三角之美

前言

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，可能沒(méi)有其他分支學(xué)科能像三角學(xué)一樣始終占據(jù)著中心位置?！詹乇緯?shū)既不是一本三角學(xué)的教材（這類(lèi)書(shū)已經(jīng)有很多了），也不是一本全面闡述三角學(xué)歷史的書(shū)（盡管目前還沒(méi)有這樣的書(shū)）。這本書(shū)只是嘗試從歷史的發(fā)展角度，向人們呈現(xiàn)一些精選出來(lái)的三角學(xué)方面的課題，并展示三角學(xué)與其他自然科學(xué)的聯(lián)系。選擇這個(gè)主題，不僅出于我對(duì)三角學(xué)的喜愛(ài)，而且還出于我對(duì)該學(xué)科在大學(xué)中的授課方式深深的失望。首先談一下我對(duì)三角學(xué)的熱愛(ài)。在初中的時(shí)候，我有幸遇到了一位很優(yōu)秀的老師，他年輕且精力充沛，教我們數(shù)學(xué)和物理。他是一位嚴(yán)肅認(rèn)真、要求非?？量痰睦蠋?，不能容忍上課遲到或者缺考現(xiàn)象。（你最好保證你不會(huì)這樣做，否則這些不良記錄都會(huì)在你的成績(jī)單上得以體現(xiàn)。）如果你沒(méi)有完成家庭作業(yè)或者某次測(cè)驗(yàn)的成績(jī)很糟糕，那么就更傷腦筋了。我們個(gè)個(gè)都怕他，挨訓(xùn)時(shí)會(huì)嚇得發(fā)抖，生怕他通知我們的父母。然而，我們都很尊敬他，他成為了我們?cè)S多人的榜樣。更為重要的是，他給我們展現(xiàn)了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，特別是與物理學(xué)的聯(lián)系。因此，我們自然而然地學(xué)到了大量的三角學(xué)知識(shí)。多年以來(lái)我和他一直保持通信，并且后來(lái)又見(jiàn)過(guò)幾次面。他非常固執(zhí)己見(jiàn)，不論你談起什么話題（數(shù)學(xué)或其他學(xué)科），他總會(huì)和你爭(zhēng)辯，并且通常都會(huì)讓你啞口無(wú)言。在我大學(xué)畢業(yè)后的很多年里，我一直都認(rèn)為他依然是我的老師。他父母在二戰(zhàn)前從歐洲輾轉(zhuǎn)到中國(guó)躲避戰(zhàn)亂，他出生在中國(guó)，后來(lái)隨父母移民到以色列，進(jìn)入耶路撒冷的希伯來(lái)大學(xué)學(xué)習(xí)，隨后在第一次中東戰(zhàn)爭(zhēng)期間應(yīng)招入伍。后來(lái)他在特拉維夫大學(xué)任教，并被授予終身教職（他是全校獲此殊榮的兩位教師之一），盡管他沒(méi)有博士學(xué)位。1989年，他正在講授每周都有的數(shù)學(xué)歷史課時(shí)，突然倒下，就這樣與世長(zhǎng)辭了。他就是伊利歐索夫。我非常想念他?，F(xiàn)在談些讓我失望的事情吧。20世紀(jì)50年代后期，隨著前蘇聯(lián)在太空領(lǐng)域的勝利——史波尼克一號(hào)衛(wèi)星在1957年10月4日成功發(fā)射，我記得這個(gè)日子，因?yàn)槟翘煺檬俏?0歲的生日——對(duì)整個(gè)教育體系改革，特別是對(duì)自然科學(xué)教育改革的呼聲隨之高漲。人們紛紛提出新的想法和計(jì)劃，旨在縮小與前蘇聯(lián)之間表面上的科技差距（盡管也有些人勇敢地質(zhì)疑這種差距是否真的存在，但是在這種大眾的狂熱中人們對(duì)這些聲音置之不理）。這些年是美國(guó)自然科學(xué)教育的黃金年代。如果你對(duì)如何教授一門(mén)學(xué)科有一個(gè)創(chuàng)新的想法（甚至只是一個(gè)粗淺的想法），那么幾乎可以保證你能申請(qǐng)到一筆經(jīng)費(fèi)開(kāi)展工作。因此，所謂的“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動(dòng)誕生了，“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動(dòng)的目的在于使學(xué)生們理解他們所學(xué)的知識(shí)，而不是像前面幾代人一樣，只是采取機(jī)械學(xué)習(xí)和死記硬背的方式。我們花費(fèi)了大量的時(shí)間和經(jīng)費(fèi)來(lái)發(fā)展新的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，這些方法強(qiáng)調(diào)抽象的概念，比如集合論、函數(shù)（定義為有序?qū)Φ募希┮约靶问竭壿?。人們行色匆匆地組織研討班、學(xué)術(shù)研討會(huì)，開(kāi)發(fā)新課程以及新教材。成百上千的教育工作者開(kāi)始致力于向困惑不解的廣大教師和家長(zhǎng)傳授這些新的理念，更有一些人開(kāi)始周游世界向發(fā)展中國(guó)家傳播這些新的主張，有些發(fā)展中國(guó)家的大部分民眾連大字都還不識(shí)幾個(gè)。如今，40年過(guò)后，大多數(shù)教育工作者認(rèn)為“新數(shù)學(xué)”弊大于利。我們的學(xué)生可能學(xué)習(xí)到集合論的語(yǔ)言和符號(hào)，但是當(dāng)他們遇到最簡(jiǎn)單的數(shù)值計(jì)算時(shí)卻容易出錯(cuò)，無(wú)論他們有沒(méi)有用計(jì)算器。因此，許多高中畢業(yè)生缺少基本的運(yùn)算技能，結(jié)果他們中大約一半的人在初進(jìn)大學(xué)后的微積分水平考試中不及格。學(xué)院和大學(xué)投入了巨大的資源開(kāi)展補(bǔ)救項(xiàng)目，而且為了更易于為大家所接受，他們給這些項(xiàng)目起了一些委婉的名字，如“發(fā)展計(jì)劃”或者“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”，但收效并不顯著。