離散數(shù)學(xué)

前言

　　改革開放三十年來，我國經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展。當(dāng)今，在激烈的國際競爭環(huán)境下，從勞動密集型向技術(shù)集約型的經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)型成了當(dāng)務(wù)之急。而人才問題是這次轉(zhuǎn)型成敗的一個關(guān)鍵因素，教育首當(dāng)其沖。近年來，創(chuàng)新型的科學(xué)技術(shù)研究和生產(chǎn)鏈的兩端——合格的從事基礎(chǔ)理論研究和高級技術(shù)生產(chǎn)的人才奇缺已經(jīng)成為制約我國生產(chǎn)力發(fā)展的一大問題。無論從理論上考慮，還是從一些成功的高級技術(shù)人才的經(jīng)驗來看，培養(yǎng)具有必要的理論基礎(chǔ)和善于把理論知識應(yīng)用到生產(chǎn)實踐的創(chuàng)新型人才是我們高等教育的培養(yǎng)目標(biāo)。除卻少數(shù)培養(yǎng)基礎(chǔ)理論研究人才的純理科專業(yè)外，高等教育既不能是理論脫離實際的“純理論”教育，也不能是為某一生產(chǎn)線所謂“對口崗位”培養(yǎng)高級操作人員的培訓(xùn)班。我們始終認(rèn)為，掌握必要的理論知識并且善于用理論指導(dǎo)實踐的科技人才才是當(dāng)今我國經(jīng)濟(jì)建設(shè)所需要的?！　?shù)學(xué)作為～切科學(xué)的基礎(chǔ)是不言而喻的事實，只是不同的學(xué)科領(lǐng)域更加密切地依重數(shù)學(xué)的某一些分支而已。計算機(jī)科學(xué)和某些工程學(xué)科則是以“離散數(shù)學(xué)”作為其主要的研究工具。一是因為目前使用最廣泛的各種架構(gòu)的機(jī)器都是所謂“數(shù)字模式”的，即這種機(jī)器的內(nèi)部有且僅有兩種不同的信息元，在硬件內(nèi)用高、低電平或者介質(zhì)的不同磁化方向或晶相等加以記錄，數(shù)學(xué)上用“離散量”0和1對這兩種信息元加以描述（抽象的對應(yīng)物）。二是因為當(dāng)今通過計算機(jī)運算的絕大多數(shù)課題，要么直接就是基于若干離散對象之間的種種聯(lián)系，要么就是將一個或簡單或復(fù)雜的連續(xù)變量之間的關(guān)系，通過所謂的數(shù)值分析的方法用相應(yīng)的離散變量近似地加以描述，并且這種近似的精度是可以以計算量的增大來換取的。譬如，簡單到連續(xù)函數(shù)圖形下的曲邊梯形面積的求解，復(fù)雜至飛行器的空氣動力外形的網(wǎng)格設(shè)計方法等，都是處理離散變量的過程。三是因為計算機(jī)的軟、硬件系統(tǒng)本身就是一個有限結(jié)構(gòu)或有限離散結(jié)構(gòu)。　　本書是為計算機(jī)科學(xué)等專業(yè)的學(xué)生寫的一本離散數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教材。理論部分取材于數(shù)學(xué)的幾個與計算機(jī)學(xué)科聯(lián)系緊密的理論分支，并且在不致與其他課程內(nèi)容重復(fù)的宗旨下，盡可能地給出了一些運用數(shù)學(xué)理論解決專業(yè)問題的實例?！　∥覀冋J(rèn)為，同一門課程，不論是本科還是?？?，在介紹其基本概念、術(shù)語和基本理論方面，同樣需要做到嚴(yán)縝性和系統(tǒng)性。因為這些概念、術(shù)語和基本理論構(gòu)成離散數(shù)學(xué)的理論體系，是準(zhǔn)確理解和掌握離散數(shù)學(xué)的基石。本教材正是基于這樣的理解來安排教學(xué)內(nèi)容的。雖然教材的各章內(nèi)容取材于若干數(shù)學(xué)分支，通過仔細(xì)的考慮安排了一個合理的次序，使之前后呼應(yīng)，并以數(shù)理邏輯為論證工具貫穿全書，希望借以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。盡管如此，我們還是不打算使本書包含離散數(shù)學(xué)的所有內(nèi)容。本書省略了數(shù)值分析、組合學(xué)、概率等理論的內(nèi)容，這主要是考慮到學(xué)生在他們不同階段的學(xué)習(xí)中會涉獵這些知識。

