程序員的數(shù)學(xué)

前言

大家好！我是結(jié)城浩。歡迎閱讀《程序員的數(shù)學(xué)》。本書是為程序員朋友們寫的數(shù)學(xué)書。編程的基礎(chǔ)是計(jì)算機(jī)科學(xué)，而計(jì)算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)。因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有助于鞏固編程的基礎(chǔ)，寫出健壯的程序。有的讀者可能會(huì)說(shuō)“但我數(shù)學(xué)不好啊”。特別是很多讀者“一碰到算式就跳過(guò)不讀”。坦率而言，我自己遇到書中的算式也想跳過(guò)不看。本書盡可能減少了“大家不想看的算式”，也沒有過(guò)多的定義、定理和證明。這是為幫助程序員更容易理解編程而寫的書。希望你能通過(guò)本書學(xué)到有助于編程的“數(shù)學(xué)思維”。數(shù)學(xué)思維示例學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)思維”說(shuō)起來(lái)太抽象了，我們來(lái)舉些具體的例子?！緱l件分支和邏輯】在編程時(shí)，我們按照條件將處理方法分為多個(gè)“分支”。C 語(yǔ)言和Java 語(yǔ)言中使用的是if 語(yǔ)句。處理方法為： 當(dāng)滿足條件時(shí)執(zhí)行這條語(yǔ)句，不滿足條件時(shí)執(zhí)行另一語(yǔ)句。這時(shí)，我們就使用了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的“邏輯”來(lái)控制程序。因此，編程時(shí)必須熟練掌握“ 與”“、或”“、非”、“蘊(yùn)涵”等邏輯構(gòu)成元素?！狙h(huán)和數(shù)學(xué)歸納法】我們?cè)谔幚泶罅康男畔r(shí)，使用程序進(jìn)行“循環(huán)”操作。比如使用for 語(yǔ)句可以循環(huán)處理大量數(shù)據(jù)。循環(huán)中使用的就是“數(shù)學(xué)歸納法”?！痉诸惡陀?jì)數(shù)方法】在將許多條件和數(shù)據(jù)“分類”時(shí)，程序員必須注意不能有遺漏。這時(shí)加法法則、乘法法則、排列、組合等“計(jì)數(shù)方法”將助你一臂之力。這是程序員應(yīng)該熟記于心的數(shù)學(xué)工具。通過(guò)本書，也可以學(xué)到遞歸、指數(shù)、對(duì)數(shù)、余數(shù)等重要的基礎(chǔ)思維方式。人類和計(jì)算機(jī)的共同戰(zhàn)線我們寫程序是為了解決人類解決不了的問(wèn)題。程序員理解問(wèn)題，編寫程序；計(jì)算機(jī)運(yùn)行程序，解決問(wèn)題。人類不擅長(zhǎng)重復(fù)勞動(dòng)，很容易厭倦，有時(shí)還會(huì)出錯(cuò)，但人類擅長(zhǎng)解決問(wèn)題。與此相對(duì)，計(jì)算機(jī)擅長(zhǎng)重復(fù)勞動(dòng)，但不能自行解決問(wèn)題。于是，人機(jī)合力，如虎添翼。遇到難題，光靠人類不能解決，光靠計(jì)算機(jī)也不能解決。而人機(jī)合力就能解決問(wèn)題。這也是本書要傳達(dá)的主旨之一。不過(guò)，編寫程序也非易事，無(wú)論人類和計(jì)算機(jī)如何齊心合力，總有解決不了的問(wèn)題。本書也對(duì)人類和計(jì)算機(jī)的極限進(jìn)行了分析。希望你在讀完本書后能對(duì)以程序?yàn)槊浇榈娜藱C(jī)合作有更深刻的理解。本書面向的讀者本書主要面向的讀者是程序員。不過(guò)若你對(duì)編程或數(shù)學(xué)感興趣，讀起來(lái)也會(huì)一樣有意思。你不需要精通數(shù)學(xué)。書中不會(huì)出現(xiàn)Σ和等很難的算式，因此自認(rèn)為數(shù)學(xué)不太好的讀者也完全可以閱讀。閱讀本書只需具備四則運(yùn)算（＋－ ×÷）和乘方（23=2×2×2）等基礎(chǔ)知識(shí)。除此以外的知識(shí)在書中皆有說(shuō)明。如果你對(duì)數(shù)字和邏輯感興趣，可能會(huì)更喜歡本書。你也不需要精通編程。不過(guò)如果稍有一些編程經(jīng)驗(yàn)，可能會(huì)更容易理解本書內(nèi)容。書中有個(gè)別例子是用C 語(yǔ)言寫的程序，不過(guò)即使不懂C 語(yǔ)言也不妨礙理解。本書結(jié)構(gòu)本書各章內(nèi)容可以按任意順序閱讀，但筆者推薦從第1 章開始按順序閱讀。第1 章對(duì)0 進(jìn)行討論。以按位計(jì)數(shù)法為核心，學(xué)習(xí)如何用0 來(lái)簡(jiǎn)化規(guī)則，并對(duì)“無(wú)即是有”的意義進(jìn)行了思考。第2 章學(xué)習(xí)使用邏輯來(lái)整理繁瑣的內(nèi)容。介紹邏輯表達(dá)式、真值表、德·摩根定律、三值邏輯、卡諾圖等。第3 章討論余數(shù)。我們要記住“余數(shù)就是分組”的觀點(diǎn)。對(duì)于一些難題，有時(shí)只要找到周期性規(guī)律就能解決。第4 章學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法只需要兩個(gè)步驟就能證明無(wú)窮的斷言。本章還會(huì)舉例介紹使用循環(huán)不變式寫出正確的循環(huán)。第5 章學(xué)習(xí)排列組合等計(jì)數(shù)方法。計(jì)數(shù)的關(guān)鍵在于“認(rèn)清對(duì)象的性質(zhì)”。第6 章學(xué)習(xí)自己定義自己的遞歸。通過(guò)漢諾塔、斐波那契數(shù)列、分形圖形等，練習(xí)從復(fù)雜事物中發(fā)現(xiàn)遞歸結(jié)構(gòu)。第7 章學(xué)習(xí)指數(shù)爆炸。計(jì)算機(jī)也很難解決含有指數(shù)爆炸的問(wèn)題。我們將在這里思考研究如何將指數(shù)爆炸為我所用，解決大型問(wèn)題。另外本章還將以二分法檢索為例，學(xué)習(xí)將問(wèn)題空間一分為二的意義。第8 章以停機(jī)問(wèn)題為例，來(lái)說(shuō)明許多程序上的問(wèn)題是計(jì)算機(jī)如何發(fā)展都解決不了的。本章也會(huì)學(xué)到反證法和對(duì)角論證法。第9 章回顧本書學(xué)習(xí)內(nèi)容，思考人類全面把握結(jié)構(gòu)的能力對(duì)解決問(wèn)題有多大幫助，以及人機(jī)協(xié)作具有何種意義。致謝首先要感謝馬丁·伽德納。小時(shí)候我癡迷于閱讀您所著的《數(shù)學(xué)游戲》，至今仍記憶猶新。此外，還要感謝支持我的廣大讀者和為我祈禱的基督教朋友們。以下各位為本書提出了寶貴建議并給予了極大幫助，在此深表謝意（按日語(yǔ)五十音圖順序）：天野勝、石井勝、巖澤正樹、上原隆平、佐藤勇紀(jì)、武笠夏子、前原正英、三宅喜義。特別感謝在本書編寫過(guò)程中給予我極大關(guān)懷和支持的SoftBank 出版有限公司的野澤喜美男主編。感謝一直鼓勵(lì)我的愛妻和兩個(gè)兒子。本書獻(xiàn)給在餐桌上教我方程式乃至微積分的父親。父親，謝謝您！2005 年2 月結(jié)城 浩

