從生活學(xué)數(shù)學(xué)

前言

數(shù)學(xué)就在你身邊    幾年前我寫(xiě)了一本書(shū)《阿草的葫蘆》（遠(yuǎn)哲科學(xué)教育基金會(huì)出版），特別標(biāo)明“人類(lèi)文化活動(dòng)中的數(shù)學(xué)”。出版后頗受好評(píng)，不過(guò)也有人告訴我，還是寫(xiě)得太深，跳躍得太快。    我承認(rèn)，該書(shū)的讀者應(yīng)該是已對(duì)數(shù)學(xué)有興趣，同時(shí)更想了解數(shù)學(xué)在文化中所扮演角色的人。我考慮，是否該寫(xiě)一本書(shū)，能讓一般讀者發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)其實(shí)就是身邊事，從而引起對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。    參加臺(tái)灣中小學(xué)九年數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)，讓我更能體會(huì)到，一般人需要什么樣的數(shù)學(xué)。所以我就寫(xiě)了現(xiàn)在這本書(shū)，定位是一般人能夠理解的數(shù)學(xué)，內(nèi)容不僅有義務(wù)教育該學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)，也有不少以義務(wù)教育為基礎(chǔ)，在終身學(xué)習(xí)的實(shí)踐中，各位成熟的社會(huì)人士也能領(lǐng)會(huì)的數(shù)學(xué)?！皵?shù)學(xué)是科學(xué)之母”，學(xué)科學(xué)的人都會(huì)同意這樣的觀點(diǎn)，但一般人為什么要學(xué)數(shù)學(xué)？很多人說(shuō)離開(kāi)學(xué)校后，除了簡(jiǎn)單的算術(shù)外，數(shù)學(xué)是沒(méi)有用的；少數(shù)人說(shuō)學(xué)好數(shù)學(xué)腦筋會(huì)比較清楚。前者屬于數(shù)學(xué)無(wú)用論，后者屬于數(shù)學(xué)抽象有用論。無(wú)論怎么說(shuō)，數(shù)學(xué)教育都是件很必要的事。    這使我想起了尋找圣杯的故事。從12世紀(jì)開(kāi)始，英國(guó)流傳阿瑟王及圓桌武士的故事。除了主框架外，后人又添加了許多新武士及他們的冒險(xiǎn)故事。冒險(xiǎn)故事之一就是尋找圣杯。    圣杯是耶穌及其門(mén)徒在最后晚餐時(shí)所用的杯子，自然神圣得很；傳說(shuō)圣杯又可以變出許多食物，所以同時(shí)又有用得很。“神圣得很”類(lèi)似于數(shù)學(xué)抽象有用論？“有用得很”類(lèi)似于“數(shù)學(xué)是科學(xué)之母”，或者對(duì)一般人真有用？    傳說(shuō)圣杯放在某一個(gè)古堡中，也傳說(shuō)圣杯無(wú)所不在，于是眾多武士忙得不亦樂(lè)乎。從事數(shù)學(xué)教育的人也在問(wèn)，數(shù)學(xué)的圣杯是什么？在哪里找得到？經(jīng)過(guò)多年的尋尋覓覓，我認(rèn)為數(shù)學(xué)的圣杯就是數(shù)與形所能呈現(xiàn)的各種模式（pattern）——廣義的規(guī)律，在日常生活中，在各個(gè)領(lǐng)域里，它是無(wú)所不在的。    尋找數(shù)學(xué)圣杯    我把各處找到的數(shù)學(xué)圣杯，匯總成這本書(shū)。這本書(shū)盡量用實(shí)際的例子進(jìn)行說(shuō)明。全書(shū)36篇文章，依類(lèi)分為六大篇，分別以“學(xué)、說(shuō)、算、變、看、想”為題。    “學(xué)”篇強(qiáng)調(diào)學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)擺在模式的追求與了解，模式指的是各種廣義的規(guī)律，在許多事物中的數(shù)與形都會(huì)出現(xiàn)。學(xué)會(huì)追尋模式，提高數(shù)學(xué)能力，這樣學(xué)數(shù)學(xué)才真正有用。    里面有兩篇文章討論規(guī)律與模式?！叭耸菍で笠?guī)律的動(dòng)物”這篇文章，原來(lái)出現(xiàn)在黃敏晃教授所著的《規(guī)律的尋求》（心理出版社出版）一書(shū)中，是我替該書(shū)所寫(xiě)的一篇序文。第二篇文章“從規(guī)律到模式”則說(shuō)明“廣義的規(guī)律”是什么，為什么選用“模式”作為pattern    的譯名。