工程數(shù)學(xué)

內(nèi)容概要

　　《工程數(shù)學(xué)：復(fù)變函數(shù)（第3版）》前兩版經(jīng)過了北京許多高校近20年的教學(xué)實(shí)踐，第三版按照原國(guó)家教委新審定的有關(guān)基本要求，根據(jù)目前教學(xué)改革的需要，重新對(duì)全書內(nèi)容進(jìn)行精細(xì)、系統(tǒng)地研讀和修訂。全書包括復(fù)變函數(shù)及其極限和連續(xù)性、解析函數(shù)、復(fù)積分、復(fù)級(jí)數(shù)、留數(shù)及保角映射等內(nèi)容。書中還對(duì)重點(diǎn)、難點(diǎn)進(jìn)行了詳細(xì)的解釋。在各節(jié)的后面附有習(xí)題和習(xí)題答案，供讀者自檢。　　本書適于高等學(xué)校理工科類學(xué)生,以及工程技術(shù)人員閱讀。

書籍目錄

引言第1章  復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)及其極限1.1  復(fù)數(shù)及其運(yùn)算1.1.1  復(fù)數(shù)的概念及其表示法1.1.2  △　  復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算1.1.3?  擴(kuò)充復(fù)平面與復(fù)球面習(xí)題  1.1習(xí)題  1.1答案1.2  復(fù)平面上曲線和區(qū)域1.2.1 △　 復(fù)平面上曲線方程的各種表示1.2.2  △　  連續(xù)曲線和簡(jiǎn)單曲線與光滑曲線1.2.3  平面點(diǎn)集與區(qū)域習(xí)題  1.2習(xí)題  1.2答案1.3  復(fù)變函數(shù)與整線性映射1.3.1  △復(fù)變函數(shù)的概念1.3.2  復(fù)映射——復(fù)變函數(shù)的幾何意義1.3.3  整線性映射及其保圓性習(xí)題  1.3習(xí)題  1.3答案1.4  復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)1.4.1  △　  復(fù)變函數(shù)的極限1.4.2  復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題  1.4習(xí)題  1.4答案第2章  解析函數(shù)2.1  復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.1.1  △　  導(dǎo)數(shù)的概念及其求導(dǎo)法則2.1.2  微分的定義及其可微的充要條件習(xí)題  2.1習(xí)題  2.1答案2.2  函數(shù)的解析性和指數(shù)函數(shù)2.2.1  函數(shù)解析的概念和充要條件2.2.2  解析函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)2.2.3  △　  指數(shù)函數(shù)　 exp （z）＝  e z習(xí)題  2.2習(xí)題  2.2答案2.3  初等解析函數(shù)2.3.1  對(duì)數(shù)函數(shù)2.3.2  冪函數(shù)2.3.3  三角函數(shù)和雙曲函數(shù)2.3.4  △　  反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)習(xí)題  2.3習(xí)題  2.3答案第3章  復(fù)積分3.1  復(fù)積分的概念及其性質(zhì)3.1.1  復(fù)變函數(shù)積分的概念3.1.2  復(fù)積分的存在性及其一般計(jì)算公式3.1.3  △　  復(fù)積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)習(xí)題  3.1習(xí)題  3.1答案3.2  積分與其路徑的無關(guān)性3.2.1  復(fù)積分與其積分路徑無關(guān)的條件3.2.2  解析函數(shù)的原函數(shù)和在積分計(jì)算中的應(yīng)用3.2.3  △　  復(fù)閉路定理和閉路變形原理習(xí)題  3.2習(xí)題  3.2答案3.3  Cauchy積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式3.3.1  解析函數(shù)的Cauchy積分公式3.3.2  解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)定理3.3.3  △解析函數(shù)的實(shí)部和虛部與調(diào)和函數(shù)習(xí)題  3.3習(xí)題  3.3答案3.4?  平面調(diào)和場(chǎng)及其復(fù)勢(shì)3.4.1  平面向量場(chǎng)的旋度和散度與平面調(diào)和場(chǎng)3.4.2  平面調(diào)和場(chǎng)的復(fù)勢(shì)及其有關(guān)等式3.4.3  平面流速場(chǎng)和靜電場(chǎng)的復(fù)勢(shì)求法及其應(yīng)用習(xí)題  3.4習(xí)題  3.4答案第4章  復(fù)級(jí)數(shù)4.1  復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)4.1.1  復(fù)數(shù)列的收斂性及其判別法4.1.2  復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性及其判別法4.1.3  冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑4.1.4  △冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)習(xí)題  4.1習(xí)題  4.1答案4.2  Taylor級(jí)數(shù)4.2.1  有關(guān)逐項(xiàng)積分的兩個(gè)引理4.2.2  Taylor級(jí)數(shù)展開定理4.2.3  基本初等函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)展開式4.2.4  △　  典型例題及其說明習(xí)題  4.2習(xí)題  4.2答案4.3  Laurent級(jí)數(shù)4.3.1  Laurent級(jí)數(shù)展開定理4.3.2  Laurent級(jí)數(shù)的性質(zhì)4.3.3  △　  用Laurent級(jí)數(shù)展開式計(jì)算積分習(xí)題  4.3習(xí)題  4.3答案第5章  留數(shù)及其應(yīng)用5.1  函數(shù)的孤立奇點(diǎn)及其分類5.1.1  函數(shù)孤立奇點(diǎn)的概念和分類5.1.2  函數(shù)各類孤立奇點(diǎn)的充要條件5.1.3  用函數(shù)的零點(diǎn)判別極點(diǎn)的類型5.1.4?  函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)習(xí)題  5.1習(xí)題  5.1答案5.2  留數(shù)和留數(shù)定理5.2.1△  留數(shù)的定義和計(jì)算5.2.2  留數(shù)定理5.2.3?  函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的留數(shù)習(xí)題  5.2習(xí)題  5.2答案5.3  留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用5.3.1?△形如I1=∫α0f cos 2πα,  sin 2πθαdθ的積分5.3.2  形如?I?2=∫?∞??-∞?f(x)　 d　 x的積分5.3.3  形如?I?3=∫  +∞???-∞?f(x) e  i  βx  d　  x(β＞0)的積分習(xí)題  5.3習(xí)題  5.3答案5.4  ??輻角原理及其應(yīng)用5.4.1  對(duì)數(shù)留數(shù)5.4.2  輻角原理5.4.3  Rouche′定理習(xí)題  5.4習(xí)題  5.4答案第6章?*  保角映射6.1  保角映射的概念6.1.1  曲線的切線方向和兩條曲線的夾角6.1.2  解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義6.1.3  保角映射的概念和定理習(xí)題  6.1習(xí)題  6.1答案6.2  分式線性映射及其性質(zhì)6.2.1  在擴(kuò)充復(fù)平面上的保圓性6.2.2  在擴(kuò)充復(fù)平面保持交比的不變性6.2.3  對(duì)擴(kuò)充復(fù)平面上圓周的保對(duì)稱性6.2.4  對(duì)有向圓周和直線的保側(cè)性6.2.5  三種特殊的分式線性映射習(xí)題  6.2習(xí)題  6.2答案6.3  幾個(gè)初等函數(shù)所構(gòu)成的映射6.3.1  對(duì)數(shù)映射w=　 ln　 z和指數(shù)映射w=　 e  z6.3.2  冪映射w=zn及其逆映射(n=2,3,…)6.3.3?  儒柯夫斯基(　 H.E.Жyковскни　 )函數(shù)習(xí)題  6.3習(xí)題  6.3答案6.4??保角映射幾個(gè)一般性定理及其應(yīng)用6.4.1  保角映射的幾個(gè)一般性定理6.4.2Schwarz?Christoffel　 映射——多角形映射6.4.3  用保角映射解　 Laplace　 方程邊值問題習(xí)題  6.4習(xí)題  6.4答案參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