內(nèi)容概要

　　《圖靈程序設(shè)計(jì)叢書：程序員的數(shù)學(xué)》面向程序員介紹了編程中常用的數(shù)學(xué)知識(shí)，借以培養(yǎng)初級(jí)程序員的數(shù)學(xué)思維。讀者無(wú)需精通編程，也無(wú)需精通數(shù)學(xué)，只需具備四則運(yùn)算和乘方等基礎(chǔ)知識(shí)，就可以閱讀《程序員的數(shù)學(xué)》。　　書中講解了二進(jìn)制計(jì)數(shù)法、邏輯、余數(shù)、排列組合、遞歸、指數(shù)爆炸、不可解問(wèn)題等許多與編程密切相關(guān)的數(shù)學(xué)方法，分析了哥尼斯堡七橋問(wèn)題、高斯求和方法、漢諾塔、斐波那契數(shù)列等經(jīng)典問(wèn)題和算法。引導(dǎo)讀者深入理解編程中的數(shù)學(xué)方法和思路?！　　冻绦騿T的數(shù)學(xué)》適合程序設(shè)計(jì)人員以及編程和數(shù)學(xué)愛好者閱讀。

作者簡(jiǎn)介

結(jié)城浩  1963年生，現(xiàn)從事專業(yè)寫作及軟件編程工作。 其興趣跟工作是“寫程序”與“寫書”，主要著作大多數(shù)為數(shù)學(xué)及程序?qū)Ｖ?，《?shù)學(xué)女孩》是他的第一本青春文學(xué)小說(shuō)。

