信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

前言

21世紀(jì)是計(jì)算機(jī)技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)快速發(fā)展的信息時(shí)代。信息安全已經(jīng)成為世人關(guān)注的社會(huì)問(wèn)題和信息科學(xué)領(lǐng)域的熱點(diǎn)研究課題。信息安全與國(guó)家的軍事、外交、政治、金融，甚至人們的日常生活有著密切的聯(lián)系。世界各國(guó)都在信息安全的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)、教學(xué)以及研究開(kāi)發(fā)方面投入了大量的人力和資金。人才是發(fā)展信息安全的關(guān)鍵，自2001年武漢大學(xué)創(chuàng)建了全國(guó)第一個(gè)信息安全本科專(zhuān)業(yè)至今，全國(guó)已有30多所高校建立了信息安全專(zhuān)業(yè)。信息安全是計(jì)算機(jī)、通信、電子、數(shù)學(xué)、物理、生物、法律、管理、教育等多個(gè)學(xué)科的交叉學(xué)科。而數(shù)學(xué)則是信息安全學(xué)科的基礎(chǔ)，有專(zhuān)家指出“未來(lái)的信息戰(zhàn)爭(zhēng)在某種程度上是數(shù)學(xué)的戰(zhàn)爭(zhēng)”，可見(jiàn)數(shù)學(xué)在信息安全中的地位和作用。在信息安全和密碼學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，如信息安全模型的建立、密碼體制的設(shè)計(jì)（尤其是公鑰密碼體制的設(shè)計(jì)）、密碼分析破譯、密碼體制的形式化分析以及安全性證明（尤其是可證安全證明）等涉及和使用了數(shù)論、抽象代數(shù)、布爾函數(shù)、橢圓曲線(xiàn)理論、圖論、計(jì)算復(fù)雜度等方面的數(shù)學(xué)知識(shí)。這些數(shù)學(xué)知識(shí)在高等院校工科數(shù)學(xué)中大部分是沒(méi)有介紹過(guò)的，因此非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生在學(xué)習(xí)這些與信息安全緊密相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)遇到了很大的困難，而有關(guān)數(shù)論、代數(shù)和橢圓曲線(xiàn)論等方面的書(shū)籍多半是針對(duì)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，難度大、內(nèi)容多，其中應(yīng)用于信息安全的數(shù)學(xué)理論和知識(shí)只是一小部分，不便于非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生進(jìn)行閱讀和學(xué)習(xí)。因此，本書(shū)希望將這些應(yīng)用于信息安全的數(shù)學(xué)理論，以及信息安全研究和應(yīng)用中所產(chǎn)生的一些新的數(shù)學(xué)成果做一次系統(tǒng)全面的介紹，以方便信息安全、計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)、通信工程等專(zhuān)業(yè)的學(xué)生及信息安全領(lǐng)域的工作者學(xué)習(xí)。本書(shū)第1章一第5章分別介紹了數(shù)論中的整數(shù)的唯一性分解定理、同余式、二次剩余、原根、紊陸檢驗(yàn)等內(nèi)容，第6章、第7章介紹了抽象代數(shù)中的群、環(huán)、域，第8章介紹了布爾函數(shù)的概念和基本性質(zhì)，第9章簡(jiǎn)單介紹了應(yīng)用于橢圓曲線(xiàn)密碼體制的橢圓曲線(xiàn)理論，第1O章介紹了圖論的基本知識(shí)和應(yīng)用，第11章介紹了NP完全理論的相關(guān)內(nèi)容。由于篇幅所限，本書(shū)在編寫(xiě)過(guò)程中有選擇性地略去了部分定理較為繁雜的證明過(guò)程，學(xué)有余力的讀者可查閱列于書(shū)末的參考書(shū)目或其他相關(guān)書(shū)籍。由于學(xué)時(shí)數(shù)有限，建議授課教師根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況適當(dāng)選取課堂講授內(nèi)容，其他內(nèi)容可安排學(xué)生進(jìn)行自學(xué)。本書(shū)內(nèi)容翔實(shí)、概念表述嚴(yán)謹(jǐn)、語(yǔ)言精練、例題豐富，切合教學(xué)之用。但由于時(shí)間和水平有限，不妥和錯(cuò)誤之處在所難免，希望老師們和讀者提出寶貴意見(jiàn)，以使本書(shū)能夠進(jìn)一步修改完善。本書(shū)在編寫(xiě)過(guò)程中得到海軍司令部機(jī)要局的大力支持和海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院信息安全系許多教師的熱情幫助，在此向他們表示衷心的感謝。作者2008年12月

內(nèi)容概要

　　《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》包含初等數(shù)論、抽象代數(shù)、布爾函教、橢圓曲線(xiàn)論、圖論、NP完全理論等方面的內(nèi)容，結(jié)構(gòu)合理，內(nèi)容系統(tǒng)全面。書(shū)中以大量例題深入淺出地闡述各數(shù)學(xué)分支的基本概念、 基本理論與基本方法。注重背景、強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，便于讀者理解掌握?！缎畔踩珨?shù)學(xué)基礎(chǔ)》可作為信息安全、計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、通信工程、電子等領(lǐng)域的研究生和本科生相關(guān)課程的教科書(shū)，也可作為這些領(lǐng)域工程技術(shù)人員的參考書(shū)。

