高等數(shù)學(xué)

前言

　　本書是普通高等教育“十一五”國(guó)級(jí)規(guī)劃教材（高職高專教育）?！　”緯侵袊?guó)計(jì)算機(jī)學(xué)會(huì)大專教育學(xué)會(huì)大專計(jì)算機(jī)教材編委會(huì)編寫計(jì)劃系列教材之一，并由大專計(jì)算機(jī)教材編審委員會(huì)負(fù)責(zé)征稿、審定、推薦出版?！　≡诳茖W(xué)技術(shù)的研究中，數(shù)學(xué)方法是一種必不可少的研究方法。數(shù)學(xué)方法不但廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)領(lǐng)域的研究活動(dòng)中，而且也廣泛滲透到其他的研究活動(dòng)中。所謂數(shù)學(xué)方法，就是運(yùn)用數(shù)學(xué)所提供的概念、理論和方法對(duì)所研究的對(duì)象進(jìn)行定量的分析、描述、推導(dǎo)和計(jì)算，以便從量的關(guān)系上認(rèn)識(shí)事物發(fā)展變化的規(guī)律性的方法。但是，必須說明，這里所說的數(shù)學(xué)方法，不是指數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)的方法，而是指除此之外的科研人員以數(shù)學(xué)概念和理論揭示所研究事物的內(nèi)在聯(lián)系和運(yùn)動(dòng)規(guī)律的方法?！　≡诳茖W(xué)技術(shù)的研究中，定量分析和精確計(jì)算是掌握客觀規(guī)律的根本途徑。而數(shù)學(xué)方法是對(duì)客觀事物進(jìn)行定量分析和精確計(jì)算的重要手段。由于數(shù)學(xué)具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性、嚴(yán)格的確定性和廣泛的適用性的特點(diǎn)，由于它自身在長(zhǎng)期的發(fā)展中創(chuàng)造了一系列的概念、理論和方法，再加上電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和運(yùn)用，使得數(shù)學(xué)方法能適應(yīng)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的要求，在科學(xué)技術(shù)研究中起著越來越重要的作用?！　”緯榻B的高等數(shù)學(xué)方法，稱為高等數(shù)學(xué)，它是一種最基本最重要的數(shù)學(xué)方法。因此，高等數(shù)學(xué)是高職高專各專業(yè)必修的一門重要基礎(chǔ)課，它的內(nèi)容主要包括一元函數(shù)微積分學(xué)，多元函數(shù)微積分學(xué)，微分方程，無(wú)窮級(jí)數(shù)，矩陣等等，其核心內(nèi)容是微積分。本書在介紹函數(shù)和極限的概念基礎(chǔ)上，利用極限分別引出了導(dǎo)數(shù)與積分的運(yùn)算及其方法，利用微積分解決工程技術(shù)與其他實(shí)際問題的方法，常微分方程、無(wú)窮級(jí)數(shù)與矩陣等內(nèi)容應(yīng)用于解決實(shí)際問題的方法，利用數(shù)學(xué)軟件包去解決實(shí)際問題或者解決比較復(fù)雜的微積分問題的方法，為后繼課程的學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ)?！　闈M足高職高專院校培養(yǎng)技術(shù)應(yīng)用性人才的需要，貫徹“以能力為主線，必需、夠用為度”的原則，結(jié)合多年從事在高等數(shù)學(xué)方面的科研和教學(xué)改革的經(jīng)驗(yàn)，將高等數(shù)學(xué)、矩陣兩部分內(nèi)容融合在一起，編寫了適應(yīng)高職高專院校計(jì)算機(jī)專業(yè)與工科類各專業(yè)的《高等數(shù)學(xué)》教材，這本教材具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：　　1.依據(jù)《高職高專高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)基本要求》，內(nèi)容必須覆蓋高職高專學(xué)校計(jì)算機(jī)專業(yè)與工科類各專業(yè)對(duì)高等數(shù)學(xué)的需求。　　2.貫徹“掌握概念、強(qiáng)化應(yīng)用”的教學(xué)原則。掌握概念要落實(shí)到用數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)概念結(jié)合工程實(shí)際方面上；強(qiáng)化應(yīng)用要落實(shí)到使學(xué)生能運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)方法求解數(shù)學(xué)模型上。注重學(xué)生掌握基本概念，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)方法建模，運(yùn)用計(jì)算機(jī)的數(shù)學(xué)軟件包求解?！　?.對(duì)難度較大的基礎(chǔ)理論不要求嚴(yán)格的論證，只作簡(jiǎn)單的幾何說明。　　4.適當(dāng)注意數(shù)學(xué)自身的系統(tǒng)性與邏輯性?！　?.注意到與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系較多的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本技能的訓(xùn)練，但不要求過分復(fù)雜的計(jì)算和變換。.6.在教學(xué)內(nèi)容上注意到對(duì)學(xué)生抽象概括能力、邏輯推理能力、自學(xué)能力、熟練的運(yùn)算能力和分析問題、解決問題的能力培養(yǎng)，并對(duì)解題的步驟和思路進(jìn)行適當(dāng)?shù)臍w納。

