應用數學

前言

　　高等數學作為各專業(yè)的公共基礎課程，具有不可替代的專業(yè)服務功能和素質培育功能，不僅為學習后續(xù)課程和進一步擴大數學知識面奠定必要的基礎，而且在培養(yǎng)學生抽象思維、邏輯推理能力，綜合利用所學知識分析問題、解決問題的能力，較強的自主學習能力，創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力方面都具有非常重要的作用。為使學生掌握高等數學的基本思想，培養(yǎng)學生在本專業(yè)及相關領域中應用數學知識來分析、解決問題的能力，本書構建了以應用為目的、以應用為主線的課程內容體系。　　我們知道，“微積分學”區(qū)別于初等數學的本質在于：處理問題的范圍由靜態(tài)發(fā)展到動態(tài)，由均勻發(fā)展到非均勻，由簡單規(guī)則的幾何圖形發(fā)展到復雜不規(guī)則的幾何圖形，處理問題的范圍由比較特殊發(fā)展到較為一般，這也正是“微積分學”得以廣泛應用的根源。它不僅是引入導數與定積分概念的基礎，也是應用“微積分學”描述實際問題、解決實際問題的知識鏈條?！　∫恢币詠?，傳統的“微積分學”教學重視演繹及推理，重視定理的嚴格論證，這對培養(yǎng)學生的數學素養(yǎng)確有好處。但從應用的角度講，需要的往往不是論證的過程，而是它的結論。因此對于高職高專以及工科各專業(yè)的學生而言，在“微積分學”教學中，應淡化嚴格的數學論證，強化幾何說明，重視直觀、形象的理解。在數形結合方面，華羅庚先生也曾經有過精辟的論述：“數缺形時少直觀，形少數時難入微”?讓抽象變得自然，學生可以從煩瑣的數學推導和不具一般性的數學技巧中解脫出來，這樣做也符合教育部對高職高專教育所要求的理論“必需、夠用”的原則。這一點在全國各高職高專和部分本科院校最近幾年的“微積分學”教學中也達成了共識，本書在編寫過程中也著重注意了這一點。　　數學不僅是一種工具，而且是一種思維模式；不僅是一種知識，而且是一種素養(yǎng)；不僅是一門科學，而且是一種文化。它內容豐富，理論嚴謹，應用廣泛，影響深遠。本書以通俗、生動的語言講解微積分學對科技領域的深刻影響?數學也有自身的美，自身的和諧，由數學原理同樣能折射出其他學科的本質，正所謂原天地之美，而達萬物之理?因此，掌握數學基本原理，處理問題自會凌波微步，左右逢源。　　本書為適應高職高專各專業(yè)特點和公共選修課要求而編寫的?書中加強了與實際應用聯系較多的基礎知識和基本方法的講解，注重基本運算訓練，不追求過分復雜的計算和變換?本書適用面廣，備有必學和選學內容，可供不同專業(yè)使用?本書除保證必要的知識體系外，突出內容的應用性和針對性?？紤]到不同專業(yè)對高等數學課程內容廣度和深度的不同要求，《應用數學》做了適當的處理，在內容的選取上，對加*號的內容可依不同需要加以取舍，并不會影響后續(xù)內容的學習；在教學的深度上由于配有較豐富的例題和習題，從而使教師和學生都有較大的選擇余地，以滿足不同層次教學對象的要求?！　”緯Ｎ⒎址匠?、無窮級數部分由黃裕建老師編寫，多元函數微分學由和炳老師編寫，重積分部分由李樣明教授編寫，黃裕建老師、和炳老師負責本書的統稿及多次的修改定稿。在此對所有關心與支持本書編寫、修改工作的老師表示衷心的感謝?！　∠抻诰幷叩乃?，書中難免存在一些不足，歡迎專家、同行及讀者批評指正，以期不斷修改和提高。

內容概要

　　《高職高專規(guī)劃教材：應用數學》主要內容包括：常微分方程、無窮級數、多元函數微分學、重積分等方面的基本概念、基本理論、基本方法和運算技能，《高職高專規(guī)劃教材：應用數學》適用面廣，備有必學和選學內容，可供不同專業(yè)使用，為便于及時消化和理解概念及原理，每節(jié)都附有相關習題，每章都配有復習題，書末附有常用公式表、積分表兩個附錄及習題參考答案。

