思考的樂趣

前言

　  序一　  我本不想寫這個(gè)序。因?yàn)橹蓝鄶?shù)人看書不愛看序言。特別是像本書這樣有趣的書，看了目錄就被吊起了胃口，性急的讀者肯定會(huì)直奔那最吸引眼球的章節(jié)，哪還有耐心看你的序言？　  話雖如此，我還是答應(yīng)了作者，同意寫這個(gè)序。一個(gè)中文系的青年學(xué)生如此喜歡數(shù)學(xué)，居然寫起數(shù)學(xué)科普來，而且寫得如此投入又如此精彩，使我無法拒絕?！? 書從日常生活說起，一開始就講概率論教你如何說謊。接下來談到失物、物價(jià)、健康、公平、密碼還有中文分詞，原來這么多問題都與數(shù)學(xué)有關(guān)！但有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，理解起來好像并不是很容易。一個(gè)消費(fèi)稅的問題，又是圖表曲線，又是均衡價(jià)格，立刻有了高深模樣。說到最后，道理很淺顯：向消費(fèi)者收稅，消費(fèi)意愿減少，商人的利潤(rùn)也就減少；向商人收稅，成本上漲，消費(fèi)者也就要多出錢。數(shù)學(xué)就是這樣，無論什么都能插進(jìn)去說說，而且千方百計(jì)把事情說個(gè)明白，力求返璞歸真?！? 如果你對(duì)生活中這些事無所謂，就從第二部分開始看吧。這里有“讓你立刻愛上數(shù)學(xué)的8個(gè)算術(shù)游戲”。作者口氣好大，區(qū)區(qū)5頁(yè)文字，能讓人立刻愛上數(shù)學(xué)？你看下去，就知道作者沒有騙你。這些算術(shù)游戲做起來十分簡(jiǎn)單卻又有趣，背后的奧秘又好像深不可測(cè)。8個(gè)游戲中有6個(gè)與數(shù)的十進(jìn)制有關(guān)，這給了你思考的空間和當(dāng)一回?cái)?shù)學(xué)家的機(jī)會(huì)。不妨想想做做，換成二進(jìn)制或八進(jìn)制，這些游戲又會(huì)如何？如果這幾個(gè)游戲勾起了探究數(shù)字奧秘的興趣，那就接著往下看，后面是一大串折磨人的長(zhǎng)期沒有解決的數(shù)學(xué)之謎。問題說起來很淺顯明白，學(xué)過算術(shù)就懂，可就是難以回答。到底有多難，誰(shuí)也不知道。也許明天就有人想到了一個(gè)巧妙的解答，這個(gè)人可能就是你；也許一萬年仍然是個(gè)懸案?！? 但是這一部分的主題不是數(shù)學(xué)之難，而是數(shù)學(xué)之美。這是數(shù)學(xué)文化中常說常新的話題，大家從各自不同的角度欣賞數(shù)學(xué)之美。陳省身出資兩萬設(shè)計(jì)出版了《數(shù)學(xué)之美》掛歷，十二幅畫中有一張是分形，是唯一在本書這一部分中出現(xiàn)的主題。這應(yīng)了作者的說法：“講數(shù)學(xué)之美，分形圖形是不可不講的。”喜愛分形圖的讀者不妨到網(wǎng)上搜索一下，在圖片庫(kù)里有豐富的彩色分形圖。一邊讀著本書，一邊欣賞神秘而驚人美麗的藝術(shù)作品，從理性和感性兩方面享受思考和觀察的樂趣吧。此外，書里還有不常見的信息，例如三角形居然有5000多顆心，我是第一次知道?？戳诉@一部分，馬上到網(wǎng)上看有關(guān)的網(wǎng)站，確實(shí)是開了眼界?！? 作者接下來介紹幾何。幾何內(nèi)容太豐富了，作者著重講了幾何作圖。從經(jīng)典的尺規(guī)作圖、有趣的單規(guī)作圖，到瘋狂的生銹圓規(guī)作圖、意外有效的火柴棒作圖，再到功能特強(qiáng)的折紙作圖和現(xiàn)代化機(jī)械化的連桿作圖，在幾何世界里我們做了一次心曠神怡的旅游。 原來小時(shí)候玩過的折紙剪紙，都能夠登上數(shù)學(xué)的大雅之堂了！最近看到《數(shù)學(xué)文化》月刊上有篇文章，說折紙技術(shù)可以用來解決有關(guān)太陽(yáng)能飛船、輪胎、血管支架等工業(yè)設(shè)計(jì)中的許多實(shí)際問題，真是不可思議。　  