高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）

前言

　　數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)是高等院校理、工、農(nóng)、醫(yī)、財(cái)經(jīng)、管理等專業(yè)的必修課。數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容是微分和積分，不妨將數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)稱為微積分學(xué)。　　數(shù)學(xué)是研究量的關(guān)系和空間形式的一門(mén)學(xué)科，微積分學(xué)主要研究量的關(guān)系。數(shù)學(xué)中的量與關(guān)系都是高度抽象的產(chǎn)物。在數(shù)學(xué)中，即使像“1個(gè)人 + 1個(gè)人 = 2個(gè)人”、“3個(gè)蘋(píng)果 + 4個(gè)蘋(píng)果 = 7個(gè)蘋(píng)果”這樣簡(jiǎn)單的算式，都是高度抽象的結(jié)果，算式中的人沒(méi)有性別、年齡、身高、體重……之分，更不會(huì)考慮人的學(xué)歷、素質(zhì)；同樣，蘋(píng)果也不會(huì)考慮大小、顏色、重量……這兩個(gè)算式最后還將簡(jiǎn)化成“1 + 1 = 2”和“3 + 4 = 7”。微積分學(xué)中量之間的關(guān)系及所有算式，都是經(jīng)簡(jiǎn)化和抽象后歸納出來(lái)的，簡(jiǎn)化和抽象后才便于找出數(shù)學(xué)本質(zhì)，便于用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述，這樣的工作經(jīng)過(guò)眾多數(shù)學(xué)家之手，最后由牛頓－萊布尼茲完成（恩格斯：《自然辯證法》第271頁(yè)）。數(shù)學(xué)也是應(yīng)用最廣泛的一門(mén)學(xué)科，所有自然科學(xué)都離不開(kāi)數(shù)學(xué)，離開(kāi)了數(shù)學(xué)也就沒(méi)有當(dāng)代的社會(huì)科學(xué)?！　?shù)學(xué)中的計(jì)算分為理論推演計(jì)算和實(shí)際計(jì)算。理論計(jì)算結(jié)果最多是理論解，世界上只存在理論解而不存在準(zhǔn)確解。 這樣簡(jiǎn)單的算式，雖然給了一個(gè)理論值，但計(jì)算結(jié)果一定和實(shí)際結(jié)果有差異，原因是實(shí)際計(jì)算時(shí) 只能取近似值； 是測(cè)量值，測(cè)量值難免會(huì)有測(cè)量誤差；即使 取理論值， 的誤差為0，算得的值也和實(shí)際問(wèn)題有差異，因?yàn)槭澜缟喜淮嬖诶碚撋系膸缀螆A。實(shí)際上，理論計(jì)算推演的是量的關(guān)系，它用一系列等式表示推演過(guò)程，將由高等數(shù)學(xué)表述的算式變成用初等數(shù)學(xué)表述的等價(jià)算式，這類計(jì)算得到理論解，理論解就是和算式中最左端的變量或函數(shù)完全一致的解。另一類計(jì)算是應(yīng)用計(jì)算，應(yīng)用計(jì)算只能追求滿意解，所謂滿意解，就是在誤差范圍內(nèi)的解或者是在誤差限內(nèi)的解。本書(shū)含數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的所有計(jì)算都要求滿意解?！