　　第6章 保角映射 第1章我們介紹過復(fù)變函數(shù)的幾何意義--映射。在此基礎(chǔ)上，本章先敘述解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并且給出保角映射的概念。然后具體討論分式線性函數(shù)和幾個(gè)基本初等函數(shù)所構(gòu)成的保角映射的特點(diǎn)與作用。最后介紹保角映射的幾個(gè)一般性定理和Schwarz-Christoffel映射--多角形映射。實(shí)際中許多問題的困難是由于有關(guān)函數(shù)的定義域比較復(fù)雜而引起的，需要利用保角映射把這些問題變換為比較簡(jiǎn)單區(qū)域上的問題來解決。這方面的應(yīng)用只在最后一節(jié)以Laplace方程為例說明之，以便讀者參考。6.1保角映射的概念 為了討論解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和保角映射的概念，本節(jié)首先需要說明有向曲線的切線方向和兩條相交曲線夾角的有關(guān)規(guī)定，并且總假定所給平面曲線是有向光滑曲線。6.1.1 曲線的切線方向和兩條曲線的夾角 由于任意一段有向曲線AB可用參數(shù)方程表示為z=z（t）+iy（t）（a≤t≤b），其反向曲線BA可表示為z=x（-t）+iy（-t）（-b≤t≤-a），它們的方向都是由t增加的方向來給定的，因此我們總可以將任一條曲線C的參數(shù)方程簡(jiǎn)寫為 z=z（t），α≤t≤β （6-1-1） 并且認(rèn)為C的方向就是參數(shù)t增加的方向。對(duì)于C上某一點(diǎn)z0=z（t0）（α　定義1 對(duì)于由式（6-1-1）給出的有向曲線C，稱復(fù)向量z′（t0）為C在點(diǎn)z0=z（t0）的切矢量。由于C是光滑曲線，因此z′（t0）≠0。顯然Argz′（t0）是正實(shí)軸方向矢量繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到切矢量z′（t0）方向的轉(zhuǎn)動(dòng)角--簡(jiǎn)稱為正實(shí)軸到矢量z′（t0）的夾角。定義2 對(duì)于兩條相交的有向曲線C1和C2，可設(shè)它們的參數(shù)方程分別為z=zk（t）（ak≤t≤βk；k=1，2），其交點(diǎn)為z0=z1（t0）=z2（t2），在z0處切矢量分別為z′1（t0）和z′2（t2）。我們稱C1的切矢量z′1（t0）繞z0旋轉(zhuǎn)到C2的切矢量z′2（t2）的轉(zhuǎn)動(dòng)角為C1到C2在點(diǎn)z0的夾角，記為∠C1z0C2。由于這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)角可視為矢量z′1（t0）繞點(diǎn)z0旋轉(zhuǎn)到實(shí)軸正向再旋轉(zhuǎn)到矢量z′2（t2）的復(fù)合，因此可表示為顯然∠C1z0C2是多值的，且有∠C2z0C1=-∠C1z0C2。

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