幾何學(xué)

內(nèi)容概要

幾何學(xué)包含解析幾何、高等幾何(即射影幾何)兩個部分。在教學(xué)內(nèi)容上，幾何學(xué)注重以現(xiàn)代幾何觀點(diǎn)審視傳統(tǒng)幾何學(xué)、突出幾何方法，注重少而精，刪除一些相對陳舊的在現(xiàn)代科學(xué)中沒有發(fā)展前景的概念、知識和方法，并適應(yīng)時代發(fā)展，更新與拓寬幾何學(xué)教育內(nèi)容，把經(jīng)典幾何的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容盡可能用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、語言來表述，以有效知識為主體構(gòu)建支持學(xué)生終生學(xué)習(xí)的知識基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生達(dá)到相關(guān)學(xué)科的前沿領(lǐng)域。因此，幾何學(xué)的教學(xué)內(nèi)容體現(xiàn)了本課程的基礎(chǔ)性、時代性和前沿性。    第1～3章討論的是解析幾何內(nèi)容，主要講授解析幾何的基本方法和基本知識，內(nèi)容包括向量代數(shù)、空間直角坐標(biāo)系、空間的平面與直線、常用曲面及二次曲面等。    第4～8章討論的是射影幾何(高等幾何)。射影幾何是研究幾何圖形的射影性質(zhì)，即經(jīng)過射影變換不變的性質(zhì)。本部分主要講授射影幾何的基本理論與基本方法，首先在拓廣歐氏平面的基礎(chǔ)上引出射影平面的概念，這樣定義射影平面不僅保持了幾何的直觀性，而且看到了幾何發(fā)展的連續(xù)性；繼而從拓廣歐氏平面上點(diǎn)的齊次坐標(biāo)出發(fā)引進(jìn)射影平面上點(diǎn)的射影坐標(biāo)，并在此基礎(chǔ)上給出交比概念與闡述對偶原理，討論一維基本形之間的射影變換與其特殊的變換形式——透視變換與對合變換，射影平面上的直射變換，以及二次曲線的射影性質(zhì)；最后介紹Klein關(guān)于從變換群觀點(diǎn)看幾何學(xué)，明確射影幾何與仿射幾何、歐氏幾何的內(nèi)在聯(lián)系和根本差別，使讀者對幾何學(xué)有一個比較全局性的認(rèn)識。