≡谟?jì)算滿意解時(shí)，若遇到測(cè)量值，則不是讓其值愈精確愈好，而是滿足實(shí)際問(wèn)題所給出的誤差限就行。若上面的算式表示的是圓桌面積，則 的值只須用木匠的卷尺測(cè)量就行，若用光學(xué)儀器去測(cè)，只會(huì)徒增其成本！若算式中涉及符號(hào)常量，則其取值應(yīng)和測(cè)量值的精度一致?！　∥⒎e分學(xué)經(jīng)牛頓－萊布尼茲完成之后已達(dá)數(shù)世紀(jì)，中外有關(guān)教材已不勝枚舉，但不少學(xué)生仍感到微積分是最難學(xué)的學(xué)科，因此不少人將之歸于它的抽象性。的確，抽象的東西比具體的東西難學(xué)，實(shí)際上“一切科學(xué)的抽象，都更深刻、更正確、更完全地反映著自然?！保袑帲骸逗诟駹栠壿媽W(xué)》）。抽象不是難學(xué)的根本原因。微積分學(xué)教材中不是每章都難學(xué)，例如書(shū)中的“微分”部分就易學(xué)，原因是微分部分理論上解決得徹底，分門(mén)別類地給出了各種情況下的導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式：直接從導(dǎo)數(shù)表就可查到各初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；分別給出了函數(shù)的和、差、積、商導(dǎo)數(shù)計(jì)算通用算式；給出了復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式。相反，極限、不定積分、常系數(shù)常微分方程等學(xué)生學(xué)起來(lái)就感到困難。為師之道，授之以漁。漁不僅僅是捕魚(yú)的工具、捕魚(yú)技術(shù)，首先須對(duì)魚(yú)分類，捕魚(yú)技術(shù)不是泛泛地指捕所有魚(yú)的技術(shù)，捕魚(yú)工具也不是指捕各種魚(yú)的工具，萬(wàn)能的捕魚(yú)技術(shù)和捕魚(yú)工具是沒(méi)有的，即使有，操作使用時(shí)也是極不方便的，掌握的困難程度也是極大的。捕海魚(yú)的網(wǎng)和捕池塘中的魚(yú)的網(wǎng)是不一樣的，釣七星魚(yú)和釣鯽魚(yú)的魚(yú)餌與釣鉤也是不同的。微分部分易學(xué)的原因是，所有教材都對(duì)導(dǎo)數(shù)計(jì)算做了完整的、無(wú)遺漏的、準(zhǔn)確的分類，并給出了步驟分明的通用計(jì)算公式。微積分學(xué)的其他內(nèi)容及其他計(jì)算能否也做到這一點(diǎn)呢？答案是肯定的。本教材徹底解決了這一問(wèn)題。其他教材不對(duì)問(wèn)題分類，不給出各類問(wèn)題的通用公式，即使書(shū)中算例連篇，最多也只能算是教師和書(shū)本授給了學(xué)生大量的魚(yú)，學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)仍然不明，教師教學(xué)目標(biāo)也不明，徒增學(xué)生的畏難情緒。相反，本書(shū)將各章節(jié)所涉及的算法完整、準(zhǔn)確地分成了各個(gè)子類，并給出了各子類的通用計(jì)算公式，教師教學(xué)目標(biāo)明確，學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)明確，加上所有計(jì)算都是套公式，既降低了教學(xué)難度，又降低了學(xué)習(xí)難度。