書籍目錄

第1章 0的故事——無(wú)即是有 本章學(xué)習(xí)內(nèi)容 小學(xué)一年級(jí)的回憶 10進(jìn)制計(jì)數(shù)法 什么是10進(jìn)制計(jì)數(shù)法 分解2503 2進(jìn)制計(jì)數(shù)法 什么是2進(jìn)制計(jì)數(shù)法 分解1100 基數(shù)轉(zhuǎn)換 計(jì)算機(jī)中為什么采用2進(jìn)制計(jì)數(shù)法 按位計(jì)數(shù)法 什么是按位計(jì)數(shù)法 不使用按位計(jì)數(shù)法的羅馬數(shù)字 指數(shù)法則 10的0次方是什么 10—1是什么 規(guī)則的擴(kuò)展 對(duì)20進(jìn)行思考 2—1是什么 0所起的作用 0的作用：占位 0的作用：統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，簡(jiǎn)化規(guī)則 日常生活中的0 人類的極限和構(gòu)造的發(fā)現(xiàn) 重溫歷史進(jìn)程 為了超越人類的極限 本章小結(jié) 第2章 邏輯——真與假的二元世界 本章學(xué)習(xí)內(nèi)容 為何邏輯如此重要 邏輯是消除歧義的工具 致對(duì)邏輯持否定意見的讀者 乘車費(fèi)用問(wèn)題——兼顧完整性和排他性 車費(fèi)規(guī)則 命題及其真假 有沒有“遺漏” 有沒有“重復(fù)” 畫一根數(shù)軸輔助思考 注意邊界值 兼顧完整性和排他性 使用if語(yǔ)句分解問(wèn)題 邏輯的基本是兩個(gè)分支 建立復(fù)雜命題 邏輯非——不是A 邏輯與——A并且B 邏輯或——A或者B 異或——A或者B（但不都滿足） 相等——A和B等 蘊(yùn)涵——若A則B 囊括所有了嗎 德?摩根定律 德?摩根定律是什么 對(duì)偶性 卡諾圖 二燈游戲 首先借助邏輯表達(dá)式進(jìn)行思考 學(xué)習(xí)使用卡諾圖 三燈游戲 包含未定義的邏輯 帶條件的邏輯與（&&） 帶條件的邏輯或（||） 三值邏輯中的否定（！） 三值邏輯的德？摩根定律 囊括所有了嗎 本章小結(jié) 第3章 余數(shù)——周期性和分組 本章學(xué)習(xí)內(nèi)容 星期數(shù)的思考題（1） 思考題（100天以后是星期幾） 思考題答案 運(yùn)用余數(shù)思考 余數(shù)的力量——將較大的數(shù)字除一次就能分組 星期數(shù)的思考題（2） 思考題（10100天以后是星期幾） 提示：可以直接計(jì)算嗎 思考題答案 發(fā)現(xiàn)規(guī)律 直觀地把握規(guī)律 乘方的思考題 思考題（1234567987654321） 提示：通過(guò)試算找出規(guī)律 思考題答案 回顧：規(guī)律和余數(shù)的關(guān)系 通過(guò)黑白棋通信 思考題 提示 思考題答案 奇偶校驗(yàn) 奇偶校驗(yàn)位將數(shù)字分為兩個(gè)集合 尋找戀人的思考題 思考題（尋找戀人） 提示：先試算較小的數(shù) 思考題答案 回顧 鋪設(shè)草席的思考題 思考題（在房間里鋪設(shè)草席） 提示：先計(jì)算一下草席數(shù) 思考題答案 回顧 一筆畫的思考題 思考題（哥尼斯堡七橋問(wèn)題） 提示：試算一下 提示：考慮簡(jiǎn)化一下 提示：考慮入口和出口 思考題答案 奇偶校驗(yàn) 本章小結(jié) 第4章 數(shù)學(xué)歸納法——如何征服無(wú)窮數(shù)列 本章學(xué)習(xí)內(nèi)容 高斯求和 思考題（存錢罐里的錢） 思考一下 小高斯的解答 討論一下小高斯的解答 歸納 數(shù)學(xué)歸納法——如何征服無(wú)窮數(shù)列 0以上的整數(shù)的斷言 高斯的斷言 什么是數(shù)學(xué)歸納法 試著征服無(wú)窮數(shù)列 用數(shù)學(xué)歸納法證明高斯的斷言 求出奇數(shù)的和——數(shù)學(xué)歸納法實(shí)例 奇數(shù)的和 通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法證明 圖形化說(shuō)明 黑白棋思考題——錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)歸納法 思考題（黑白棋子的顏色） 提示：不要為圖所惑 思考題答案 編程和數(shù)學(xué)歸納法 通過(guò)循環(huán)表示數(shù)學(xué)歸納法 循環(huán)不變式 本章小結(jié) 第5章 