學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，會(huì)體驗(yàn)到三種感覺?！? 一種是思想解放的感覺。從小學(xué)里學(xué)習(xí)加減乘除開始，就不斷地突破清規(guī)戒律。兩個(gè)整數(shù)相除可能除不盡，引進(jìn)分?jǐn)?shù)就除盡了；兩個(gè)數(shù)相減可能不夠減，引進(jìn)負(fù)數(shù)就能夠相減了；負(fù)數(shù)不能開平方，引進(jìn)虛數(shù)就開出來了。很多現(xiàn)象是不確定的，引進(jìn)概率就有規(guī)律了。瀏覽本書過程中，心底常常升起數(shù)學(xué)無禁區(qū)的感覺。說謊問題，定價(jià)問題，語(yǔ)文句子分析問題，都可以成為數(shù)學(xué)問題；擺火柴棒，折紙，剪拼，皆可成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)術(shù)。好像在數(shù)學(xué)里沒有什么問題不能討論，在世界上沒有什么事情不能提煉出數(shù)學(xué)?！? 一種是智慧和力量增長(zhǎng)的感覺。小學(xué)里使人焦頭爛額的四則應(yīng)用題，一旦學(xué)會(huì)方程，做起來輕松愉快，摧枯拉朽地就解決了。曾經(jīng)使許多飽學(xué)之士百思不解的曲線切線或面積計(jì)算問題，一旦學(xué)了微積分，即使讓普通人做起來也是小菜一碟。有時(shí)僅僅讀一個(gè)小時(shí)甚至十幾分鐘，就能感受到自己智慧和力量的增長(zhǎng)。十幾分鐘之前還是一頭霧水，十幾分鐘之后豁然開朗。讀本書的第四部分時(shí)，這種智慧和力量增長(zhǎng)的感覺特別明顯。作者把精心選擇的巧妙的數(shù)學(xué)證明，一個(gè)接一個(gè)地拋出來，讓讀者反復(fù)體驗(yàn)智慧和力量增長(zhǎng)的感覺。這里有小題目也有大題目，不管是大題還是小題，解法常能令人拍案叫絕。在解答一個(gè)小問題之前作者說：“看了這個(gè)證明后，你一定會(huì)覺得自己笨死了。”能感到自己之前笨，當(dāng)然是因?yàn)橹腔墼鲩L(zhǎng)了！　  一種是心靈震撼的感覺。小時(shí)候讀到棋盤格上放大米的數(shù)學(xué)故事，就感到震撼，原來264-1是這樣大的數(shù)！在細(xì)細(xì)閱讀本書第五部分時(shí)，讀者可能一次一次地被數(shù)學(xué)思維的深遠(yuǎn)宏偉所震撼。一個(gè)看似簡(jiǎn)單的數(shù)字染色問題，推理中運(yùn)用的數(shù)字遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過佛經(jīng)里的“恒河沙數(shù)”，以至于數(shù)字僅僅是數(shù)字而無實(shí)際意義！接下去，數(shù)學(xué)家考慮的“所有的命題”和“所有的算法”就不再是有窮個(gè)對(duì)象。而對(duì)于無窮多的對(duì)象，數(shù)學(xué)家依然從容地處理之，該是什么就是什么。自然數(shù)已經(jīng)是無窮多了，有沒有更大的無窮？開始總會(huì)覺得有理數(shù)更多。但錯(cuò)了，數(shù)學(xué)的推理很快證明，密密麻麻的有理數(shù)不過和自然數(shù)一樣多。有理數(shù)都是整系數(shù)一次方程的根，也許加上整系數(shù)2次方程的根，整系數(shù)3次方程的根等等，也就是所謂代數(shù)數(shù)就會(huì)比自然數(shù)多了吧？這里有大量的無理數(shù)呢！結(jié)果又錯(cuò)了。代數(shù)數(shù)看似聲勢(shì)浩大，仍不過和自然數(shù)一樣多。這時(shí)會(huì)想所有的無窮都一樣多吧，但又錯(cuò)了。簡(jiǎn)單而巧妙的數(shù)學(xué)推理得到很多人至今不肯接受的結(jié)論：實(shí)數(shù)比自然數(shù)多！