內(nèi)容概要

　　本書是普通高等教育“十一五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材，是根據(jù)教育部最新制定的《高職高專高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)基本要求》編寫的。全書共15章。在介紹函數(shù)和極限概念的基礎(chǔ)上，利用極限概念分別引出了導(dǎo)數(shù)與積分的運(yùn)算及其方法，利用微積分解決工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域與其他實(shí)際問題的方法，將常微分方程、無(wú)窮級(jí)數(shù)與矩陣等內(nèi)容應(yīng)用于解決實(shí)際問題的方法，最后介紹了利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)去解決實(shí)際問題或者解決比較復(fù)雜的微積分問題的方法?！　”緯⒅赝怀鰬?yīng)用，各章通過例題，介紹解題思路，學(xué)會(huì)建立數(shù)學(xué)模型的方法。每章都有小結(jié)，其內(nèi)容為本章的基本概念、基本定理、基本方法；其疑點(diǎn)解析的目的是為了鞏固所學(xué)知識(shí)，逐步提高讀者用高等數(shù)學(xué)的方法去分析問題和解決問題的能力。　　本書既可作為計(jì)算機(jī)學(xué)科和工程各專業(yè)高職高專的教材，也可供有關(guān)經(jīng)濟(jì)專業(yè)的師生和科技工作者閱讀和參考。