書(shū)籍目錄

第1章 整數(shù)的唯一性分解定理1.1 整除的概念歐幾里得除法1.2 最大公因數(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法1.3 整除的進(jìn)一步性質(zhì)及最小公倍數(shù)1.4 素?cái)?shù)，整數(shù)的唯一分解定理1.5 厄拉多塞篩法1.6 整數(shù)的表示習(xí)題第2章 同余式2.1 同余的概念和基本性質(zhì)2.2 剩余類(lèi)及完全剩余系2.3 縮系2.4 模重復(fù)平方計(jì)算法2.5 一次同余式2.6 中國(guó)剩余定理2.7 高次同余式的解法和解數(shù)2.8 素?cái)?shù)模的同余式習(xí)題第3章 二次剩余3.1 二次剩余3.2 勒讓德符號(hào)3.3 高斯引理3.4 二次互反律3.5 雅可比符號(hào)3.6 二次同余式的解法和解數(shù)習(xí)題第4章 原根4.1 指數(shù)4.2 原根4.3 指標(biāo)4.4 n次剩余習(xí)題第5章 素性檢驗(yàn)5.1 擬素?cái)?shù)5.2 歐拉擬素?cái)?shù)5.3 強(qiáng)擬素?cái)?shù)5.4 AKS素性檢驗(yàn)習(xí)題第6章 群6.1 群和子群6.2 同態(tài)和同構(gòu)6.3 正規(guī)子群和商群6.4 群的同態(tài)定理6.5 循環(huán)群6.6 有限生成交換群6.7 置換群習(xí)題第7章 環(huán)與域7.1 環(huán)的定義與基本性質(zhì)7.2 域和特征7.3 理想7.4 域的擴(kuò)張7.5 Galois理論的基本定理7.6 有限域的構(gòu)造習(xí)題第8章 布爾函數(shù)8.1 布爾函數(shù)的基本概念8.2 布爾函數(shù)的平衡相關(guān)免疫性8.3 布爾函數(shù)的非線(xiàn)性度及其上界研究8.4 布爾函數(shù)的嚴(yán)格雪崩特性和擴(kuò)散性8.5 Bent函數(shù)習(xí)題第9章 橢圓曲線(xiàn)9.1 橢圓曲線(xiàn)基本概念9.2 加法原理9.3 有限域上的橢圓曲線(xiàn)習(xí)題第10章 圖論10.1 圖的基本概念10.2 關(guān)聯(lián)矩陣和鄰接矩陣10.3 樹(shù)與支撐樹(shù)10.4 最小樹(shù)10.5 圖論在序列密碼中的應(yīng)用習(xí)題第11章 NP完全性理論11.1 引言11.2 圖靈機(jī)11.3 非確定型圖靈機(jī)11.4 判定問(wèn)題、P類(lèi)問(wèn)題和可滿(mǎn)足性問(wèn)題11.5 NP問(wèn)題、NP完全問(wèn)題和NP困難問(wèn)題11.6 典型的NP完全問(wèn)題及其證明習(xí)題參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

插圖：第2章同余式在日常生活中，我們所要注意的常常不是某些整數(shù)，而是這些數(shù)用某一固定的數(shù)去除所得的余數(shù)。例如，我們知道某月2號(hào)是星期一，那么9號(hào)、16號(hào)都是星期一，總之用7去除某月的號(hào)數(shù)，余數(shù)是2的都是星期一。這樣，就在數(shù)學(xué)中產(chǎn)生了同余的概念，這個(gè)概念的產(chǎn)生大大豐富了數(shù)學(xué)的內(nèi)容。本章首先介紹同余的概念和基本性質(zhì)，進(jìn)而介紹所謂完全乘余系和縮系，然后建立了著名的歐拉定理和費(fèi)馬定理，最后介紹了解某些同余式的一般方法。2.工同余的概念和基本性質(zhì)定義1.1 給定一個(gè)正整數(shù)m，如果用m去除兩個(gè)整數(shù)。所得的余數(shù)相同，我們就說(shuō)a、b對(duì)模數(shù)m同余，記作a-b（mod m），如果余數(shù)不同，我們就說(shuō)0、b對(duì)模數(shù)不同余。從同余的定義出發(fā)，可得到模m同余的等價(jià)關(guān)系，即：（1）（自反性）對(duì)任一整數(shù)a，a＝a（mod m）；（2）（對(duì)稱(chēng)性）若a=b（mod m），則b＝a（mod m）：（3）（傳遞性）若a=b（mod m），b=c（mod m），則a=c（mod m）。定理1.1整數(shù)a、b對(duì)模數(shù)m同余的充分必要條件是m （a-b）。證明：設(shè)a=b（mod m），則有a=mq1+r，0≤r

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《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》由國(guó)防工業(yè)出版社出版。

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