高等數(shù)學(xué)

前言

　　前言　　在我國，高等職業(yè)技術(shù)學(xué)院是近十幾年才開始興辦的一種新型學(xué)院，她的辦學(xué)目標(biāo)與其他傳統(tǒng)高等院校有較大的差異，她是以培養(yǎng)生產(chǎn)、管理、服務(wù)一線的職業(yè)崗位能力為核心的高等職業(yè)教育。在總學(xué)時不可能增加甚至減少的前提下，實踐性教學(xué)學(xué)時比重大幅度增加，理論性教學(xué)學(xué)時就必須有所縮減。作為工科類高職院校開設(shè)的“高等數(shù)學(xué)”，其學(xué)習(xí)重點發(fā)生了重大轉(zhuǎn)變，其學(xué)時也已經(jīng)大幅度地縮減，這使得僅僅依靠簡單的章節(jié)刪減和教師個人對現(xiàn)行教材的靈活處理難以達(dá)到高效教學(xué)的目的。有必要根據(jù)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)院的培養(yǎng)目標(biāo)和特點，對現(xiàn)有“高等數(shù)學(xué)”課程的內(nèi)容進(jìn)行增刪、重組和整合。為此，我們編著的總體思想是，以提升學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法解決實際問題能力為核心，以數(shù)學(xué)思想優(yōu)先于數(shù)學(xué)方法，數(shù)學(xué)方法優(yōu)先于數(shù)學(xué)知識作為教學(xué)內(nèi)容的選取原則，以有限的教學(xué)時數(shù)最大化教學(xué)內(nèi)容為追求目標(biāo)?！　≡诩訌?qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)分析解決實際問題能力的培訓(xùn)方面，大大加強(qiáng)了運用導(dǎo)數(shù)求最值，運用微元法求面積、旋轉(zhuǎn)體體積、力和功等的培訓(xùn)。在大幅度縮減與提高應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題能力關(guān)系不密切的培訓(xùn)方面，大幅度縮減微分、不定積分計算技巧的培訓(xùn)，弱化或刪除定理的證明培訓(xùn)，即求證數(shù)學(xué)思想和方法正確性的培訓(xùn)等。所以，我們花費了大量的時間和精力來分清楚哪些是數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)容，哪些是為了嚴(yán)密描述數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)容而設(shè)計的數(shù)學(xué)語言。具體做了以下方面的處理?！　。?）Mathematica。在高職院校，數(shù)學(xué)主要是為專業(yè)課程服務(wù)，其核心是將專業(yè)問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)問題，如何求得具體答案，Mathematica軟件提供了強(qiáng)大的功能，這對降低學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度起到了難以估量的作用?！　。?）極限。極限本身不是我們要直接解決的問題，我們想解決的是如何計算“速度”和“面積”等問題，極限思想在這里起到了關(guān)鍵性的作用。本教材大大加強(qiáng)了對極限思想的理解訓(xùn)練。但是，在極限的運算訓(xùn)練中，主要保留了利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和洛必達(dá)法則計算函數(shù)極限，刪除了利用兩個重要極限等技巧性方法，這樣，既可以解決幾乎所有常見函數(shù)的求極限問題，又可以大大節(jié)約教學(xué)學(xué)時?！　。?）導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)及其運算簡單易學(xué)，基本上沒有作太大變動。熟練的微分運算技巧有助于計算不定積分。但是，本教材以查表或利用Mathematica軟件求原函數(shù)（不定積分）為主，所以只簡單介紹了微分計算，大幅度降低了微分計算的訓(xùn)練?！　。?）不定積分。不定積分的計算是現(xiàn)行《高等數(shù)學(xué)》的主要內(nèi)容和難點內(nèi)容，其功能是求原函數(shù)。不定積分的計算之所以是現(xiàn)行《高等數(shù)學(xué)》的主要內(nèi)容，是因為計算它要有很強(qiáng)的技巧。不定積分的計算之所以難，一方面，即使最常見的初等函數(shù)的不定積分也未必是初等函數(shù)，根本就“積不出”；另一方面，積分運算沒有通用的乘法、除法及復(fù)合運算法則。這導(dǎo)致不定積分的計算不像導(dǎo)數(shù)那么得心應(yīng)手，不同的函數(shù)要用不同的方法，要有很強(qiáng)的技巧。這不僅是不定積分的魅力所在，而且也是其致命缺陷。作為以運用《高等數(shù)學(xué)》解決實際問題為主要目的的學(xué)生，應(yīng)受到更多的訓(xùn)練是，如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后利用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)工具或數(shù)學(xué)結(jié)論得出結(jié)果，而不是花太多的時間解決數(shù)學(xué)本身的問題。