書籍目錄

第1章 緒論　1.1 數(shù)學(xué)方法概述與作用　1.2 微積分所研究的兩個(gè)基本問題及方法　1.3 怎樣學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)　習(xí)題1第2章 函數(shù)　2.1 函數(shù)及其性質(zhì)　　2.1.1 函數(shù)的概念　　2.1.2 函數(shù)的幾種特性　2.2 初等函數(shù)　　2.2.1 基本初等函數(shù)　　2.2.2 復(fù)合函數(shù)　　2.2.3 初等函數(shù)　2.3 數(shù)學(xué)模型方法概述　　2.3.1 數(shù)學(xué)模型的概念　　2.3.2 數(shù)學(xué)模型的建立過程　　2.3.3 函數(shù)模型的建立　2.4 本章小結(jié)　　2.4.1 內(nèi)容提要　　2.4.2 疑點(diǎn)解析　習(xí)題2第3章 極限與連續(xù)　3.1 極限的概念　　3.1.1 數(shù)列的極限　　3.1.2 函數(shù)的極限　　3.1.3 極限的性質(zhì)　　3.1.4 關(guān)于極限概念的說明　　3.1.5 無(wú)窮小量　　3.1.6 無(wú)窮大量　3.2 極限的運(yùn)算　　3.2.1 極限的運(yùn)算法則　　3.2.2 兩個(gè)重要極限　　3.2.3 無(wú)窮小的比較　3.3 函數(shù)的連續(xù)性　　3.3.1 函數(shù)的連續(xù)性定義　　3.3.2 初等函數(shù)的連續(xù)性　　3.3.3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)　3.4 本章小結(jié)　　3.4.1 內(nèi)容提要　　3.4.2 疑點(diǎn)解析　習(xí)題3第4章 導(dǎo)數(shù)與微分　4.1 導(dǎo)數(shù)的概念　　4.1.1 兩個(gè)實(shí)例　　4.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念　　4.1.3可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系　　4.1.4 求導(dǎo)舉例　4.2 求導(dǎo)法則　　4.2.1 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則　　4.2.2 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則　　4.2.3 反函數(shù)的求導(dǎo)法則　　4.2.4 基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式　　4.2.5 三種常用的求導(dǎo)方法　　4.2.6 高階導(dǎo)數(shù)　4.3 微子　　4.3.1 微分的概念　　4.3.2 微分的幾何意義　　4.3.3 微分的運(yùn)算法則　　4.3.4 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用　4.4.本章小結(jié)　　4.4.1 內(nèi)容提要　　4.4.2 疑點(diǎn)解析　習(xí)題4第5章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用　5.1 微分中值定理　5.2 洛必達(dá)法則　5.3 函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值　　5.3.1 函數(shù)的單調(diào)性　　5.3.2 函數(shù)的極值　　5.3.3 函數(shù)的最大值與最小值　5.4 函數(shù)圖形的凸向與拐點(diǎn)　5.5 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用　5.6 本章小結(jié)　　5.6.1 內(nèi)容提要　　5.6.2 疑點(diǎn)解析　習(xí)題5第6章 不定積分　6.1 不定積分的概念及性質(zhì)　　6.1.1 不定積分的概念　　6.1.2 基本積分公式　　6.1.3 不定積分的性質(zhì)　6.2 不定積分的積分方法　　6.2.1 第一換元積分法(或稱湊微分法)　　6.2.2 第二換元積分法　　6.2.3 分部積分法　　6.2.4 簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分　6.3 本章小結(jié)　　6.3.1 內(nèi)容提要　　6.3.2 疑點(diǎn)解析　習(xí)題6第7章 定積分　7.1 定積分的概念及性質(zhì)　　7.1.1 定積分的實(shí)際背景　　7.1.2 定積分的概念　　7.1.3 定積分的幾何意義　　7.1.4 定積分的性質(zhì)　7.2 微積分基本公式　　7.2.1 變上限的定積分　　7.2.2 微積分基本公式　7.3 定積分的計(jì)算方法　　7.3.1 定積分的換元法　　7.3.2 定積分的分部積分法　7.4 無(wú)限區(qū)間上的廣義積分　7.5 本章小結(jié)　　7.5.1 內(nèi)容提要　　7.5.2 疑點(diǎn)解析　習(xí)題7第8章 定積分的應(yīng)用　8.1 定積分的幾何應(yīng)用　　8.1.1 定積分的微元法　　8.1.2 用定積分求平面圖形的面積　　8.1.3 用定積分求體積　　8.1.4 平面曲線的弧長(zhǎng)　8.2 定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用舉例　8.3 定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用舉例　8.4 本章小結(jié)　　8.4.1 內(nèi)容提要　　8.4.2 疑點(diǎn)解析　習(xí)題8第9章 常微分方程　9.1 常微分方程的基本概念　9.2 一階微分方程與可降階的高階微分方程　　9.2.1 可分離變量的微分方程　　9.2.2 齊次型微分方程　　9.2.3 一階線性微分方程　　9.2.4 可降階的高階微分方程　9.3 二階常系數(shù)線性微分方程　　9.3.1 二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)　　9.3.2 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法　　9.3.3 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法　9.4 微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用　9.5 本章小結(jié)　　9.5.1 內(nèi)容提要　　9.5.2 疑點(diǎn)解析　習(xí)題9第10章 空間解析幾何與向量　10.1 空間直角坐標(biāo)系與向量的概念　　10.1.1 空間直角坐標(biāo)系　　10.1.2 向量的概念及其線性運(yùn)算　　10.1.3 向量的坐標(biāo)表示　10.2 向量的數(shù)量積與向量積　　10.2.1 向量的數(shù)量積　　10.2.2 向量的向量積　10.3 平面與直線　　10.3.1 平面方程　　10.3.2 直線方程　10.4 曲面與空間曲線　　10.4.1 曲面方程的概念　　10.4.2 柱面　　10.4.3 旋轉(zhuǎn)曲面　　10.4.4 二次曲面　　10.4.5 空間曲線及其在坐標(biāo)面上的投影　10.5 本章小結(jié)　　10.5.1 內(nèi)容提要　　10.5.2 疑點(diǎn)解析　習(xí)題10第11章 多元函數(shù)的微分學(xué)第12章 多元函數(shù)的積分學(xué)第13章 無(wú)窮級(jí)數(shù)第14章 矩陣第15章 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