幾何學(xué)和三角學(xué)就是在“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動(dòng)中的兩門(mén)課程。作為在自然科學(xué)和工程學(xué)中都至關(guān)重要的一門(mén)學(xué)科，三角學(xué)首當(dāng)其沖成為變革的犧牲者。打著數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)钠焯?hào)，形式化的定義和冗長(zhǎng)的邏輯推導(dǎo)取代了對(duì)三角學(xué)的真正理解。人們不再談?wù)摻牵墙堑亩攘?；不再討論在幾何環(huán)境中定義正弦和余弦函數(shù)（三角形中兩條邊的比率，或者單位圓在x軸和y軸上的投影），而是談?wù)撝鴱膶?shí)數(shù)到區(qū)間［?1, 1］上的函數(shù)。集合符號(hào)和語(yǔ)言已經(jīng)遍及所有的討論，釀成的后果就是一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的學(xué)科被毫無(wú)意義的形式主義搞得晦澀難懂。更糟糕的是，由于眾多的高中畢業(yè)生缺乏基本的運(yùn)算技能，典型三角學(xué)教材的水準(zhǔn)和深度正在日益下降。示例和練習(xí)題通常都是最簡(jiǎn)單和最常規(guī)的類(lèi)型，只需要記住一些基本的公式即可解決所有的運(yùn)算。諸如代數(shù)學(xué)中大家熟知的“文字題”，多數(shù)都枯燥無(wú)味，無(wú)法引起興趣，只會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生一種“不以為然”的感覺(jué)。學(xué)生們很少有機(jī)會(huì)去處理真正具有挑戰(zhàn)性的，并足以帶給他們成就感的恒等式。下面舉兩個(gè)例子。1. 證明：對(duì)任意數(shù)x，這個(gè)公式是歐拉首先發(fā)現(xiàn)的。令x= ，利用 ，并重復(fù)使用余弦函數(shù)的半角公式，我們就可以得到如下優(yōu)美的公式：數(shù)學(xué)家韋達(dá)1593年用純幾何的方法發(fā)現(xiàn)了這個(gè)公式。2. 證明在任意三角形中，（最后一個(gè)公式具有一些意想不到的重要意義，我們將會(huì)在第12章進(jìn)行討論。）這些公式由于它們的對(duì)稱(chēng)性而引人注目，你甚至可以說(shuō)它們“漂亮”（對(duì)于一門(mén)以枯燥和專(zhuān)業(yè)性著稱(chēng)的學(xué)科來(lái)說(shuō)，這個(gè)詞是它少有的榮譽(yù)）。在附錄C，我收集了另外一些漂亮的公式，當(dāng)然“漂亮”的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)相當(dāng)主觀?？死啄凇冬F(xiàn)代數(shù)學(xué)的本質(zhì)與發(fā)展》（The Nature and Growth of Modern Mathematics）一書(shū)中提到：“有些學(xué)生認(rèn)為，三角學(xué)是將折磨人的計(jì)算美化了的幾何學(xué)?！北緯?shū)將試圖消除這種印象。我采用歷史發(fā)展的觀點(diǎn)來(lái)編寫(xiě)這本書(shū)，部分原因是我認(rèn)為這對(duì)學(xué)生喜愛(ài)數(shù)學(xué)（或者廣泛的自然科學(xué)）大有幫助。然而，我沒(méi)有嚴(yán)格按照歷史時(shí)間順序來(lái)選擇題材，而是根據(jù)它們美學(xué)上的感染力或者與其他科學(xué)的相關(guān)性來(lái)選擇。當(dāng)然，對(duì)這些題材的選擇在很大程度上只反映了我自己的偏好，可選的題材其實(shí)還有很多。閱讀前9章只需要用到基本的代數(shù)學(xué)和三角學(xué)知識(shí)即可，其他章節(jié)則要依賴(lài)一些初級(jí)微積分的知識(shí)（不超過(guò)微積分II的程度）。書(shū)中內(nèi)容對(duì)高中生和大學(xué)生來(lái)說(shuō)是很容易理解的。由于我很清楚這本書(shū)的讀者群，因此我把討論的重點(diǎn)限制在平面三角學(xué)，不涉及球面三角學(xué)。（盡管從歷史的角度上看，后者首先主宰著這門(mén)學(xué)科。）另外，我把一些額外的歷史資料（多為人物傳記）獨(dú)立放在8個(gè)章后的“輔助章節(jié)”里，供讀者參考。即使只有幾個(gè)讀者從這些內(nèi)容中受到啟發(fā)，我的付出也就值得了。非常感謝我的兒子伊亞，他繪制了書(shū)中的所有插圖；非常感謝賓夕法尼亞州阿蘭頓市穆冷博格學(xué)院的威廉·鄧漢姆和新罕布什爾大學(xué)的保羅· J. 納寧，他們非常認(rèn)真地閱讀了我的初稿；非常感謝普林斯頓大學(xué)出版社的工作人員，他們一絲不茍地完成了該書(shū)的出版工作；非常感謝斯科基公共圖書(shū)館的工作人員，他們極力地幫助我找到了一些珍貴的和絕版的資源；最后，特別感謝我親愛(ài)的妻子Dalia，她始終如一地支持我完成這本書(shū)。沒(méi)有他們的幫助，這本書(shū)將永遠(yuǎn)不可能問(wèn)世。說(shuō)明：本書(shū)經(jīng)常引用《科學(xué)傳記辭典》（Dictionary of Scientific Biography，共16卷，Charles Coulston Gillispie編）。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，本書(shū)在提到該辭典時(shí)將使用其英文簡(jiǎn)寫(xiě)DSB。 1997年2月20日于伊利諾伊州斯科基