這是偉大的德國(guó)數(shù)學(xué)家康托的代表性成果。　  說這個(gè)結(jié)論很多人至今不肯接受是有事實(shí)根據(jù)的?？茖W(xué)出版社去年出了一本書名為《統(tǒng)一無窮理論》，該書作者主張無窮只有一個(gè)，不贊成實(shí)數(shù)比自然數(shù)多，希望建立新的關(guān)于無窮的理論。他的努力受到一些研究數(shù)理哲學(xué)的學(xué)者的支持，可惜目前還不能自圓其說。我不知道有哪位數(shù)學(xué)家支持“統(tǒng)一無窮理論”，但反對(duì)“實(shí)數(shù)比自然數(shù)多”的數(shù)學(xué)家歷史上是有過的。康托的老師克羅內(nèi)克激烈地反對(duì)康托的理論，以致康托得了終身不愈的精神病。另一位大數(shù)學(xué)家布勞威爾發(fā)展了構(gòu)造性數(shù)學(xué)，這種數(shù)學(xué)中不承認(rèn)無窮集合，只承認(rèn)可構(gòu)造的數(shù)學(xué)對(duì)象。只承認(rèn)構(gòu)造性的證明而不承認(rèn)排中律，也就不承認(rèn)反證法。而康托證明“實(shí)數(shù)比自然數(shù)多”用的就是反證法。盡管絕大多數(shù)的數(shù)學(xué)家不肯放棄無窮集合概念，也不肯放棄排中律，但布勞威爾的構(gòu)造性數(shù)學(xué)也被承認(rèn)是一個(gè)數(shù)學(xué)分支，并在計(jì)算機(jī)科學(xué)中發(fā)揮重要作用?！? 平心而論，在現(xiàn)實(shí)世界確實(shí)沒有無窮。既沒有無窮大也沒有無窮小。無窮大和無窮小都是人們智慧的創(chuàng)造物。有了無窮的概念，數(shù)學(xué)家能夠更方便地解決或描述僅僅涉及有窮的問題。數(shù)學(xué)能夠思考無窮，而且能夠得出一系列令人信服的結(jié)論，這是人類精神的勝利。但是，對(duì)無窮的思考、描述和推理，歸根結(jié)底只能通過語(yǔ)言和文字符號(hào)來進(jìn)行。也就是說，我們關(guān)于無窮的思考，歸根結(jié)底是有窮個(gè)符號(hào)排列組合所表達(dá)出來的規(guī)律。這樣看，構(gòu)造數(shù)學(xué)即使不承認(rèn)無窮，也仍然能夠研究有關(guān)無窮的文字符號(hào)，也就能夠研究有關(guān)無窮的理論。因?yàn)橛嘘P(guān)無窮的理論表達(dá)為文字符號(hào)之后，也就成為有窮的可構(gòu)造的對(duì)象了?！? 話說遠(yuǎn)了，回到本書。本書一大特色，是力圖把道理說明白。作者總是用自己的語(yǔ)言來闡述數(shù)學(xué)結(jié)論產(chǎn)生的來龍去脈，在關(guān)鍵之處還不忘給出飽含激情的特別提醒。數(shù)學(xué)的美與數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)是分不開的。數(shù)學(xué)的真趣在于思考。不少數(shù)學(xué)科普，甚至國(guó)外有些大家的作品，說到較為復(fù)雜深刻的數(shù)學(xué)成果，常常不肯花力氣講清楚其中的道理，可能認(rèn)為講了讀者也不會(huì)看，是費(fèi)力不討好。本書講了不少相當(dāng)深刻的數(shù)學(xué)工作，其推理過程有時(shí)曲折迂回，作者總是不畏艱難，一板一眼地力圖說清楚，認(rèn)真實(shí)踐著古人“誨人不倦”的遺訓(xùn)。這個(gè)特點(diǎn)使本書能夠成為不少讀者案頭床邊的常備讀物，有空看看，常能有新的思考，有更深的理解和收獲?！? 信筆寫來，已經(jīng)有好幾頁(yè)了。即使讀者有興趣看序言，也該去看書中更有趣的內(nèi)容并開始思考了吧。就此打住。祝愿作者精益求精，根據(jù)讀者反映和自己的思考發(fā)展不斷豐富改進(jìn)本書；更希望早日有新作問世?！? 2012年4月29日