內(nèi)容概要

離散數(shù)學(xué)和微積分不同，離散數(shù)學(xué)是以離散對象為研究對象的，是計算機(jī)專業(yè)和其他一些工程專業(yè)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本書包含了數(shù)理邏輯、集合論、數(shù)函數(shù)和遞推關(guān)系、圖論、代數(shù)系統(tǒng)及布爾代數(shù)等主要內(nèi)容。本書注重理論的系統(tǒng)性和準(zhǔn)確性，特別重視對理論難點的詮釋，敘述通俗易讀?！　”緯m合作為高等學(xué)校計算機(jī)專業(yè)或其他工程類專業(yè)教材使用，也可以供對離散數(shù)學(xué)有興趣的讀者自學(xué)。

書籍目錄

第1章 緒論　1.1 離散數(shù)學(xué)的研究對象　1.2 離散數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容　1.3 學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的方法第2章 數(shù)理邏輯　2.1 命題　　2.1.1 命題的概念　　2.1.2 命題的表示　2.2 命題聯(lián)結(jié)詞　　2.2.1 聯(lián)結(jié)詞的定義　　2.2.2 命題邏輯中聯(lián)結(jié)詞的最小集　2.3 命題的合式公式　　2.3.1 合式公式　　2.3.2 語句的符號化　2.4 真值表、永真式和永假式　　2.4.1 真值表　　2.4.2 永真式和永假式　2.5 公式的等價和蘊含　　2.5.1 公式的等價　　2.5.2 公式的蘊含　2.6 公式的主范式　　2.6.1 主析取范式　　2.6.2 主合取范式　2.7 命題演算的推理理論　　2.7.1 有效推理的概念　　2.7.2 有效推理的方法　2.8 命題邏輯和二值邏輯器件　2.9 一階謂詞邏輯　2.10 命題函數(shù)和個體變量及量詞　　2.10.1 命題函數(shù)　　2.10.2 量詞　2.11 謂詞公式　　2.11.1 謂詞公式　　2.11.2 變量的約束和替換　　2.11.3 謂詞演算中的等價與蘊含　2.12 謂詞演算的推理理論　習(xí)題第3章 集合和關(guān)系　3.1 集合和集合的運算　　3.1.1 集合的基本概念　　3.1.2 集合的運算　　3.1.3 集合運算中的恒等式　　3.1.4 序偶和笛卡兒積　3.2 關(guān)系　　3.2.1 關(guān)系及其表示法　　3.2.2 幾種特殊的關(guān)系　　3.2.3 關(guān)系的運算　3.3 等價關(guān)系和集合的劃分　　3.3.1 等價關(guān)系　　3.3.2 等價關(guān)系與劃分　3.4 序關(guān)系和哈斯圖　　3.4.1 序關(guān)系　　3.4.2 偏序關(guān)系的哈斯圖　　3.4.3 偏序集中的某些特殊元素　3.5 函數(shù)及其運算　　3.5.1 函數(shù)的概念　　3.5.2 函數(shù)的復(fù)合　　3.5.3 逆函數(shù)　習(xí)題第4章 數(shù)函數(shù)和遞推關(guān)系　4.1 數(shù)函數(shù)概念　4.2 數(shù)函數(shù)的基本運算　4.3 數(shù)函數(shù)的母函數(shù)　4.4 遞推關(guān)系　　4.4.1 常系數(shù)線性遞推關(guān)系　　4.4.2 用母函數(shù)求解數(shù)函數(shù)的通式　習(xí)題第5章 圖論　5.1 圖的基本概念和術(shù)語　5.2 路和回路　5.3 圖的矩陣表示　5.4 樹和生成樹　　5.4.1 無向樹的概念　　5.4.2 最小生成樹　5.5 有向樹及其應(yīng)用舉例　　5.5.1 有向樹的概念　　5.5.2 根樹的一個應(yīng)用舉例　5.6 歐拉圖與哈密頓圖　　5.6.1 歐拉圖　　5.6.2 歐拉定理的一個應(yīng)用舉例　　5.6.3 哈密頓圖　5.7 最短路徑與最長路徑問題　　5.7.1 最短路徑　　5.7.2 最長路徑　5.8 平面圖　習(xí)題第6章 代數(shù)系統(tǒng)　……第7章 格與布爾代數(shù)參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

