(shù)解當(dāng)且僅當(dāng)|A|=±1。 證明 若|A|=±1，則A可逆，且對(duì)任意整數(shù)列向量β，顯然X=A—1β=1/|A|A*β=±A—β是AX=β的整數(shù)解。 反之，取β=εi，i=1，2，…，n，Xi是AX=εi的整數(shù)解。令B=（X1，X2，…，Xn），于是有 AB=（AX1，AX2，…，AXn）=（ε1，ε2，…，εn）=In。 故A可逆，且|A||B|=1，又因?yàn)榫仃嘇，B都是整數(shù)矩陣，所以|A|=±1。 例4 設(shè)A是一個(gè)m×n矩陣。證明：對(duì)任意m維列向量β，AX=β都有解當(dāng)且僅當(dāng)rank（A）=m。 證明 若對(duì)任意m維列向量β，AX=β都有解，取β=εi，=1，2，…，m，且Xi是AX=εi的解。令B=（X1，X2，…，Xm），于是有 AB=A（X1，X2，…，Xm）=（ε1，ε2，…，εm）=Im。 rank（A）≥rank（AB）=rank（Im）=m。 又因?yàn)閞ank（A）≤m，所以rank（A）=m。 反之，若rank（A）=m，則存在可逆矩陣P，Q滿足PAQ=（Im，0），于是有 A=P—1（Im，0）Q—1=（P—1，0）Q—1。 令B=Q（P0），則AB=Im。于是，對(duì)任意m維列向量β，有ABβ=β，即X=Bβ是方程AX=β的一個(gè)解。

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