內(nèi)容概要

　　本書內(nèi)容大多是從作者6年多以來積累的上千篇博客中節(jié)選而來的，分為“生活中的數(shù)學(xué)”、“數(shù)學(xué)之美”、“幾何的大廈”、“精妙的證明”和“思維的尺度”五部分。書中基本不涉及高深的數(shù)學(xué)理論，但是內(nèi)容新穎、時(shí)尚，既有與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系緊密的應(yīng)用型話題，又有打通幾何、代數(shù)聯(lián)系的富有啟發(fā)性的討論，還間或介紹了一些著名數(shù)學(xué)難題的最新研究進(jìn)展，信息十分豐富。
　　本書是廣大數(shù)學(xué)愛好者的美味佳肴，只要具備簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)基礎(chǔ)即能閱讀。

作者簡(jiǎn)介

顧森，網(wǎng)名Matrix67，北京大學(xué)中文系應(yīng)用語(yǔ)言學(xué)專業(yè)學(xué)生，數(shù)學(xué)愛好者。2005年開辦數(shù)學(xué)博http://www.matrix67.com，至今已積累上千篇文章，已有上萬人訂閱。長(zhǎng)期為各類科普雜志供稿，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育工作多年。

書籍目錄

第一部分　生活中的數(shù)學(xué)　1
1. 概率論教你說謊　2
2. 找東西背后的概率問題　5
3. 設(shè)計(jì)調(diào)查問卷的藝術(shù)　7
4. 統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的陷阱　9
5. 為什么人們往往不愿意承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)？　13
6. 消費(fèi)者承擔(dān)消費(fèi)稅真的吃虧了嗎？　15
7. 價(jià)格里的陰謀　19
8. 公用品的悲劇　30
9. 密碼學(xué)與協(xié)議　34
10. 公平分割問題　44
11. 中文自動(dòng)分詞算法　49
第二部分　數(shù)學(xué)之美　55
12. 讓你立刻愛上數(shù)學(xué)的8個(gè)算術(shù)游戲　56
13. 最折磨人的數(shù)學(xué)未解之謎　61
14. 那些神秘的數(shù)學(xué)常數(shù)　76
15. 奇妙的心電圖數(shù)列　84
16. 不可思議的分形圖形　88
17. 幾何之美：三角形的心　100
18. 數(shù)學(xué)之外的美麗：幸福結(jié)局問題　108
第三部分　幾何的大廈　111
19. 尺規(guī)作圖問題　112
20. 單規(guī)作圖的力量　123
21. 銹規(guī)作圖也瘋狂　130
22. 火柴棒搭成的幾何世界　134
23. 折紙的學(xué)問　141
24. 萬能的連桿系統(tǒng)　147
25. 探索圖形剪拼　153
第四部分　精妙的證明　159
26. 我最愛的一個(gè)證明　160
27. 把輔助線作到空間中去的平面幾何問題　162
28. 小合集(一)：幾何問題　169
29. 皮克定理的另類證法和出人意料的應(yīng)用　179
30. 歐拉公式的另類證法和出人意料的應(yīng)用　185
31. 定寬曲線與蒲豐投針實(shí)驗(yàn)　192
32. 來自不同領(lǐng)域的證明　196
33. 平分面積的直線　203
34. 小合集(二)：圖形證明　205
35. 生成函數(shù)的妙用　212
36. 利用賭博求解數(shù)學(xué)問題　215
37. 非構(gòu)造性證明　217
38. 小合集(三)：數(shù)字問題　220
第五部分　思維的尺度　223
39. 史詩(shī)般壯觀的數(shù)學(xué)證明　224
40. 停機(jī)問題與“萬能證明方法”　227
41. 奇怪的函數(shù)(一)　232
42. 比無窮更大的無窮　234
43. 奇怪的函數(shù)(二)　243
44. 塔珀自我指涉公式　246
45. 俄羅斯方塊可以永無止境地玩下去嗎？　249
46. 無以言表的大數(shù)：古德斯坦數(shù)列　254
47. 乘法之后是乘方，乘方之后是什么？　256
48. 不同維度的對(duì)話：帶你進(jìn)入四維世界　260

