高等代數(shù)

前言

　　高等代數(shù)是數(shù)學(xué)與應(yīng)用教學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課程，通過(guò)本課程的教學(xué)，一方面為后續(xù)課程如離散數(shù)學(xué)、數(shù)值分析、運(yùn)籌學(xué)、實(shí)變函數(shù)與泛函分析等提供必要的基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)為培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算技能、抽象思維能力和邏輯推理能力提供必要的訓(xùn)練。隨著科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)的發(fā)展，高等代數(shù)知識(shí)已經(jīng)滲透到經(jīng)濟(jì)、金融、信息、社會(huì)等各個(gè)領(lǐng)域，人們?cè)絹?lái)越深刻地感覺(jué)到高等代數(shù)課程在傳授給學(xué)生相關(guān)的代數(shù)知識(shí)的同時(shí)，應(yīng)該充分發(fā)揮數(shù)學(xué)軟件的優(yōu)勢(shì)，將代數(shù)知識(shí)應(yīng)用到相關(guān)學(xué)科中去，應(yīng)該提高學(xué)生使用代數(shù)方法去思考并解決實(shí)際問(wèn)題的能力。為此，在編寫本教材時(shí)，我們做了下面幾方面的嘗試：　　（1）在教材內(nèi)容的選擇和安排上，我們遵循由淺入深，由易及難，由具體到抽象的原則，使知識(shí)的水平和難度逐步提高.從學(xué)生容易接受的矩陣及其運(yùn)算出發(fā)，借助初等變換來(lái)討論行列式的性質(zhì)和解線性方程組，這樣就避開了一開始就讓學(xué)生接觸難以掌握的多項(xiàng)式理論或行列式理論，以利于學(xué)生有時(shí)間調(diào)整并適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)方式.同時(shí)，較早地引進(jìn)矩陣使得有些定理（如矩陣乘積的行列式定理、克拉默法則）的證明十分簡(jiǎn)單，避免了不必要的重復(fù).多項(xiàng)式理論是高等代數(shù)中不可缺少的內(nèi)容，為了降低教學(xué)難度并減少教學(xué)課時(shí)，我們只介紹最基本也是必需的內(nèi)容.在最后三章里，我們安排了比較抽象的線性空間、線性變換和歐幾里得空間內(nèi)容。　?。?）在教材內(nèi)容的處理方法上，注重理論聯(lián)系實(shí)際，加強(qiáng)概念與理論的背景和應(yīng)用介紹，利用對(duì)實(shí)際問(wèn)題的討論，幫助學(xué)生理解抽象的代數(shù)概念.我們考慮了婚姻狀況計(jì)算的簡(jiǎn)單模型、網(wǎng)絡(luò)和圖、情報(bào)檢索模型和信息編碼等實(shí)際問(wèn)題，說(shuō)明矩陣運(yùn)算是很有用的；利用方程組理論，討論了商品交換的經(jīng)濟(jì)模型；借助線性空間理論，給出了拉格朗日插值公式并討論了人口遷移問(wèn)題；說(shuō)明了抽象的線性變換和計(jì)算機(jī)圖形、動(dòng)畫以及抽象的特征值、特征向量和伴性基因的分布規(guī)律之間的聯(lián)系；利用內(nèi)積和相關(guān)矩陣概念，討論了心理學(xué)家斯皮爾曼的因素分析模型?！　。?）結(jié)合課程內(nèi)容，介紹MATIAB在高等代數(shù)計(jì)算中的用法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)將高等代數(shù)知識(shí)和數(shù)學(xué)軟件結(jié)合起來(lái)去解決實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步幫助學(xué)生對(duì)一些抽象代數(shù)概念的理解，加深對(duì)代數(shù)理論的認(rèn)識(shí)。借助于MATLAB這一工具，給出了矩陣、向量和多項(xiàng)式的運(yùn)算，求解線性方程組，求矩陣的特征值與特征向量以及向量組的正交化與矩陣分解程序，也可以繪制出非常實(shí)用并且有趣的二維圖形.通過(guò)MATLAB練習(xí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生去揭示、發(fā)現(xiàn)一些代數(shù)現(xiàn)象，進(jìn)一步加深對(duì)所學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)和理解。