排列組合——解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的方法 本章學(xué)習(xí)內(nèi)容 計(jì)數(shù)——與整數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系 何謂計(jì)數(shù) 注意“遺漏”和“重復(fù)” 植樹問(wèn)題——不要忘記0 植樹問(wèn)題思考題 加法法則 加法法則 乘法法則 乘法法則 置換 置換 歸納一下 思考題（撲克牌的擺法） 排列 排列 歸納一下 樹形圖——能夠認(rèn)清本質(zhì)嗎 組合 組合 歸納一下 置換、排列、組合的關(guān)系 思考題練習(xí) 重復(fù)組合 也要善于運(yùn)用邏輯 本章小結(jié) 第6章 遞歸——自己定義自己 本章學(xué)習(xí)內(nèi)容 漢諾塔 思考題（漢諾塔） 提示：先從小漢諾塔著手 思考題答案 求出解析式 解出漢諾塔的程序 找出遞歸結(jié)構(gòu) 再談階乘 階乘的遞歸定義 思考題（和的定義） 遞歸和歸納 斐波那契數(shù)列 思考題（不斷繁殖的動(dòng)物） 斐波那契數(shù)列 帕斯卡三角形 什么是帕斯卡三角形 遞歸定義組合數(shù) 組合的數(shù)學(xué)理論解釋 遞歸圖形 以遞歸形式畫樹 實(shí)際作圖 謝爾平斯基三角形 本章小結(jié) 第7章 指數(shù)爆炸——如何解決復(fù)雜問(wèn)題 本章學(xué)習(xí)內(nèi)容 什么是指數(shù)爆炸 思考題（折紙問(wèn)題） 指數(shù)爆炸 倍數(shù)游戲——指數(shù)爆炸引發(fā)的難題 程序的設(shè)置選項(xiàng) 不能認(rèn)為是“有限的”就不假思索 二分法查找——利用指數(shù)爆炸進(jìn)行查找 尋找犯人的思考題 提示：先思考人數(shù)較少的情況 思考題答案 找出遞歸結(jié)構(gòu)以及遞推公式 二分法查找和指數(shù)爆炸 對(duì)數(shù)——掌握指數(shù)爆炸的工具 什么是對(duì)數(shù) 對(duì)數(shù)和乘方的關(guān)系 以2為底的對(duì)數(shù) 以2為底的對(duì)數(shù)練習(xí) 對(duì)數(shù)圖表 指數(shù)法則和對(duì)數(shù) 對(duì)數(shù)和計(jì)算尺 密碼——利用指數(shù)爆炸加密 暴力破解法 字長(zhǎng)和安全性的關(guān)系 如何處理指數(shù)爆炸 理解問(wèn)題空間的大小 四種處理方法 本章小結(jié) 第8章 不可解問(wèn)題——不可解的數(shù)、無(wú)法編寫的程序 本章學(xué)習(xí)內(nèi)容 反證法 什么是反證法 質(zhì)數(shù)思考題 反證法的注意事項(xiàng) 可數(shù) 什么是可數(shù) 可數(shù)集合的例子 有沒有不可數(shù)的集合 對(duì)角論證法 所有整數(shù)數(shù)列的集合是不可數(shù)的 所有實(shí)數(shù)的集合是不可數(shù)的 所有函數(shù)的集合也是不可數(shù)的 不可解問(wèn)題 什么是不可解問(wèn)題 存在不可解問(wèn)題 思考題 停機(jī)問(wèn)題 停機(jī) 處理程序的程序 什么是停機(jī)問(wèn)題 停機(jī)問(wèn)題的證明 寫給尚未理解的讀者 不可解問(wèn)題有很多 本章小結(jié) 第9章 什么是程序員的數(shù)學(xué)——總結(jié)篇 本章學(xué)習(xí)內(nèi)容 何為解決問(wèn)題 認(rèn)清模式，進(jìn)行抽象化 由不擅長(zhǎng)催生出的智慧 幻想法則 程序員的數(shù)學(xué)

章節(jié)摘錄

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編輯推薦

《程序員的數(shù)學(xué)》日本版重印14次，面向程序員介紹編程中常用的數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)初級(jí)程序員的數(shù)學(xué)思維，從基礎(chǔ)入手，引導(dǎo)讀者深入理解編程中的數(shù)學(xué)方法和思路，即使沒有編程知識(shí)也能看懂。　　《程序員的數(shù)學(xué)》適合程序設(shè)計(jì)人員以及編程和數(shù)學(xué)愛好者閱讀。

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