　　推理是人類特有的思維活動。人們在社會實踐中自覺或不自覺地通過感官接受外界的消息形成所謂表象，同類表象的反復(fù)出現(xiàn)在人腦中建立起一個概念。概念已不再囿于個別的表象而具有一類表象的本質(zhì)屬性，這就是概念的內(nèi)涵。反過來說，所有歸納出該概念的具有特定表象的事物（對象）組成了概念的外延。例如，人們在品嘗了蘋果、梨、香蕉等之后，將具有各種特定香味而富含營養(yǎng)和水分的植物果實概括為“水果”這一概念?？陀^世界里實際并不存在具體的一個水果，但水果這一概念卻包涵了每一個蘋果、梨、香蕉等。因此，我們說概念是存在于人腦里的對現(xiàn)實世界對象的一種抽象，它只存在于人的思維中。而水果這一概念的外延卻是由客觀世界中存在的所有有水果屬性的個體組成的。我們可以向別人展示一只梨，并對他說：這是一只梨，它是一種水果（嚴(yán)格地說，他應(yīng)當(dāng)說這是水果中的一個）。但任何人都無法展示水果是什么。這就是說，概念存在于思維之中，而概念的外延存在于客觀世界。當(dāng)然，以上的敘述只是為了使大家明白概念是怎樣產(chǎn)生而舉的一個特殊例子?，F(xiàn)實生活中還有很多“抽象的概念”，如時間、空間、數(shù)學(xué)上的點等。事實上，我們根本不可能找到一個只有位置而無大小的幾何點。但是，我們照樣可以完美地將所有的實數(shù)和幾何上的一根有方向的直線，即所謂數(shù)軸對應(yīng)起來。于是我們要對前面提到的“外延存在于客觀世界”一語做一些補充說明。通常，在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域里，人們在研究某些現(xiàn)象時發(fā)現(xiàn)，必須對某些客觀實體做出更為抽象的概括，摒棄客體的某些屬性，張揚它的局部屬性，形成一種全新的概念。這樣做了，往往可將被研究事物的本質(zhì)屬性突現(xiàn)出來。例如，幾何上的點就是從具有一定大小的普通的點，通過忽略其大小而強調(diào)其幾何位置所得的。這樣做了，就使得實數(shù)理論建立在一個有形的對應(yīng)物——數(shù)軸上了。不要低估了這樣做的影響。從此，幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)建立起密切的聯(lián)系，使得解析幾何、畫法幾何、微分幾何得以借助分析手段長足地發(fā)展起來。所以說，“概念的外延存在于客觀世界”一語的正確理解應(yīng)當(dāng)是：人們不可能杜撰一個根本不反映任何客觀事物本質(zhì)屬性的概念。如果有這樣的概念，那只能存在于迷信或神話中?！　「拍钸€不是人類思維的全部，判斷是人們更具創(chuàng)造力的思維活動。所謂判斷，就是對某些概念之間的必然聯(lián)系做出的斷言。判斷的真實性最終只能為客觀實踐所證實或否定。這就是我們通常說的“實踐是檢驗真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)”。數(shù)理邏輯主要研究的就是如何從一組已知判斷，通過所謂有效推理而最終獲得一個全新判斷的邏輯學(xué)分支?！　≌f到有效推理，這是一組明確規(guī)定的法則，允許從一個或一組已知判斷，得到一個新的判斷。特別要強調(diào)的是：有效推理是經(jīng)過反復(fù)實踐認(rèn)證符合客觀規(guī)律的一種人類的正確思維法則。但它只保證推理本身是正確的，并不能保證推理的結(jié)果——最終得出的判斷也正確。因為如果作為推理前提的判斷是虛假的或局部是虛假的話，即使推理過程是有效的，我們也不能保證結(jié)論一定是正確的。我們唯一可以保證的是在正確的前提下，經(jīng)過有效推理必定產(chǎn)生正確的結(jié)果。

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