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁(yè)：   插圖：   心電圖數(shù)列有很多有趣的性質(zhì)。例如，考慮某個(gè)質(zhì)數(shù)p，假設(shè)數(shù)列中第一個(gè)含有質(zhì)因數(shù)p的數(shù)是t·p。根據(jù)定義，t·p和它的前一項(xiàng)有一個(gè)公因數(shù)。顯然這個(gè)公因數(shù)不可能是p，因?yàn)閠·p才是質(zhì)因數(shù)p在數(shù)列中首次出現(xiàn)的地方；因而，這個(gè)公因數(shù)只能是t或者t的因數(shù)。由于t·p滿足最小性，因此我們可以進(jìn)一步得出，t是t·p前一項(xiàng)的最小質(zhì)因數(shù)。我們還可以推算出t·p的后一項(xiàng)。t·p的后一項(xiàng)要么就是p，要么就是某個(gè)比p小的t的倍數(shù)。但后者是不可能的，如果存在某個(gè)f的倍數(shù)比P小而之前又沒出現(xiàn)過，那t·p這一項(xiàng)本身就不會(huì)是t·p了，而將由這個(gè)t的倍數(shù)取代。因此，t·p的后一項(xiàng)一定是p。我們還可以看出，只要t≠2，這個(gè)p的后一項(xiàng)就一定是2p；而當(dāng)t=2時(shí)，p的后一項(xiàng)就只能是3p了。也就是說，如果數(shù)列中出現(xiàn)了一個(gè)質(zhì)數(shù)p，那么2p不是它的前一項(xiàng)就一定是它的后一項(xiàng)。 有意思的是，除了p=2以外，目前我們還沒有找到2p出現(xiàn)在P后面的情況。換句話說，人們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于數(shù)列中的每個(gè)奇質(zhì)數(shù)p，它的前一項(xiàng)無一例外地都是2p，并且后一項(xiàng)總是跟著3p。證明或推翻這個(gè)猜想并不容易，直到最近幾年才出現(xiàn)有關(guān)它的證明。很大程度上來說，這是整個(gè)數(shù)列呈心電圖模樣的最關(guān)鍵原因。 心電圖數(shù)列有一個(gè)很漂亮的數(shù)學(xué)事實(shí)：所有的自然數(shù)都出現(xiàn)在了這個(gè)數(shù)列中。由這個(gè)數(shù)列的定義，每個(gè)數(shù)最多也只能出現(xiàn)一次。因此，心電圖數(shù)列是全體自然數(shù)的一個(gè)排列。這個(gè)結(jié)論的證明堪稱經(jīng)典。首先我們證明引理1：如果數(shù)列中有無窮多項(xiàng)都是某個(gè)質(zhì)數(shù)p的倍數(shù)，那么p的任意一個(gè)倍數(shù)都出現(xiàn)在了數(shù)列中。證明的基本思路是反證。無妨假定k·p是最小的不在數(shù)列中的p的倍數(shù)，那么我們總能找到一個(gè)充分大的Ⅳ，使得從第Ⅳ項(xiàng)開始所有數(shù)都不小于k·p。然而數(shù)列中有無窮多項(xiàng)都是P的倍數(shù)，因此在第N項(xiàng)后面一定能找到一個(gè)p的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)的下一項(xiàng)就只可能是k·p了，矛盾。 我們可以故技重施，繼續(xù)證明引理2：如果某個(gè)質(zhì)數(shù)p的任意一個(gè)倍數(shù)都出現(xiàn)在了數(shù)列中，那么所有正整數(shù)都出現(xiàn)在了數(shù)列中。反證，假設(shè)尼是最小的不在數(shù)列中的數(shù)，我們總能找到一個(gè)充分大的N，使得從第N項(xiàng)起后面的所有數(shù)都不小于k。由于質(zhì)數(shù)p的任一倍數(shù)都在數(shù)列里，因此k·p的任一倍數(shù)都在數(shù)列里，即數(shù)列中有無窮多項(xiàng)都是k的倍數(shù)。那么，第Ⅳ項(xiàng)之后一定存在一個(gè)k的倍數(shù)，它的下一項(xiàng)就只可能是k了，矛盾。