書籍目錄

第1章 常微分方程11.1 微分方程的基本概念11.1.1 微分方程的定義11.1.2 微分方程的解3習題1.1 41.2 一階微分方程51.2.1 可分離變量的微分方程51.2.2 齊次微分方程71.2.3 一階線性微分方程10習題1.2 131.3 可降階的高階微分方程141.3.1 y（n）=f（x）型的微分方程141.3.2 y″=f（x，y′）型的微分方程151.3.3 y″=f（y，y′）型的微分方程16習題1.3 161.4 一階微分方程應用舉例171.5 二階線性微分方程241.5.1 二階線性微分方程解的結構241.5.2 二階常系數齊次線性微分方程的通解求法——特征方程法261.5.3 二階常系數非齊次線性微分方程29習題1.5 341.6 二階常系數線性微分方程應用舉例34復習題1 40第2章 無窮級數422.1 常數項級數的概念和性質432.1.1 常數項級數的概念432.1.2 收斂級數的基本性質45習題2.1 472.2 常數項級數的審斂法482.2.1 正項級數及其收斂判別法482.2.2 交錯級數及其收斂判別法552.2.3 絕對收斂與條件收斂55習題2.2 572.3 冪級數582.3.1 函數項級數的概念582.3.2 冪級數的概念及其收斂域582.3.3 冪級數的運算性質與和函數62習題2.3 642.4 函數的冪級數展開652.4.1 從幾何級數談起652.4.2 泰勒級數672.4.3 函數的泰勒級數展開法692.4.4 級數在近似計算中的應用71習題2.4 742.5 傅里葉級數752.5.1 三角函數系的正交性752.5.2 以2π為周期的函數的傅里葉級數展開762.5.3 奇偶函數的傅里葉級數792.5.4 以2l為周期的函數的傅里葉級數81習題2.5 82復習題2 83第3章 多元函數微分法及其應用853.1 多元函數的基本概念853.1.1 平面上的點集853.1.2 多元函數的概念883.1.3 二元函數的極限913.1.4 二元函數的連續(xù)性92習題3.1 933.2 偏導數933.2.1 偏導數的定義及其計算933.2.2 偏導數的幾何意義963.2.3 高階偏導數963.2.4 方向導數97習題3.2 993.3 全微分993.3.1 全微分的定義1003.3.2 全微分在近似計算中的應用101習題3.3 1023.4 多元復合函數的求導法則1023.4.1 復合后只有一個自變量1023.4.2 復合后有兩個以上自變量103習題3.4 1043.5 隱函數的求導法則1043.5.1 一個方程的情形1043.5.2 方程組的情形106習題3.5 1073.6 多元函數微分學的幾何應用1083.6.1 曲線的切線與法平面1083.6.2 曲面的切平面與法線109習題3.6 1113.7 多元函數的極值及其求法1113.7.1 多元函數的極值1113.7.2 多元函數的最值1133.7.3 條件極值和拉格朗日乘數法1153.7.4 最小二乘法118習題3.7 120復習題3 120第4章 重積分1224.1 二重積分的概念1224.1.1 從曲邊梯形的面積到曲頂柱體的體積1224.1.2 二重積分的定義1244.1.3 二重積分的性質125習題4.1 1264.2 二重積分的計算1264.2.1 矩形區(qū)域D=a，b×c，d上的積分1264.2.2 一般區(qū)域上的積分1284.2.3 更一般的區(qū)域上的積分129習題4.2 1334.3 二重積分的變量代換134習題4.3 1374.4 二重積分的應用1374.4.1 曲面的面積1374.4.2 平面薄片的質心139習題4.4 142復習題4 142習題答案與提示144習題1.1 144習題1.2 144習題1.3 144習題1.5 144復習題1 145習題2.1 145習題2.2 146習題2.3 146習題2.4 146習題2.5 147復習題2 147習題3.1 148習題3.2 148習題3.3 149習題3.4 149習題3.5 149習題3.6 150習題3.7 150復習題3 150習題4.1 151習題4.2 151習題4.3 151習題4.4 151復習題4 151附錄一 153高等數學公式153附錄二 156常用積分公式156參考文獻166

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