內(nèi)容概要

　　《高等代數(shù)》內(nèi)容包括矩陣代數(shù)、行列式、向量組與線性方程組、一元多項(xiàng)式、二次型、線性空間、線性變換和歐幾里得空間以及和這些內(nèi)容相關(guān)的習(xí)題、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和MATLAB練習(xí)。每章后都附有閱讀材料，內(nèi)容包括：數(shù)學(xué)歸納法、等價(jià)關(guān)系與集合的分類、線性方程組的一個(gè)簡(jiǎn)易解法、整數(shù)的整除性、三大尺規(guī)作圖問(wèn)題、集合與映射、黃金分割、最小二乘法和歷史上部分?jǐn)?shù)學(xué)大師介紹?！　　陡叩却鷶?shù)》在致力于向?qū)W生講授比較系統(tǒng)的、能體現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的高等代數(shù)基本知識(shí)和方法的同時(shí)，注重代數(shù)概念的應(yīng)用背景介紹，以利于學(xué)生更好地理解代數(shù)理論，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用代數(shù)方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力?！　　陡叩却鷶?shù)》可作為一般普通高等學(xué)校應(yīng)用數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、金融數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)和工科部分專業(yè)的高等代數(shù)教材或教學(xué)參考書。

書籍目錄

第1章　矩陣代數(shù)　1.1　數(shù)域　　1.2　矩陣及其運(yùn)算　　1.2.1　矩陣的概念　　1.2.2　矩陣的加法和數(shù)乘　　1.2.3　矩陣的乘法　　1.2.4　矩陣的轉(zhuǎn)置　1.3　可逆矩陣與初等矩陣　　1.3.1　可逆矩陣的定義與性質(zhì)　　1.3.2　矩陣的初等變換與初等矩陣　　1.3.3　等價(jià)矩陣　　1.3.4　用初等變換求逆矩陣　　1.3.5　用初等變換求解矩陣方程　1.4　分塊矩陣　　1.4.1　分塊矩陣的加法和數(shù)乘　　1.4.2　分塊矩陣乘法　1.5　分塊矩陣的初等變換　　1.5.1　分塊矩陣的初等變換　　1.5.2　用分塊矩陣的初等變換求逆矩陣　習(xí)題　實(shí)驗(yàn)　了解數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室MATLAB　閱讀材料第2章　行列式　2.1　行列式的定義　　2.1.1　排列　　2.1.2　二階行列式和三階行列式　　2.1.3　n階行列式的定義　2.2　行列式的性質(zhì)　　2.2.1　行列式的轉(zhuǎn)置　　2.2.2　行列式的行(列)初等變換　　2.2.3　矩陣乘積的行列式　2.3　行列式展開　2.4　用行列式求逆矩陣與克拉默(Gramer)法則　　2.4.1　用行列式求逆矩陣　　2.4.2　克拉默法則　習(xí)題　實(shí)驗(yàn)　矩陣及其運(yùn)算　閱讀材料第3章　向量組與線性方程組　3.1　消元法解線性方程組　3.2　向量組的線性相關(guān)性　　3.2.1　向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)　　3.2.2　向量組的秩　3.3　矩陣的秩　　3.3.1　矩陣的秩及其求法　　3.3.2　矩陣的秩與行列式　3.4　線性方程組的解　　3.4.1　線性方程組有解的判別定理　　3.4.2　線性方程組解的結(jié)構(gòu)　習(xí)題　實(shí)驗(yàn)　集合與向量的運(yùn)算　閱讀材料第4章　一元多項(xiàng)式　4.1　一元多項(xiàng)式的運(yùn)算和整除性　　4.1.1　一元多項(xiàng)式及其運(yùn)算　　4.1.2　帶余除法　　4.1.3　多項(xiàng)式的整除性　4.2　多項(xiàng)式的最大公因式　　4.2.1　最大公因式　　4.2.2　互素多項(xiàng)式　4.3　因式分解與唯一性定理　　4.3.1　不可約多項(xiàng)式　　4.3.2　因式分解與唯一性定理　　4.3.3　重因式　4.4　復(fù)系數(shù)、實(shí)系數(shù)和有理系數(shù)多項(xiàng)式　　4.4.1　復(fù)數(shù)域上的多項(xiàng)式　　4.4.2　實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式　　4.4.3　有理數(shù)域上的多項(xiàng)式　習(xí)題　實(shí)驗(yàn)　求解線性方程組　閱讀材料第5章　二次型　5.1　二次型與對(duì)稱矩陣　　5.1.1　二次型的矩陣表示　　5.1.2　合同矩陣與二次型等價(jià)　5.2　二次型的標(biāo)準(zhǔn)形　5.3　實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上二次型　　5.3.1　復(fù)數(shù)域上二次型的規(guī)范形　　5.3.2　實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范形　5.4　正定二次型　習(xí)題　實(shí)驗(yàn)　多項(xiàng)式與插值　閱讀材料第6章　線性空間　6.1　線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)　　6.1.1　線性空間的定義　　6.1.2　線性空間的簡(jiǎn)單性質(zhì)　6.2　子空間　　6.2.1　子空間的概念　　6.2.2　子空間的交與和　　6.2.3　生成子空間　6.3　基與維數(shù)　　6.3.1　向量的線性相關(guān)性　　6.3.2　基與維數(shù)　　6.3.3　維數(shù)公式　6.4　基變換與坐標(biāo)變換　　6.4.1　基變換　　6.4.2　坐標(biāo)與坐標(biāo)變換　6.5　子空間直和　　6.5.1　子空間直和概念　　6.5.2　余子空間　6.6　線性空間的同構(gòu)　習(xí)題　實(shí)驗(yàn)　二維繪圖　閱讀材料第7章　線性變換第8章　歐幾里得空間參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

