應(yīng)用數(shù)學(xué)

前言

　　高等數(shù)學(xué)作為各專業(yè)的公共基礎(chǔ)課程，具有不可替代的專業(yè)服務(wù)功能和素質(zhì)培育功能，不僅為學(xué)習(xí)后續(xù)課程和進(jìn)一步擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識(shí)面奠定必要的基礎(chǔ)，而且在培養(yǎng)學(xué)生抽象思維、邏輯推理能力，綜合利用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，較強(qiáng)的自主學(xué)習(xí)能力，創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力方面都具有非常重要的作用。為使學(xué)生掌握高等數(shù)學(xué)的基本思想，培養(yǎng)學(xué)生在本專業(yè)及相關(guān)領(lǐng)域中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)分析、解決問(wèn)題的能力，本書構(gòu)建了以應(yīng)用為目的、以應(yīng)用為主線的課程內(nèi)容體系。　　我們知道，“微積分學(xué)”區(qū)別于初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于：處理問(wèn)題的范圍由靜態(tài)發(fā)展到動(dòng)態(tài)，由均勻發(fā)展到非均勻，由簡(jiǎn)單規(guī)則的幾何圖形發(fā)展到復(fù)雜不規(guī)則的幾何圖形，處理問(wèn)題的范圍由比較特殊發(fā)展到較為一般，這也正是“微積分學(xué)”得以廣泛應(yīng)用的根源。它不僅是引入導(dǎo)數(shù)與定積分概念的基礎(chǔ)，也是應(yīng)用“微積分學(xué)”描述實(shí)際問(wèn)題、解決實(shí)際問(wèn)題的知識(shí)鏈條?！　∫恢币詠?lái)，傳統(tǒng)的“微積分學(xué)”教學(xué)重視演繹及推理，重視定理的嚴(yán)格論證，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)確有好處。但從應(yīng)用的角度講，需要的往往不是論證的過(guò)程，而是它的結(jié)論。因此對(duì)于高職高專以及工科各專業(yè)的學(xué)生而言，在“微積分學(xué)”教學(xué)中，應(yīng)淡化嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證，強(qiáng)化幾何說(shuō)明，重視直觀、形象的理解。在數(shù)形結(jié)合方面，華羅庚先生也曾經(jīng)有過(guò)精辟的論述：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”?讓抽象變得自然，學(xué)生可以從煩瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和不具一般性的數(shù)學(xué)技巧中解脫出來(lái)，這樣做也符合教育部對(duì)高職高專教育所要求的理論“必需、夠用”的原則。這一點(diǎn)在全國(guó)各高職高專和部分本科院校最近幾年的“微積分學(xué)”教學(xué)中也達(dá)成了共識(shí)，本書在編寫過(guò)程中也著重注意了這一點(diǎn)?！　?shù)學(xué)不僅是一種工具，而且是一種思維模式；不僅是一種知識(shí)，而且是一種素養(yǎng)；不僅是一門科學(xué)，而且是一種文化。它內(nèi)容豐富，理論嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)用廣泛，影響深遠(yuǎn)。本書以通俗、生動(dòng)的語(yǔ)言講解微積分學(xué)對(duì)科技領(lǐng)域的深刻影響?數(shù)學(xué)也有自身的美，自身的和諧，由數(shù)學(xué)原理同樣能折射出其他學(xué)科的本質(zhì)，正所謂原天地之美，而達(dá)萬(wàn)物之理?因此，掌握數(shù)學(xué)基本原理，處理問(wèn)題自會(huì)凌波微步，左右逢源?！　”緯鵀檫m應(yīng)高職高專各專業(yè)特點(diǎn)和公共選修課要求而編寫的?書中加強(qiáng)了與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系較多的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的講解，注重基本運(yùn)算訓(xùn)練，不追求過(guò)分復(fù)雜的計(jì)算和變換?本書適用面廣，備有必學(xué)和選學(xué)內(nèi)容，可供不同專業(yè)使用?本書除保證必要的知識(shí)體系外，突出內(nèi)容的應(yīng)用性和針對(duì)性?？紤]到不同專業(yè)對(duì)高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容廣度和深度的不同要求，《應(yīng)用數(shù)學(xué)》做了適當(dāng)?shù)奶幚?，在?nèi)容的選取上，對(duì)加*號(hào)的內(nèi)容可依不同需要加以取舍，并不會(huì)影響后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)；在教學(xué)的深度上由于配有較豐富的例題和習(xí)題，從而使教師和學(xué)生都有較大的選擇余地，以滿足不同層次教學(xué)對(duì)象的要求?！　”緯Ｎ⒎址匠獭o(wú)窮級(jí)數(shù)部分由黃裕建老師編寫，多元函數(shù)微分學(xué)由和炳老師編寫，重積分部分由李樣明教授編寫，黃裕建老師、和炳老師負(fù)責(zé)本書的統(tǒng)稿及多次的修改定稿。在此對(duì)所有關(guān)心與支持本書編寫、修改工作的老師表示衷心的感謝?！　∠抻诰幷叩乃剑瑫须y免存在一些不足，歡迎專家、同行及讀者批評(píng)指正，以期不斷修改和提高。

