高等數(shù)學

前言

　　本書是普通高等教育“十一五”國級規(guī)劃教材（高職高專教育）。　　本書是中國計算機學會大專教育學會大專計算機教材編委會編寫計劃系列教材之一，并由大專計算機教材編審委員會負責征稿、審定、推薦出版?！　≡诳茖W技術的研究中，數(shù)學方法是一種必不可少的研究方法。數(shù)學方法不但廣泛應用于自然科學領域的研究活動中，而且也廣泛滲透到其他的研究活動中。所謂數(shù)學方法，就是運用數(shù)學所提供的概念、理論和方法對所研究的對象進行定量的分析、描述、推導和計算，以便從量的關系上認識事物發(fā)展變化的規(guī)律性的方法。但是，必須說明，這里所說的數(shù)學方法，不是指數(shù)學家研究數(shù)學的方法，而是指除此之外的科研人員以數(shù)學概念和理論揭示所研究事物的內在聯(lián)系和運動規(guī)律的方法。　　在科學技術的研究中，定量分析和精確計算是掌握客觀規(guī)律的根本途徑。而數(shù)學方法是對客觀事物進行定量分析和精確計算的重要手段。由于數(shù)學具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性、嚴格的確定性和廣泛的適用性的特點，由于它自身在長期的發(fā)展中創(chuàng)造了一系列的概念、理論和方法，再加上電子計算機的出現(xiàn)和運用，使得數(shù)學方法能適應現(xiàn)代科學技術發(fā)展的要求，在科學技術研究中起著越來越重要的作用?！　”緯榻B的高等數(shù)學方法，稱為高等數(shù)學，它是一種最基本最重要的數(shù)學方法。因此，高等數(shù)學是高職高專各專業(yè)必修的一門重要基礎課，它的內容主要包括一元函數(shù)微積分學，多元函數(shù)微積分學，微分方程，無窮級數(shù)，矩陣等等，其核心內容是微積分。本書在介紹函數(shù)和極限的概念基礎上，利用極限分別引出了導數(shù)與積分的運算及其方法，利用微積分解決工程技術與其他實際問題的方法，常微分方程、無窮級數(shù)與矩陣等內容應用于解決實際問題的方法，利用數(shù)學軟件包去解決實際問題或者解決比較復雜的微積分問題的方法，為后繼課程的學習打下良好基礎?！　闈M足高職高專院校培養(yǎng)技術應用性人才的需要，貫徹“以能力為主線，必需、夠用為度”的原則，結合多年從事在高等數(shù)學方面的科研和教學改革的經驗，將高等數(shù)學、矩陣兩部分內容融合在一起，編寫了適應高職高專院校計算機專業(yè)與工科類各專業(yè)的《高等數(shù)學》教材，這本教材具有以下幾個特點：　　1.依據(jù)《高職高專高等數(shù)學課程教學基本要求》，內容必須覆蓋高職高專學校計算機專業(yè)與工科類各專業(yè)對高等數(shù)學的需求?！　?.貫徹“掌握概念、強化應用”的教學原則。掌握概念要落實到用數(shù)學思想及數(shù)學概念結合工程實際方面上；強化應用要落實到使學生能運用所學數(shù)學方法求解數(shù)學模型上。注重學生掌握基本概念，學會用數(shù)學方法建模，運用計算機的數(shù)學軟件包求解?！　?.對難度較大的基礎理論不要求嚴格的論證，只作簡單的幾何說明。　　4.適當注意數(shù)學自身的系統(tǒng)性與邏輯性?！　?.注意到與實際應用聯(lián)系較多的基礎知識、基本方法和基本技能的訓練，但不要求過分復雜的計算和變換。.6.在教學內容上注意到對學生抽象概括能力、邏輯推理能力、自學能力、熟練的運算能力和分析問題、解決問題的能力培養(yǎng)，并對解題的步驟和思路進行適當?shù)臍w納。

內容概要

　　本書是普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材，是根據(jù)教育部最新制定的《高職高專高等數(shù)學課程教學基本要求》編寫的。全書共15章。在介紹函數(shù)和極限概念的基礎上，利用極限概念分別引出了導數(shù)與積分的運算及其方法，利用微積分解決工程技術、經濟領域與其他實際問題的方法，將常微分方程、無窮級數(shù)與矩陣等內容應用于解決實際問題的方法，最后介紹了利用數(shù)學實驗去解決實際問題或者解決比較復雜的微積分問題的方法?！　”緯⒅赝怀鰬?，各章通過例題，介紹解題思路，學會建立數(shù)學模型的方法。每章都有小結，其內容為本章的基本概念、基本定理、基本方法；其疑點解析的目的是為了鞏固所學知識，逐步提高讀者用高等數(shù)學的方法去分析問題和解決問題的能力。　　本書既可作為計算機學科和工程各專業(yè)高職高專的教材，也可供有關經濟專業(yè)的師生和科技工作者閱讀和參考。