另外的三篇文章則舉例談數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。    “說(shuō)”篇談的是一般語(yǔ)言中，牽涉到數(shù)字的語(yǔ)匯，譬如數(shù)數(shù)、計(jì)量、說(shuō)時(shí)間、說(shuō)空間、說(shuō)順序，等等。我們用十進(jìn)制帶出萬(wàn)進(jìn)位數(shù)，很有特色。我們用數(shù)量詞來(lái)作為點(diǎn)數(shù)實(shí)物的單位，但量詞應(yīng)用對(duì)象的歸類(lèi)又太馬虎，造成學(xué)習(xí)量詞的困擾。時(shí)間、空間、順序的說(shuō)法，如果不去注意說(shuō)話者的時(shí)空背景，有時(shí)會(huì)造成雞同鴨講的困惑，譬如“向前看”怎么理解？下一班車(chē)和這一班車(chē)又怎么轉(zhuǎn)換？    另外，有些詞語(yǔ)和說(shuō)法都與數(shù)學(xué)有關(guān)，如亂七八糟、舉一反三等，已融入日常生活，只有深究其原意，才能更了解這些用法的深意。    “算”篇談的是算術(shù)。算術(shù)不只是計(jì)算規(guī)則。我們經(jīng)常遇到很大的數(shù)目，不可能細(xì)數(shù)，只能估算。估算當(dāng)然要了解相關(guān)事物的背景。要與日常生活或其他領(lǐng)域結(jié)合起來(lái)，數(shù)學(xué)才會(huì)有用。    隨著時(shí)間的推移，有些數(shù)字，譬如要過(guò)的日子、人口的多少、航班的號(hào)碼，都有無(wú)限增長(zhǎng)或重復(fù)利用的可能，我們稱之為潛在的無(wú)窮。怎樣掌握潛在的無(wú)窮，算術(shù)扮演著重要的角色。    “變”篇談的是代數(shù)，強(qiáng)調(diào)“變”是代數(shù)思維的主軸：把同類(lèi)的事物，以變量x做標(biāo)記加以類(lèi)化；隨著事物x的變化，事物某種特定的性質(zhì)f（x）也隨之變化。如何類(lèi)化？如何由x確定f（x）？如何由f（x）之特定值確定x？這三個(gè)問(wèn)題都屬于代數(shù)的范疇。通常代數(shù)的教學(xué)過(guò)分重視第三個(gè)問(wèn)題，也就是設(shè)未知數(shù)解方程式。其實(shí)在日常生活中，幾乎沒(méi)有機(jī)會(huì)解方程式。第二個(gè)問(wèn)題是建立模型的問(wèn)題。類(lèi)化與模型的應(yīng)用最為廣泛，應(yīng)作為一般人學(xué)習(xí)代數(shù)的重點(diǎn)。    計(jì)量心理學(xué)家提出了感覺(jué)M與刺激E之間的數(shù)學(xué)模型：E是M的指數(shù)函數(shù)。它可應(yīng)用到地震規(guī)模與能量、星星的星等與亮度，推而廣之，到都市規(guī)模、人才等級(jí)，等等。另外各種增長(zhǎng)現(xiàn)象，甚至音樂(lè)的音階設(shè)計(jì)，也可通過(guò)指數(shù)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來(lái)了解。    “看”篇談的是幾何。我們不談平面幾何的推理，而強(qiáng)調(diào)的是“看”：看地圖、地標(biāo)找路、看視界的遠(yuǎn)近、看面積的大小。這些都是簡(jiǎn)單的幾何應(yīng)用，案例卻是潛在的無(wú)窮。    我們也注意看平面的位置變化，鏡面對(duì)稱的、平移的、旋轉(zhuǎn)的，進(jìn)而探討各種對(duì)稱及帶狀裝飾。在這里，我們發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)與藝術(shù)相通的地方，數(shù)學(xué)提供了基本模式的理論基礎(chǔ)，藝術(shù)則在此基礎(chǔ)之上發(fā)揮，做各種各樣多彩多姿的變化。    “想”篇說(shuō)明數(shù)學(xué)是一種語(yǔ)言，當(dāng)然有其思考的特色。我們把這種特色融入一般語(yǔ)言之中，于是歸納的意義、個(gè)體與集體之間的關(guān)系、集體與整體的不同、三段論法的應(yīng)用、充分必要條件的區(qū)分、多元的可能與選擇，等等，就比較容易想得清楚。甚至幽默與笑話之所以幽默好笑，也可以有些數(shù)學(xué)的道理。    一本書(shū)不可能講述尋找數(shù)學(xué)圣杯的所有故事，這本書(shū)希望能帶給讀者尋找數(shù)學(xué)圣杯的喜悅與沖動(dòng)。    阿草