媒體關(guān)注與評(píng)論

　  本書一大特色，是力圖把道理說明白。作者總是用自己的語(yǔ)言來闡述數(shù)學(xué)結(jié)論產(chǎn)生的來龍去脈，在關(guān)鍵之處還不忘給出飽含激情的特別提醒。數(shù)學(xué)的美與數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)是分不開的。數(shù)學(xué)的真趣在于思考……本書講了不少相當(dāng)深刻的數(shù)學(xué)工作，其推理過程有時(shí)曲折迂回，作者總是不畏艱難，一板一眼地力圖說清楚，認(rèn)真實(shí)踐著古人“誨人不倦”的遺訓(xùn)。這個(gè)特點(diǎn)使本書能夠成為不少讀者案頭床邊的常備讀物，有空看看，常能有新的思考，有更深的理解和收獲。　  ——張景中，中國(guó)科學(xué)院院士　  事實(shí)上顧森的每篇文章都在向讀者展示數(shù)學(xué)確實(shí)好玩。數(shù)學(xué)好玩這個(gè)命題不僅對(duì)懂得數(shù)學(xué)奧妙的數(shù)學(xué)大師成立，對(duì)于廣大數(shù)學(xué)愛好者同樣成立。　  ——湯濤，《數(shù)學(xué)文化》期刊聯(lián)合主編，香港浸會(huì)大學(xué)數(shù)學(xué)講座教授

編輯推薦

《思考的樂趣》是北大高材生，科普界名人顧森力作，他用簡(jiǎn)單詼諧的語(yǔ)言烹飪數(shù)學(xué)佳肴，書中涵蓋富有啟發(fā)性的討論，沒有高深的理論，只有思考的樂趣。

名人推薦

本書一大特色，是力圖把道理說明白。作者總是用自己的語(yǔ)言來闡述數(shù)學(xué)結(jié)論產(chǎn)生的來龍去脈，在關(guān)鍵之處還不忘給出飽含激情的特別提醒。數(shù)學(xué)的美與數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)是分不開的。數(shù)學(xué)的真趣在于思考……本書講了不少相當(dāng)深刻的數(shù)學(xué)工作，其推理過程有時(shí)曲折迂回，作者總是不畏艱難，一板一眼地力圖說清楚，認(rèn)真實(shí)踐著古人“誨人不倦”的遺訓(xùn)。這個(gè)特點(diǎn)使本書能夠成為不少讀者案頭床邊的常備讀物，有空看看，常能有新的思考，有更深的理解和收獲。 ——張景中，中國(guó)科學(xué)院院士 事實(shí)上顧森的每篇文章都在向讀者展示數(shù)學(xué)確實(shí)好玩。數(shù)學(xué)好玩這個(gè)命題不僅對(duì)懂得數(shù)學(xué)奧妙的數(shù)學(xué)大師成立，對(duì)于廣大數(shù)學(xué)愛好者同樣成立。 ——湯濤，《數(shù)學(xué)文化》期刊聯(lián)合主編，香港浸會(huì)大學(xué)數(shù)學(xué)講座教授

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