書籍目錄

第1章 緒論　1.1 數(shù)學方法概述與作用　1.2 微積分所研究的兩個基本問題及方法　1.3 怎樣學習高等數(shù)學　習題1第2章 函數(shù)　2.1 函數(shù)及其性質　　2.1.1 函數(shù)的概念　　2.1.2 函數(shù)的幾種特性　2.2 初等函數(shù)　　2.2.1 基本初等函數(shù)　　2.2.2 復合函數(shù)　　2.2.3 初等函數(shù)　2.3 數(shù)學模型方法概述　　2.3.1 數(shù)學模型的概念　　2.3.2 數(shù)學模型的建立過程　　2.3.3 函數(shù)模型的建立　2.4 本章小結　　2.4.1 內容提要　　2.4.2 疑點解析　習題2第3章 極限與連續(xù)　3.1 極限的概念　　3.1.1 數(shù)列的極限　　3.1.2 函數(shù)的極限　　3.1.3 極限的性質　　3.1.4 關于極限概念的說明　　3.1.5 無窮小量　　3.1.6 無窮大量　3.2 極限的運算　　3.2.1 極限的運算法則　　3.2.2 兩個重要極限　　3.2.3 無窮小的比較　3.3 函數(shù)的連續(xù)性　　3.3.1 函數(shù)的連續(xù)性定義　　3.3.2 初等函數(shù)的連續(xù)性　　3.3.3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質　3.4 本章小結　　3.4.1 內容提要　　3.4.2 疑點解析　習題3第4章 導數(shù)與微分　4.1 導數(shù)的概念　　4.1.1 兩個實例　　4.1.2 導數(shù)的概念　　4.1.3可導與連續(xù)的關系　　4.1.4 求導舉例　4.2 求導法則　　4.2.1 函數(shù)的和、差、積、商的求導法則　　4.2.2 復合函數(shù)的求導法則　　4.2.3 反函數(shù)的求導法則　　4.2.4 基本初等函數(shù)的求導公式　　4.2.5 三種常用的求導方法　　4.2.6 高階導數(shù)　4.3 微子　　4.3.1 微分的概念　　4.3.2 微分的幾何意義　　4.3.3 微分的運算法則　　4.3.4 微分在近似計算中的應用　4.4.本章小結　　4.4.1 內容提要　　4.4.2 疑點解析　習題4第5章 導數(shù)的應用　5.1 微分中值定理　5.2 洛必達法則　5.3 函數(shù)的單調性、極值與最值　　5.3.1 函數(shù)的單調性　　5.3.2 函數(shù)的極值　　5.3.3 函數(shù)的最大值與最小值　5.4 函數(shù)圖形的凸向與拐點　5.5 導數(shù)在經濟中的應用　5.6 本章小結　　5.6.1 內容提要　　5.6.2 疑點解析　習題5第6章 不定積分　6.1 不定積分的概念及性質　　6.1.1 不定積分的概念　　6.1.2 基本積分公式　　6.1.3 不定積分的性質　6.2 不定積分的積分方法　　6.2.1 第一換元積分法(或稱湊微分法)　　6.2.2 第二換元積分法　　6.2.3 分部積分法　　6.2.4 簡單有理函數(shù)的積分　6.3 本章小結　　6.3.1 內容提要　　6.3.2 疑點解析　習題6第7章 定積分　7.1 定積分的概念及性質　　7.1.1 定積分的實際背景　　7.1.2 定積分的概念　　7.1.3 定積分的幾何意義　　7.1.4 定積分的性質　7.2 微積分基本公式　　7.2.1 變上限的定積分　　7.2.2 微積分基本公式　7.3 定積分的計算方法　　7.3.1 定積分的換元法　　7.3.2 定積分的分部積分法　7.4 無限區(qū)間上的廣義積分　7.5 本章小結　　7.5.1 內容提要　　7.5.2 疑點解析　習題7第8章 定積分的應用　8.1 定積分的幾何應用　　8.1.1 定積分的微元法　　8.1.2 用定積分求平面圖形的面積　　8.1.3 用定積分求體積　　8.1.4 平面曲線的弧長　8.2 定積分在物理學上的應用舉例　8.3 定積分在經濟中的應用舉例　8.4 本章小結　　8.4.1 內容提要　　8.4.2 疑點解析　習題8第9章 常微分方程　9.1 常微分方程的基本概念　9.2 一階微分方程與可降階的高階微分方程　　9.2.1 可分離變量的微分方程　　9.2.2 齊次型微分方程　　9.2.3 一階線性微分方程　　9.2.4 可降階的高階微分方程　9.3 二階常系數(shù)線性微分方程　　9.3.1 二階線性微分方程解的結構　　9.3.2 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法　　9.3.3 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法　9.4 微分方程在數(shù)學建模中的應用　9.5 本章小結　　9.5.1 內容提要　　9.5.2 疑點解析　習題9第10章 空間解析幾何與向量　10.1 空間直角坐標系與向量的概念　　10.1.1 空間直角坐標系　　10.1.2 向量的概念及其線性運算　　10.1.3 向量的坐標表示　10.2 向量的數(shù)量積與向量積　　10.2.1 向量的數(shù)量積　　10.2.2 向量的向量積　10.3 平面與直線　　10.3.1 平面方程　　10.3.2 直線方程　10.4 曲面與空間曲線　　10.4.1 曲面方程的概念　　10.4.2 柱面　　10.4.3 旋轉曲面　　10.4.4 二次曲面　　10.4.5 空間曲線及其在坐標面上的投影　10.5 本章小結　　10.5.1 內容提要　　10.5.2 疑點解析　習題10第11章 多元函數(shù)的微分學第12章 多元函數(shù)的積分學第13章 無窮級數(shù)第14章 矩陣第15章 數(shù)學實驗