內(nèi)容概要

教材將高等數(shù)學(xué)中的算法按所解決的問(wèn)題作了全面地、系統(tǒng)地、準(zhǔn)確地分類。給出了各類問(wèn)題所用的通用計(jì)算公式和通用計(jì)算過(guò)程，使算法和問(wèn)題的關(guān)系由M對(duì)N變成1對(duì)1，這樣教師可一類一類地講，學(xué)生可一類一類地學(xué)，從而降低了教學(xué)難度和學(xué)習(xí)難度。書(shū)中給出了一些新算法，用新算法解題快速、簡(jiǎn)捷，有些問(wèn)題流行(數(shù)學(xué))軟件無(wú)法解，有些問(wèn)題流行軟件雖能解，但給出的結(jié)果相當(dāng)麻煩，而用書(shū)中提供的算法只需3-5個(gè)等式。    本書(shū)分上、下兩冊(cè)，共計(jì)16章，約70萬(wàn)字，全書(shū)內(nèi)容豐富，文字精煉，層次清楚，對(duì)于“計(jì)算”有獨(dú)到之處。本書(shū)可作為重點(diǎn)高校、普通高校教材，也可作為高職教材，本書(shū)可作為考研數(shù)學(xué)指南。

書(shū)籍目錄

第1章  函數(shù)  1.1  函數(shù)    1.1.1  常量與變量    1.1.2  函數(shù)基本知識(shí)  1.2  復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)    1.2.1  復(fù)合函數(shù)    1.2.2  反函數(shù)  1.3  基本初等函數(shù)    1.3.1  多項(xiàng)式函數(shù)    1.3.2  有理函數(shù)    1.3.3  冪函數(shù)    1.3.4  指數(shù)函數(shù)    1.3.5  對(duì)數(shù)函數(shù)    1.3.6  三角函數(shù)    1.3.7  反三角函數(shù)  思考題1  習(xí)題2第2章  數(shù)列極限  2.1  數(shù)列極限的概念和定義  2.2  數(shù)列極限的性質(zhì)  2.3  數(shù)列極限存在的條件    2.3.1  單調(diào)數(shù)列、數(shù)    2.3.2  柯西收斂準(zhǔn)則  2.4  數(shù)列極限的種類及其計(jì)算方法    2.4.1  無(wú)窮大量的種類及比較    2.4.2  數(shù)列極限的分類及其計(jì)算方法  思考題  習(xí)題第3章  函數(shù)極限與連續(xù)性  3.1  函數(shù)極限的定義  3.2  函數(shù)極限的性質(zhì)  3.3  函數(shù)極限存在條件  3.4  兩個(gè)重要極限  3.5  無(wú)窮小量、無(wú)窮大量以及漸近線計(jì)算    3.5.1  無(wú)窮小量及其比較    3.5.2  無(wú)窮大量及其比較    3.5.3  漸近線計(jì)算  3.6  函數(shù)的連續(xù)性    3.6.1  函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性    3.6.2  間斷點(diǎn)及其分類    3.6.3  區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)    3.6.4  連續(xù)函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)    3.6.5  閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)    3.6.6  一致連續(xù)  3.7  函數(shù)極限分類及算法    3.7.1  連續(xù)函數(shù)的極限    3.7.2  ∞/∞型極限計(jì)算    3.7.3  ∞-∞型極限    3.7.4  O/O型極限    3.7.5  與差有關(guān)的00型極限計(jì)算    3.7.6  (1+0)∞+型極限計(jì)算    3.7.7  (1+1/∞)∞型極限計(jì)算  思考題  習(xí)題第4章  導(dǎo)數(shù)和微分  4.1  導(dǎo)數(shù)定義及其幾何意義    4.1.1  導(dǎo)數(shù)引入    4.1.2  導(dǎo)數(shù)定義    4.1.3  導(dǎo)數(shù)的幾何意義  4.2  初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算    4.2.1  直接利用定義對(duì)計(jì)算一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)    4.2.2  導(dǎo)數(shù)計(jì)算的基本法則    4.2.3  函數(shù)的變化率  4.3  高階導(dǎo)數(shù)、微分及高階微分    4.3.1  導(dǎo)函數(shù)    4.3.2  高階導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則    4.3.3  高階微分    4.3.4  微分應(yīng)用  