內(nèi)容概要

　　《高職高專規(guī)劃教材：應(yīng)用數(shù)學(xué)》主要內(nèi)容包括：常微分方程、無(wú)窮級(jí)數(shù)、多元函數(shù)微分學(xué)、重積分等方面的基本概念、基本理論、基本方法和運(yùn)算技能，《高職高專規(guī)劃教材：應(yīng)用數(shù)學(xué)》適用面廣，備有必學(xué)和選學(xué)內(nèi)容，可供不同專業(yè)使用，為便于及時(shí)消化和理解概念及原理，每節(jié)都附有相關(guān)習(xí)題，每章都配有復(fù)習(xí)題，書末附有常用公式表、積分表兩個(gè)附錄及習(xí)題參考答案。

書籍目錄

第1章 常微分方程11.1 微分方程的基本概念11.1.1 微分方程的定義11.1.2 微分方程的解3習(xí)題1.1 41.2 一階微分方程51.2.1 可分離變量的微分方程51.2.2 齊次微分方程71.2.3 一階線性微分方程10習(xí)題1.2 131.3 可降階的高階微分方程141.3.1 y（n）=f（x）型的微分方程141.3.2 y″=f（x，y′）型的微分方程151.3.3 y″=f（y，y′）型的微分方程16習(xí)題1.3 161.4 一階微分方程應(yīng)用舉例171.5 二階線性微分方程241.5.1 二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)241.5.2 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解求法——特征方程法261.5.3 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程29習(xí)題1.5 341.6 二階常系數(shù)線性微分方程應(yīng)用舉例34復(fù)習(xí)題1 40第2章 無(wú)窮級(jí)數(shù)422.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)432.1.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念432.1.2 收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)45習(xí)題2.1 472.2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法482.2.1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂判別法482.2.2 交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其收斂判別法552.2.3 絕對(duì)收斂與條件收斂55習(xí)題2.2 572.3 冪級(jí)數(shù)582.3.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念582.3.2 冪級(jí)數(shù)的概念及其收斂域582.3.3 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與和函數(shù)62習(xí)題2.3 642.4 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開652.4.1 從幾何級(jí)數(shù)談起652.4.2 泰勒級(jí)數(shù)672.4.3 函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開法692.4.4 級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用71習(xí)題2.4 742.5 傅里葉級(jí)數(shù)752.5.1 三角函數(shù)系的正交性752.5.2 以2π為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開762.5.3 奇偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)792.5.4 以2l為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)81習(xí)題2.5 82復(fù)習(xí)題2 83第3章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用853.1 多元函數(shù)的基本概念853.1.1 平面上的點(diǎn)集853.1.2 多元函數(shù)的概念883.1.3 二元函數(shù)的極限913.1.4 二元函數(shù)的連續(xù)性92習(xí)題3.1 933.2 偏導(dǎo)數(shù)933.2.1 偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算933.2.2 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義963.2.3 高階偏導(dǎo)數(shù)963.2.4 方向?qū)?shù)97習(xí)題3.2 993.3 全微分993.3.1 全微分的定義1003.3.2 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用101習(xí)題3.3 1023.4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1023.4.1 復(fù)合后只有一個(gè)自變量1023.4.2 復(fù)合后有兩個(gè)以上自變量103習(xí)題3.4 1043.5 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則1043.5.1 一個(gè)方程的情形1043.5.2 方程組的情形106習(xí)題3.5 1073.6 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用1083.6.1 曲線的切線與法平面1083.6.2 曲面的切平面與法線109習(xí)題3.6 1113.7 多元函數(shù)的極值及其求法1113.7.1 多元函數(shù)的極值1113.7.2 多元函數(shù)的最值1133.7.3 條件極值和拉格朗日乘數(shù)法1153.7.4 最小二乘法118習(xí)題3.7 120復(fù)習(xí)題3 120第4章 重積分1224.1 二重積分的概念1224.1.1 從曲邊梯形的面積到曲頂柱體的體積1224.1.2 二重積分的定義1244.1.3 二重積分的性質(zhì)125習(xí)題4.1 1264.2 二重積分的計(jì)算1264.2.1 矩形區(qū)域D=a，b×c，d上的積分1264.2.2 一般區(qū)域上的積分1284.2.3 更一般的區(qū)域上的積分129習(xí)題4.2 1334.3 二重積分的變量代換134習(xí)題4.3 1374.4 二重積分的應(yīng)用1374.4.1 曲面的面積1374.4.2 平面薄片的質(zhì)心139習(xí)題4.4 142復(fù)習(xí)題4 142習(xí)題答案與提示144習(xí)題1.1 144習(xí)題1.2 144習(xí)題1.3 144習(xí)題1.5 144復(fù)習(xí)題1 145習(xí)題2.1 145習(xí)題2.2 146習(xí)題2.3 146習(xí)題2.4 146習(xí)題2.5 147復(fù)習(xí)題2 147習(xí)題3.1 148習(xí)題3.2 148習(xí)題3.3 149習(xí)題3.4 149習(xí)題3.5 149習(xí)題3.6 150習(xí)題3.7 150復(fù)習(xí)題3 150習(xí)題4.1 151習(xí)題4.2 151習(xí)題4.3 151習(xí)題4.4 151復(fù)習(xí)題4 151附錄一 153高等數(shù)學(xué)公式153附錄二 156常用積分公式156參考文獻(xiàn)166

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