章節(jié)摘錄

　　1.1數(shù)學方法概述與作用　　數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關系和空間形式的一門基礎學科。在人類活動的早期，由于生產的需要，產生了算術與幾何學，算術運算后來又發(fā)展到一般字母符號的運算，形成了代數(shù)學。從16世紀開始，由于社會生產的要求，使得代數(shù)與幾何相結合，產生了解析幾何學。在解析幾何學的基礎上又產生了微積分，形成了數(shù)學分析學。代數(shù)、幾何與數(shù)學分析三大數(shù)學學科各自獨立地發(fā)展，互相聯(lián)系和滲透，加上其他學科的縱橫交叉從而產生和分化出眾多的數(shù)學分支。相對于初等數(shù)學，它們被稱為高等數(shù)學?！　∷^數(shù)學方法，就是運用數(shù)學所提供的概念、理論和方法對所研究的對象進行定量的分析、描述、推導和計算，以便從量的關系上認識事物發(fā)展變化的規(guī)律性的方法。但是，必須說明，這里所說的數(shù)學方法，不是指數(shù)學家研究數(shù)學的方法，而是指除此之外的科研人員以數(shù)學概念和理論揭示所研究事物的內在聯(lián)系和運動規(guī)律的方法。　　那么，數(shù)學方法具有哪些特點呢？數(shù)學方法的特點與數(shù)學本身的特點是統(tǒng)一的。這些特點歸納起來有以下幾個方面：第一，數(shù)學方法具有高度的抽象性。數(shù)學概念和理論的抽象性，決定了數(shù)學方法的抽象性。在用數(shù)學方法解決問題時，已經舍棄了研究對象的其他性質，把全部問題變成了數(shù)學符號之間的運算關系。第二，數(shù)學方法具有嚴密的邏輯性。數(shù)學方法在揭示事物量和量的關系時，不是通過直接的實驗方法來實現(xiàn)的，而是通過一系列的邏輯推理和邏輯證明之后才認為是正確的。這樣，數(shù)學方法具有比其他科學方法更嚴格的邏輯特性。第三，數(shù)學方法具有嚴格的確定性。數(shù)學是描述事物量的關系的科學，而量是嚴格確定的。雖然量也可能以變化狀態(tài)出現(xiàn)，但它在每個確定條件下都有確定值。第四，數(shù)學方法具有應用的廣泛性。這是數(shù)學方法最重要的特點。數(shù)學的生命力的源泉在于它的概念和結論盡管極為抽象，但是它們都是從實踐中來的，在實踐中研究對象量和量的關系。任何科學都有自己的研究對象和應用范圍，而量和量的關系貫穿于一切領域和一切事物中，在對不同的領域和不同的事物進行定量分析時，都離不開數(shù)學方法。因此，同其他科學方法相比，數(shù)學方法具有更加廣泛的應用范圍。

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