書籍目錄

第1章  向量代數(shù)  1.1  向量及其線性運(yùn)算    1.1.1  向量及其相關(guān)概念    1.1.2  向量的線性運(yùn)算    1.1.3  共線向量、共面向量  習(xí)題1.1  1.2  仿射坐標(biāo)系與空間直角坐標(biāo)系    1.2.1  仿射坐標(biāo)系    1.2.2  空間直角坐標(biāo)系    1.2.3  用坐標(biāo)進(jìn)行向量的線性運(yùn)算    1.2.4  向量共線、共面的條件    1.2.5  定比分點(diǎn)的坐標(biāo)  習(xí)題1.2  1.3  向量的數(shù)量積    1.3.1  數(shù)量積及其運(yùn)算規(guī)律    1.3.2  數(shù)量積的應(yīng)用    1.3.3  向量的投影  習(xí)題1.3  1.4  向量的向量積    1.4.1  向量積及其運(yùn)算規(guī)律    1.4.2  向量積的坐標(biāo)表示    1.4.3  向量積的應(yīng)用  習(xí)題1.4  1.5  混合積與復(fù)合積      1.5.1  向量的混合積      1.5.2  復(fù)合積  習(xí)題1.5  復(fù)習(xí)題一第2章  平面與直線  2.1  平面方程    2.1.1  由平面上一點(diǎn)與平面的方位向量決定的平面方程    2.1.2  平面的一般方程    2.1.3  平面的法式方程  習(xí)題2.1  2.2  空間直線的方程    2.2.1  由直線上一點(diǎn)與直線的方向所決定的直線方程    2.2.2  直線的一般方程  習(xí)題2.2  2.3  點(diǎn)、平面、直線之間的關(guān)系    2.3.1  平面與點(diǎn)的相關(guān)位置    2.3.2  兩平面的相關(guān)位置    2.3.3  直線與平面的相關(guān)位置    2.3.4  空間兩直線的相關(guān)位置    2.3.5  空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置  習(xí)題2.3  2.4  平面束  習(xí)題2.4  復(fù)習(xí)題二第3章  常見曲面  3.1  空間曲面與曲線的方程  習(xí)題3.1  3.2  柱面    3.2.1  柱面的定義    3.2.2  柱面的方程    3.2.3  空間曲線的射影柱面  習(xí)題3.2  3.3  錐面    3.3.1  錐面的定義    3.3.2  錐面的方程  習(xí)題3.3  3.4  旋轉(zhuǎn)曲面    3.4.1  旋轉(zhuǎn)曲面的定義    3.4.2  旋轉(zhuǎn)曲面的方程  習(xí)題3.4  3.5  橢球面    3.5.1  討論二次曲面的基本方法    3.5.2  橢球面的定義    3.5.3  橢球面的形狀和簡單性質(zhì)  習(xí)題3.5  3.6  雙曲面    3.6.1  單葉雙曲面的定義    3.6.2  單葉雙曲面的形狀和性質(zhì)    3.6.3  雙葉雙曲線的定義    3.6.4  雙葉雙曲面的形狀和性質(zhì)    3.6.5  雙曲面的漸近錐面  習(xí)題3.6  3.7  拋物面    3.7.1  橢圓拋物面的定義    3.7.2  橢圓拋物面的形狀和性質(zhì)    3.7.3  雙曲拋物面的定義    3.7.4  雙曲拋物面的形狀和性質(zhì)    3.7.5  一般二次方程的化簡  習(xí)題3.7  3.8  直紋二次曲面    3.8.1  直紋曲面的定義    3.8.2  單葉雙曲面的直紋性    3.8.3  雙曲拋物面的直紋性    3.8.4  單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線性質(zhì)  習(xí)題3.8  復(fù)習(xí)題三第4章  仿射坐標(biāo)與仿射平面  4.1  透視仿射與仿射對應(yīng)    4.1.1  直線間的仿射對應(yīng)    4.1.2  平面間的仿射對應(yīng)    4.1.3  共線三點(diǎn)的單比    4.1.4  仿射不變性與不變量  習(xí)題4.1  4.2  仿射坐標(biāo)系    4.2.1  仿射坐標(biāo)系    4.2.2  仿射變換的代數(shù)表示    4.2.3  特殊的仿射變換  習(xí)題4.2  復(fù)習(xí)題四第5章  射影平面  5.1  中心射影與無窮遠(yuǎn)元素    5.1.1  戶心射影    5.1.2  無窮遠(yuǎn)元素  習(xí)題5.1  5.2  圖形的射影性質(zhì)，德薩格定理    5.2.1  射影性質(zhì)    5.2.2  德薩格定理  習(xí)題5.2  5.3  齊次坐標(biāo)    5.3.1  點(diǎn)的齊次坐標(biāo)    5.3.2  直線方程    5.3.3  齊次線坐標(biāo)  習(xí)題5.3  5.4  對偶原理  習(xí)題5.4  5.5  復(fù)元素    5.5.1  二維空間的復(fù)元素    5.5.2  共軛復(fù)元素    5.5.3  幾個結(jié)論  習(xí)題5.5  復(fù)習(xí)題五第6章  射影變換與射影坐標(biāo)  6.1  交比    6.1.1  點(diǎn)列中四點(diǎn)的交比    6.1.2  線束中四直線的交比  習(xí)題6.1  6.2  完全四點(diǎn)形與完全四線形的調(diào)和性    6.2.1  關(guān)于調(diào)和性的幾個命題    6.2.2  調(diào)和性應(yīng)用舉例  習(xí)題6.2  6.3  一維基本形的射影對應(yīng)    6.3.1  一維基本形的透視對應(yīng)    6.3.2  一維基本形的射影對應(yīng)    6.3.3  一維基本形的射影變換  習(xí)題6.3  6.4  一維射影坐標(biāo)    6.4.1  直線上的射影坐標(biāo)系    6.4.2  一維射影對應(yīng)的代數(shù)表示    6.4.3  一維射影變換的分類  習(xí)題6.4  6.5  二維射影變換與二維射影坐標(biāo)    6.5.1  二維射影變換    6.5.2  二維射影坐標(biāo)    6.5.3  二維射影對應(yīng)的坐標(biāo)表示  習(xí)題6.5  復(fù)習(xí)題六第7章  變換群與幾何學(xué)  7.1  變換群    7.1.1  群與變換群的概念    7.1.2  平面上幾個重要的變換群  習(xí)題7.1  7.2  變換群與幾何學(xué)    7.2.1  Klein的變換群觀點(diǎn)    7.2.2  射影、仿射和歐氏三種幾何學(xué)的比較  習(xí)題7.2  復(fù)習(xí)題七第8章  二次曲線的射影理論與仿射理論  8.1  二次曲線的射影定義    8.1.1  二次曲線的射影定義    8.1.2  二階曲線的切線與二級曲線的切點(diǎn)    8.1.3  二階曲線與二級曲線的關(guān)系  習(xí)題8.1  8.2  Pascal定理和Brianchon定理    8.2.1  帕斯卡(Pascal)定理和布列安桑(Brianchon)定理    8.2.2  帕斯卡(Pascal)定理的極限形式  習(xí)題8.2  8.3  極點(diǎn)與極線，配極原則    8.3.1  極點(diǎn)與極線    8.3.2  配極原則    8.3.3  配極變換  習(xí)題8.3  8.4  二次曲線的射影分類    8.4.1  二階曲線的奇異點(diǎn)    8.4.2  二階曲線的射影分類  習(xí)題8.4  8.5  二次曲線的仿射理論    8.5.1  二階曲線與無窮遠(yuǎn)直線的相關(guān)位置    8.5.2  二階曲線的中心    8.5.3  直徑與共軛直徑  習(xí)題8.5  8.6  二次曲線的仿射分類    8.6.1  當(dāng)det(αij)≠0時，即(αij)的秩是3    8.6.2  det(αij)：0，秩(αij)=2，二階曲線為退化的二階曲線，且只有一個奇異點(diǎn)    8.6.3  當(dāng)秩(αij)=I時，二次曲線是退化的，且有無窮多奇異點(diǎn)在一直線上  習(xí)題8.6  復(fù)習(xí)題八參考文獻(xiàn)

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