4.4  含參變量的函數(shù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算  4.5  微分學(xué)的幾個(gè)基本定理    4.5.1  羅爾定理    4.5.2  拉格朗日中值定理  4.6  泰勒級(jí)數(shù)    4.6.1  泰勒公式    4.6.2  五個(gè)基本初等函數(shù)的麥克勞林算式  思考題08  習(xí)題09第5章  微分學(xué)應(yīng)用  5.1  洛必達(dá)法則    5.1.1  洛必達(dá)法則理論依據(jù)    5.1.2  洛必達(dá)法則計(jì)算算例    5.1.3  使用洛必達(dá)法注意事項(xiàng)  5.2  極值問(wèn)題    5.2.1  極值點(diǎn)和極值計(jì)算    5.2.2  拐點(diǎn)和曲線的凹凸性    5.2.3  平面曲線的描繪  5.3  超越方程和高次方程數(shù)值算法    5.3.1  牛頓法    5.3.2  割線法  5.4    *泰勒級(jí)數(shù)的數(shù)值算法    5.4.1  代數(shù)插值多項(xiàng)式    5.4.2  泰勒級(jí)數(shù)的數(shù)值算法  思考題  習(xí)題第6章  不定積分  6.1  不定積分的引入及其基本性質(zhì)    6.1.1  不定積分引入    6.1.2  不定積分基本性質(zhì)  6.2  基本積分表  6.3  第一換元法Ⅰ    6.3.1  坐標(biāo)變換法    6.3.2  冪函數(shù)變換法    6.3.3  一般湊微分法    6.3.4  函數(shù)冪變換法  6.4  有理函數(shù)積分法    6.4.1  簡(jiǎn)單有理函數(shù)    6.4.2  一般有理函數(shù)的積分  6.5  第一換元法Ⅱ    6.5.1  R(sinx,cosx)型被積函數(shù)的積分    6.5.2  形如R(sinh x,cosh x)的積分    6.5.3  一些特殊根式函數(shù)的積分  6.6  第二換元法    6.6.1  形如∫(a2-x2)ndx的積分    6.6.2  形如∫(x2±a2)n/dx的積分  6.7  分部積分法    6.7.1  分部積分法的充要條件    6.7.2  滿足充分條件一的函數(shù)類型及其積分    6.7.3  滿足充分條件二的函數(shù)類型及其積分    6.7.4  滿足充分條件三的函數(shù)類型及其積分  6.8  混合積分64    6.8.1  先用第一換元法再用分部積分法積分的函數(shù)類型和積分    6.8.2  先用分部積分法再用第一換元法的函數(shù)類型和積分    6.8.3  先用第二換元法再用第一換元法的函數(shù)類型和積分    6.8.4  先用第一換元法再用第二換元法的函數(shù)類型和積分  思考題  習(xí)題第7章  定積分  7.1  定積分基本概念    7.1.1  定積分引入    7.1.2  定積分定義    7.1.3  可積函數(shù)    7.1.4  定積分的幾何意義  7.2  定積分基本性質(zhì)  7.3  積分學(xué)基本定理  7.4  定積分中的換元法和分部積分法    7.4.1  換元法    7.4.2  分部積分法    7.4.3  定積分的注意事項(xiàng)  7.5  變限積分和微積分學(xué)基本定理    7.5.1  變限積分    7.5.2  原函數(shù)的存在性定理  7.6  反常積分    7.6.1  問(wèn)題提出    7.6.2  區(qū)間無(wú)限(窮)的反常積分定義    7.6.3  無(wú)界函數(shù)的反常積分    7.6.4  無(wú)窮積分的性質(zhì)與收斂判斷  7.7  定積分算法小結(jié)    7.7.1  分部積分法算例小結(jié)    7.7.2  綜合算法    7.7.3  某些數(shù)列的極限計(jì)算  思考題  習(xí)題第8章  定積分應(yīng)用  8.1  定積分在幾何上的應(yīng)用    8.1.1  計(jì)算平面圖形面積    8.1.2  計(jì)算用參數(shù)方程描述的曲線所圍的面積    8.1.3  計(jì)算極坐標(biāo)下圖形的面積  8.2  曲線長(zhǎng)度、曲率半徑、柱體、錐體、旋轉(zhuǎn)體體積和表面積計(jì)算    8.2.1  計(jì)算曲線長(zhǎng)度    8.2.2  計(jì)算曲率    8.2.3  利用斷面面積作體積計(jì)算    8.2.4  旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積    8.2.5  定積分在力學(xué)、物理上的應(yīng)用  8.3  定積分的數(shù)值計(jì)算    8.3.1  牛頓積分算法    8.3.2  代數(shù)精確度    8.3.3  牛頓積分公式截?cái)嗾`差    8.3.4  高斯積分  思考題  習(xí)題

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