內(nèi)容概要

大家都認(rèn)為數(shù)學(xué)很重要，可是也害怕數(shù)學(xué)，甚至常常質(zhì)疑為什么要學(xué)那么多生活中用不到的數(shù)學(xué)！數(shù)學(xué)真的像大家想的那樣，遙不可及嗎？
曹老師的《從生活學(xué)數(shù)學(xué)》，以“學(xué)、說(shuō)、算、變、看、想”為題，借用發(fā)生在你我身邊的實(shí)際例子，帶你從生活中“學(xué)”會(huì)萬(wàn)物背后的數(shù)與形，探討亂七八糟、不三不四等等和數(shù)學(xué)有關(guān)的“說(shuō)”法，教你如何估“算”，思考“變”與如何應(yīng)變的代數(shù)問(wèn)題，用一點(diǎn)數(shù)學(xué)眼光“看”都市街道，“想
”清楚你說(shuō)的話是否符合邏輯。
 一起進(jìn)到曹老師的生活數(shù)學(xué)教室來(lái)，保你一生受用！
《從生活學(xué)數(shù)學(xué)》由曹亮吉編著。

作者簡(jiǎn)介

曹亮吉，1943年生于東京，三歲返回中國(guó)臺(tái)灣。臺(tái)灣大學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)士，1972年獲得美國(guó)芝加哥大學(xué)博士學(xué)位。自1976年在臺(tái)灣大學(xué)數(shù)學(xué)系任教，曾擔(dān)任系主任。2001年退休。曾擔(dān)任《臺(tái)灣數(shù)學(xué)期刊》和《科學(xué)月刊》總編輯。目前是臺(tái)灣的大學(xué)入學(xué)考試中心顧問(wèn)。多年來(lái)以“阿草”為筆名，致力于數(shù)學(xué)與科普寫(xiě)作。著作有：《阿草的葫蘆》、《微積分基本要義》、《阿草的歷史故事》、《阿草的數(shù)學(xué)圣杯》《阿草的數(shù)學(xué)天地》等?！栋⒉莸暮J》更榮獲第一屆吳大酋犬科學(xué)普及著作創(chuàng)作類(lèi)銀簽獎(jiǎng)。

書(shū)籍目錄

序（第一版）　數(shù)學(xué)就在你身邊
第0篇
　學(xué)篇
　學(xué)什么、怎么學(xué)
　0.1　人是尋求規(guī)律的動(dòng)物
　0.2　從“規(guī)律”到“模式”
　0.3　問(wèn)路
　0.4　尋根
　0.5　積分榜的學(xué)問(wèn)
第1篇
　說(shuō)篇
　說(shuō)什么，怎么說(shuō)
　1.1　1、2、3……
　1.2　向前看，怎么理解？
　1.3　雞同鴨講
　1.4　分門(mén)別類(lèi)
　1.5　舉一反三
第2篇
　算篇
　算什么、怎么算
　2.1　現(xiàn)代的覺(jué)者
　2.2　新聞焦點(diǎn)數(shù)字
　2.3　差不多先生的一天
　2.4　去零術(shù)
　2.5　7等于1
　2.6　潛在的無(wú)窮
第3篇
　變篇
　變什么，怎么變
　3.1　代數(shù)思維的核心
　3.2　類(lèi)化成系統(tǒng)
　3.3　關(guān)系的類(lèi)化
　3.4　數(shù)學(xué)模型
　3.5　等比的世界
　3.6　音，調(diào)對(duì)了嗎？
　3.7　頻率的平均
第4篇
　看篇
　看什么、怎么看
　4.1　找路
　4.2　登高遠(yuǎn)眺
　4.3　左邊的路給誰(shuí)走？
　4.4　孿生的左與右
　4.5　對(duì)稱
　4.6　帶狀裝飾
第5篇
　想篇
　想什么，怎么想
　5.1　數(shù)學(xué)是一種語(yǔ)言
　5.2　集體與個(gè)體之間
　5.3　人皆有死
　5.4　混水就能摸到魚(yú)？
　5.5　0與1之間的選擇
　5.6　挑戰(zhàn)約定，凸顯特色