章節(jié)摘錄

　　1.1數(shù)學(xué)方法概述與作用　　數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門基礎(chǔ)學(xué)科。在人類活動(dòng)的早期，由于生產(chǎn)的需要，產(chǎn)生了算術(shù)與幾何學(xué)，算術(shù)運(yùn)算后來又發(fā)展到一般字母符號(hào)的運(yùn)算，形成了代數(shù)學(xué)。從16世紀(jì)開始，由于社會(huì)生產(chǎn)的要求，使得代數(shù)與幾何相結(jié)合，產(chǎn)生了解析幾何學(xué)。在解析幾何學(xué)的基礎(chǔ)上又產(chǎn)生了微積分，形成了數(shù)學(xué)分析學(xué)。代數(shù)、幾何與數(shù)學(xué)分析三大數(shù)學(xué)學(xué)科各自獨(dú)立地發(fā)展，互相聯(lián)系和滲透，加上其他學(xué)科的縱橫交叉從而產(chǎn)生和分化出眾多的數(shù)學(xué)分支。相對(duì)于初等數(shù)學(xué)，它們被稱為高等數(shù)學(xué)?！　∷^數(shù)學(xué)方法，就是運(yùn)用數(shù)學(xué)所提供的概念、理論和方法對(duì)所研究的對(duì)象進(jìn)行定量的分析、描述、推導(dǎo)和計(jì)算，以便從量的關(guān)系上認(rèn)識(shí)事物發(fā)展變化的規(guī)律性的方法。但是，必須說明，這里所說的數(shù)學(xué)方法，不是指數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)的方法，而是指除此之外的科研人員以數(shù)學(xué)概念和理論揭示所研究事物的內(nèi)在聯(lián)系和運(yùn)動(dòng)規(guī)律的方法。　　那么，數(shù)學(xué)方法具有哪些特點(diǎn)呢？數(shù)學(xué)方法的特點(diǎn)與數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)是統(tǒng)一的。這些特點(diǎn)歸納起來有以下幾個(gè)方面：第一，數(shù)學(xué)方法具有高度的抽象性。數(shù)學(xué)概念和理論的抽象性，決定了數(shù)學(xué)方法的抽象性。在用數(shù)學(xué)方法解決問題時(shí)，已經(jīng)舍棄了研究對(duì)象的其他性質(zhì)，把全部問題變成了數(shù)學(xué)符號(hào)之間的運(yùn)算關(guān)系。第二，數(shù)學(xué)方法具有嚴(yán)密的邏輯性。數(shù)學(xué)方法在揭示事物量和量的關(guān)系時(shí)，不是通過直接的實(shí)驗(yàn)方法來實(shí)現(xiàn)的，而是通過一系列的邏輯推理和邏輯證明之后才認(rèn)為是正確的。這樣，數(shù)學(xué)方法具有比其他科學(xué)方法更嚴(yán)格的邏輯特性。第三，數(shù)學(xué)方法具有嚴(yán)格的確定性。數(shù)學(xué)是描述事物量的關(guān)系的科學(xué)，而量是嚴(yán)格確定的。雖然量也可能以變化狀態(tài)出現(xiàn)，但它在每個(gè)確定條件下都有確定值。第四，數(shù)學(xué)方法具有應(yīng)用的廣泛性。這是數(shù)學(xué)方法最重要的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)的生命力的源泉在于它的概念和結(jié)論盡管極為抽象，但是它們都是從實(shí)踐中來的，在實(shí)踐中研究對(duì)象量和量的關(guān)系。任何科學(xué)都有自己的研究對(duì)象和應(yīng)用范圍，而量和量的關(guān)系貫穿于一切領(lǐng)域和一切事物中，在對(duì)不同的領(lǐng)域和不同的事物進(jìn)行定量分析時(shí)，都離不開數(shù)學(xué)方法。因此，同其他科學(xué)方法相比，數(shù)學(xué)方法具有更加廣泛的應(yīng)用范圍。

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