因此，本教材只保留了介紹不定積分的簡單計算，更多更復(fù)雜的不定積分計算通過查表或借助Mathematica軟件解決。　　通過定義積分運算來引入不定積分，將不定積分作為積分運算的結(jié)果。不定積分的本質(zhì)是一個（函數(shù)）集合，如果孤立地以（函數(shù)）集合來定義不定積分，就不能直接反映不定積分記號中的積分運算符號和微分運算符號之間的本質(zhì)聯(lián)系，大大增加了學(xué)生理解湊微分法的難度。在以往的不定積分定義中，定義時以（函數(shù)）集合身份出現(xiàn)，在運算時又以函數(shù)身份出現(xiàn)，使學(xué)生感到茫然。我們將不定積分定義為積分運算的結(jié)果，以微分方程的解集形式引入就顯得更加自然流暢，易于理解?！　。?）定積分。定積分的應(yīng)用十分廣泛，為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，為了更能反映積分的原始思想，為了更恰當(dāng)?shù)伢w現(xiàn)定積分的重要性，為了讓學(xué)生更及時地了解連續(xù)函數(shù)的作用，本教材將定積分的內(nèi)容提前，將函數(shù)的連續(xù)概念及其性質(zhì)安排在定積分之后。非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是運用數(shù)學(xué)解決實際問題，即如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題或建立數(shù)學(xué)模型求解。本教材大大加強(qiáng)了這方面的訓(xùn)練。　?。?）多元微積分。多元微積分是一元微積分的推廣，其思想精髓和一元微積分一樣，只是在具體處理和計算技巧上有較大差異?？紤]到高職教育的定位，這里只介紹了一些基本內(nèi)容，并盡可能借用一元微積分的方法來處理，大大降低了學(xué)習(xí)的難度。　?。?）微分方程?，F(xiàn)行教材通常選擇針對自由項f（x）的形式逐一求特解和通解，然后根據(jù)通解求實際問題中滿足特定初始條件的特解。這是我們數(shù)學(xué)專業(yè)人員最擅長最常用的從一般到特殊的思維模式，這對于以解決數(shù)學(xué)問題為培養(yǎng)目的是非常合適的。但是，我們培養(yǎng)的是非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，不是以解決數(shù)學(xué)問題本身為目的，而是以解決實際問題為培養(yǎng)目的的，本教材摒棄了這種方法?！　∥覀冞x用了拉氏變換求解的方法，并用極短的篇幅引入了拉氏變換，這樣更接近實際，更加高效率。在實際問題中，人們要解決的問題常常是求滿足某些特定初始條件的特解。這樣，不但能更直接地解決實際問題，又能大大降低記憶各種形式的f（x）的特解形式，還可以避免求通解而必須學(xué)習(xí)微分方程的解的結(jié)構(gòu)等較抽象、難度高的內(nèi)容，降低了學(xué)習(xí)難度。更重要的是大大提高了解決實際問題的能力，縮短了學(xué)習(xí)時間，還避免了無效的重復(fù)計算，提高了學(xué)習(xí)和工作效率?！　。?）級數(shù)。級數(shù)的和函數(shù)可以在形式上與級數(shù)中的函數(shù)項毫無相同之處，更具體地說，有些函數(shù)可以等于在形式上毫不相干的冪級數(shù)或傅里葉級數(shù)。哪些函數(shù)可以用冪函數(shù)或三角函數(shù)來逼近、如何逼近等許多問題不是我們所必須解決的，那是數(shù)學(xué)專業(yè)人士的工作。所以，我們只簡單介紹了級數(shù)的基本知識，著重于如何將常見函數(shù)展開成泰勒級數(shù)或傅里葉級數(shù)，尤其是利用幾個基本函數(shù)的冪級數(shù)對常見函數(shù)進(jìn)行泰勒展開，而不是判斷級數(shù)的斂散性。　?。?）資料。本教材試圖通過提供一些重要數(shù)學(xué)思想產(chǎn)生的背景資料來進(jìn)一步幫助學(xué)生理解和掌握這些重要的數(shù)學(xué)思想等。通過提供資料的形式來向傳統(tǒng)高等數(shù)學(xué)教材過渡?！　。?0）學(xué)習(xí)指引。由于本教材的編著思想與現(xiàn)行教材有較大的差異，我們在不少章節(jié)都插入了學(xué)習(xí)指引，在更具體的問題上來進(jìn)一步闡述我們的教材設(shè)計思想，僅供使用者參考。　?。?1）數(shù)學(xué)用表。本教材的重點放在運用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法解決實際問題上，我們建議以考核學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法解決實際問題的能力為主。所以，除了在書后附有重新設(shè)計的較常用積分表和拉普拉斯變換表外，還附有一頁最常見的公式表，以方便考試時撕下使用?！　”窘滩牡木幹枷胧蔷幹呓?jīng)過十多年的職業(yè)教育實踐所形成的，并經(jīng)過縝密的思考和試驗后，于2000年完成初稿。經(jīng)過四輪的使用實踐，我們對其進(jìn)行了四次修改。在本次修改中，我們增加了Mathematica軟件的使用，希望探求降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度提高學(xué)生興趣的新途徑。　　本書由張建文、吳賢敏、金曉燕擔(dān)任主編，劉偉峰、黃偉祥、嚴(yán)峰、石海平、洪潔怡、袁曉莉和鄧朝發(fā)也參加了編寫，在此表示感謝?！　埥ㄎ摹　?011年7月