章節(jié)摘錄

0.1 人是尋求規(guī)律的動(dòng)物    人是尋求規(guī)律的動(dòng)物，從語(yǔ)文及數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程就可看出端倪。    語(yǔ)文要是沒(méi)有規(guī)律，彼此無(wú)法溝通，就不成為語(yǔ)文。    語(yǔ)文的規(guī)律大致有兩個(gè)層次。一個(gè)是大體的結(jié)構(gòu)，譬如字序，中文的“狗咬我”和“我咬狗”，意義完全不同，而日文要把“狗咬我”說(shuō)成“我（被）狗咬（了）”。又譬如，必要的話，時(shí)間、空間要講清楚，否則不知道你講的是何時(shí)何地的事。    另一個(gè)層次是較細(xì)致的變化，譬如英文動(dòng)詞過(guò)去式的語(yǔ)尾變化，中文因類(lèi)而不同的各種數(shù)量詞用法（個(gè)、只、顆、粒……）。    小朋友學(xué)語(yǔ)文，結(jié)構(gòu)層次的規(guī)律很快就掌握得差不多，細(xì)致變化的那一層次則會(huì)引起一些學(xué)習(xí)的困擾，因?yàn)橐?guī)律大致是有的，但不清楚或例外的地方也不少。    譬如英文的過(guò)去式，大致來(lái)說(shuō)是用“動(dòng)詞加ed’：的形式。這是規(guī)律。但不規(guī)則動(dòng)詞也不在少數(shù)。以英文為母語(yǔ)開(kāi)始學(xué)話的小孩子，受環(huán)境的影響，知道go的過(guò)去式為went；不過(guò)學(xué)得愈來(lái)愈多的規(guī)則動(dòng)詞之后，有一段時(shí)間會(huì)不自覺(jué)把go的過(guò)去式說(shuō)成goed。經(jīng)過(guò)父母老師的糾正，他才知道動(dòng)詞有規(guī)則的，也有不規(guī)則的，于是舍棄goed，重新又說(shuō)went。    人類(lèi)在發(fā)展語(yǔ)言的過(guò)程中，體會(huì)到現(xiàn)在與過(guò)去需要有所區(qū)別，于是英文就用不同的字代表現(xiàn)在與過(guò)去，所以一些常用動(dòng)詞都是不規(guī)則的。不規(guī)則動(dòng)詞一多，使用就不方便，于是發(fā)展了以ed代表過(guò)去的規(guī)律。不過(guò)，已經(jīng)有的不規(guī)則動(dòng)詞早已成了文化的一部分，只好任其不規(guī)則。    然而，人到底是尋求規(guī)律的動(dòng)物，于是許多現(xiàn)在已不常用的不規(guī)則動(dòng)詞，如dwell（??；通常用liVe）的過(guò)去式dwelt就很少人會(huì)用，而dwelled也逐漸取得合法的地位。相信這樣發(fā)展下去，英文中的不規(guī)則動(dòng)詞會(huì)愈來(lái)愈少。“顆”與“?！痹趺磪^(qū)別?    中文數(shù)量詞的用法，常常和歸類(lèi)有關(guān)。有腳動(dòng)物歸成一類(lèi)（人除外），用“只”；長(zhǎng)條形的東西用“條”，等等。歸類(lèi)自然得尋找共同的表征，也就是尋求規(guī)律。    當(dāng)然，老祖宗在發(fā)展數(shù)量詞的過(guò)程中，歸類(lèi)的工作沒(méi)做得非?？茖W(xué)?！邦w”與“?！痹趺磪^(qū)別?大體來(lái)說(shuō)，“粒”指的是顆粒狀中細(xì)小者，“顆”指圓形或粒狀的東西。有時(shí)通用，像一顆（粒）珍珠，一顆（粒）子彈。    在臺(tái)灣方言中，常說(shuō)一粒西瓜，不說(shuō)一顆西瓜，而用普通話，則說(shuō)一個(gè)西瓜，不說(shuō)一顆西瓜。