　　阿基米德是古代希臘文明所產(chǎn)生的最偉大的數(shù)學(xué)家及科學(xué)家，這無(wú)可爭(zhēng)議，他在諸多科學(xué)領(lǐng)域所做出的突出貢獻(xiàn)，使他贏得了同時(shí)代人的高度尊敬.阿基米德在力學(xué)方面的成績(jī)最為突出，他系統(tǒng)并嚴(yán)格地證明了杠桿定律，為靜力學(xué)奠定了基礎(chǔ).在總結(jié)前人經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，阿基米德系統(tǒng)地研究了物體的重心，提出了精確地確定物體重心的方法，指出在物體的中心處支起來(lái)，就能使物體保持平衡.他在研究機(jī)械的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)了杠桿定律，并利用這一原理設(shè)計(jì)制造了許多機(jī)械.他在研究浮體的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了浮力定律，也就是著名的阿基米德定律.關(guān)于浮力定律，流傳著這樣一段有趣的故事.相傳敘拉古赫農(nóng)王讓工匠替他做了一頂純金的王冠，做好后，國(guó)王疑心工匠在金冠中摻了假，但這頂金冠確與當(dāng)初交給金匠的純金一樣重，到底工匠有沒(méi)有搗鬼呢？既想檢驗(yàn)真假，又不能破壞王冠，這個(gè)問(wèn)題不僅難倒了國(guó)王，也使諸大臣們面面相覷.后來(lái)，國(guó)王請(qǐng)阿基米德來(lái)檢驗(yàn).最初，阿基米德也是冥思苦想而不得要領(lǐng).一天，他去澡堂洗澡，當(dāng)他坐進(jìn)澡盆里時(shí)，看到水往外溢，同時(shí)感到身體被輕輕托起.他突然悟到可以用測(cè)定固體在水中排水量的辦法，來(lái)確定金冠的密度.他興奮地跳出澡盆，連衣服都顧不得穿就跑了出去，大聲喊道“Eureka！Eureka！”（意思是“我知道了”）.他經(jīng)過(guò)了進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)以后來(lái)到王宮，他把王冠和同等重量的純金放在盛滿水的兩個(gè)盆里，比較兩盆溢出來(lái)的水，發(fā)現(xiàn)放王冠的盆里溢出來(lái)的水比另一盆多.這就說(shuō)明王冠的體積比相同重量的純金的體積大，所以證明了王冠里摻進(jìn)了其他金屬.阿基米德從中發(fā)現(xiàn)了浮力定律：物體在液體中所獲得的浮力，等于它所排出液體的重量.一直到現(xiàn)代，人們還在利用這個(gè)原理計(jì)算物體密度和測(cè)定船舶載重量等.阿基米德還確定了拋物線弓形、螺線、圓形等的面積以及橢球體、拋物面體等體積的計(jì)算方法.在推演這些公式的過(guò)程中，他創(chuàng)立了“窮竭法”，即逐步近似求極限的方法，公認(rèn)為微積分計(jì)算的鼻祖.他用圓內(nèi)接多邊形與外切多邊形邊數(shù)增多、面積逐漸接近的方法，比較精確地求出了圓周率.

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