內(nèi)容概要

　　《高等數(shù)學(xué)》主要介紹了Mathematica軟件、函數(shù)極限、微積分、函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、定積分的應(yīng)用、多元函數(shù)的微積分、常微分方程、級數(shù)等方面內(nèi)容。重點放在運用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法解決實際問題上，大大加強(qiáng)了運用導(dǎo)數(shù)求最值，運用微元法求面積、旋轉(zhuǎn)體體積、力和功等的訓(xùn)練?！　　陡叩葦?shù)學(xué)》適合于高職高專各個專業(yè)的師生學(xué)習(xí)使用，同時也可供應(yīng)用型本科師生參考使用。

書籍目錄

微積分思想概述第一章　Mathematica軟件第一節(jié)　Mathematica概述第二節(jié)　Mathematica的基本量第二章　函數(shù)極限第一節(jié)　函數(shù)極限的概念第二節(jié)　函數(shù)極限的性質(zhì)及其運算第三節(jié)　無窮小量及其比較第三章　函數(shù)的微積分第一節(jié)　函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念第二節(jié)　求導(dǎo)法則第三節(jié)　函數(shù)的微分運算第四節(jié)　函數(shù)的積分運算第五節(jié)　函數(shù)定積分的概念第六節(jié)　函數(shù)的廣義積分第七節(jié)　函數(shù)的連續(xù)性第八節(jié)　連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第四章　函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)　利用導(dǎo)數(shù)求極限第二節(jié)　利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性第三節(jié)　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值第四節(jié)　導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用第五章　定積分的應(yīng)用第一節(jié)　利用微元法求面積第二節(jié)　利用微元法求體積第三節(jié)　利用微元法求功第四節(jié)　利用微元法求力第五節(jié)　微元法在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用第六節(jié)　微元法的其他應(yīng)用第六章　多元函數(shù)的微積分第一節(jié)　多元函數(shù)的概念第二節(jié)　偏導(dǎo)數(shù)第三節(jié)　多元函數(shù)的極值第四節(jié)　二重積分的概念及性質(zhì)第五節(jié)　二重積分的運算第七章　常微分方程第一節(jié)　利用分離變量法和常數(shù)變易法解微分方程第二節(jié)　利用拉普拉斯變換解微分方程第三節(jié)　微分方程與數(shù)學(xué)模型第八章　級數(shù)第一節(jié)　正項級數(shù)第二節(jié)　冪級數(shù)第三節(jié)　傅里葉級數(shù)附錄A　原函數(shù)(積分)表附錄B　幾個常見的定積分附錄C　常用函數(shù)的拉氏變換表附錄D　常用函數(shù)的拉氏逆變換表附錄E　部分習(xí)題參考答案附錄F　考試用公式參考文獻(xiàn)

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