我相信在規(guī)律化的趨勢(shì)下，數(shù)量詞會(huì)愈來(lái)愈簡(jiǎn)化。    數(shù)數(shù)目的規(guī)律    英文的11（eleven）是“10余1”的意思，12（twelve）是“10余2”的意思，13（thirteen）是“3+10”的意思，一直到19都是加法的思路。不過(guò)，過(guò)了20，規(guī)律就確定了，先說(shuō)整的部分，再說(shuō)零頭的部分，從此往下數(shù)就很順暢。    很多語(yǔ)言都有類(lèi)似的發(fā)展過(guò)程，開(kāi)始慢慢數(shù)，后來(lái)數(shù)出了心得，數(shù)出了規(guī)律。像我們中文很早就建立了十進(jìn)制的數(shù)數(shù)目規(guī)律．是很難得的。    人是尋求規(guī)律的動(dòng)物。    觀察了天象，知道天體運(yùn)行的規(guī)律，還進(jìn)一步，建立歷法來(lái)規(guī)范作息。    歷史學(xué)家尋求朝代改變的規(guī)律，想以此作為借鑒。    地理學(xué)家注意到，在地球上，無(wú)論南半球還是北半球，只要在緯度30°與40°之間靠海的陸地，夏天氣候一定是炎熱干燥。冬天都是溫和潮濕，因此都有類(lèi)似的植物生態(tài)。所以地中海型氣候的規(guī)律就不限于地中海一個(gè)地方了。    數(shù)學(xué)里也有許許多多不很復(fù)雜的規(guī)律，可讓學(xué)生去尋求。    尋求規(guī)律很有趣，而且可以積累許多經(jīng)驗(yàn)，以便用于其他領(lǐng)域中規(guī)律的尋求。    0.2 從“規(guī)律”到“模式”    語(yǔ)言的發(fā)展從凌亂開(kāi)始，漸漸約定俗成，有了規(guī)律，進(jìn)一步才有意簡(jiǎn)化規(guī)律。這樣的發(fā)展過(guò)程本身，也呈現(xiàn)一種通性——許多語(yǔ)言都是這樣發(fā)展的。    數(shù)數(shù)目數(shù)到某個(gè)階段，豁然開(kāi)朗，懂得了十進(jìn)制的原理，從此以后數(shù)得順暢，這也是小朋友數(shù)數(shù)的通性。但是中文的數(shù)數(shù)，卻沒(méi)留下最前階段數(shù)得不順暢的痕跡。    規(guī)律給人的印象是一成不變的。通性則是模糊之中大致有個(gè)規(guī)律；通性是廣義的規(guī)律。    成名的畫(huà)家，他的畫(huà)有一定的風(fēng)格，有欣賞能力的人，一眼就看得出來(lái)。風(fēng)格不是嚴(yán)格的規(guī)律，它有變化的空間，頂多是廣義的規(guī)律。    流行的服飾有一定的式樣，大家爭(zhēng)相模仿，不過(guò)要剪裁合身，花樣也可以百出；式樣也不是狹義的規(guī)律。    一本介紹考古的書(shū)籍說(shuō)，限于篇幅，只能舉出一些實(shí)例，讓讀者感受到考古學(xué)的概要。P12-15

編輯推薦

阿草的數(shù)學(xué)世界，打開(kāi)你的教學(xué)感官，從生活中輕松學(xué)數(shù)學(xué)。    曹亮吉把各處找到的數(shù)學(xué)圣杯，匯總成《從生活學(xué)數(shù)學(xué)》。本書(shū)盡量用實(shí)際的例子進(jìn)行說(shuō)明。全書(shū)36篇文章，依類(lèi)分為六大篇，分別以“學(xué)、說(shuō)、算、變、看、想”為題。    一本書(shū)不可能講述尋找數(shù)學(xué)圣杯的所有故事，這本書(shū)希望能帶給讀者尋找數(shù)學(xué)圣杯的喜悅與沖動(dòng)。

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