內(nèi)容概要

　　本書(shū)由古埃及應(yīng)用測(cè)量的發(fā)端展開(kāi)，將讀者首先帶到六個(gè)三角函數(shù)中。書(shū)中的篇章宛如一個(gè)個(gè)引人入勝的小故事，將歷史、趣聞、應(yīng)用和理論融入到了迷人的故事情節(jié)當(dāng)中。全書(shū)共15章，涵蓋了三角學(xué)的精華部分，此外還包含6個(gè)翔實(shí)的小傳記，為讀者感受三角之美提供了難得一見(jiàn)的珍貴資料。

作者簡(jiǎn)介

作者：（以色列）馬奧爾（Eil Maor） 譯者：曹雪林 邊曉娜Eli Maor知名科普作家，以色列理工學(xué)院博士，曾在芝加哥洛約拉大學(xué)教授數(shù)學(xué)史課程。著有暢銷(xiāo)書(shū)《e的故事：一個(gè)常數(shù)的傳奇》、《勾股定理：悠悠4000年的故事》、《無(wú)窮之旅：關(guān)于無(wú)窮大的文化史》等。在各國(guó)期刊上發(fā)表過(guò)大量論文，涉及應(yīng)用數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育等領(lǐng)域。

書(shū)籍目錄

開(kāi)篇語(yǔ)　書(shū)吏阿梅斯，公元前1650年　　古埃及的數(shù)學(xué)娛樂(lè)　第1章　角　第2章　弦　　普林頓322：最早的三角函數(shù)表　第3章　六個(gè)函數(shù)的發(fā)展　　雷吉奧蒙塔努斯　第4章　解析三角學(xué)的出現(xiàn)　　韋達(dá)　第5章　測(cè)量天空和地球　　棣莫弗　第6章　幾何中的兩個(gè)定理　第7章　外擺線與內(nèi)擺線　　瑪利亞·阿涅西和她的“女巫”　第8章　高斯的啟示　第9章　芝諾的遺憾　第10章　(sinx)/x　第11章　非凡的公式　　利薩如和他的圖形　第12章　tanx　第13章　地圖制作者的天堂　第14章　sinx=2：復(fù)三角學(xué)　　蘭道：優(yōu)秀的嚴(yán)謹(jǐn)主義者　第15章　傅里葉定理　附錄A　舊觀念古為今用　附錄B　巴羅的secΦ積分　附錄C　三角公式精華　附錄D　sinα的一些特殊值　參考文獻(xiàn)　

章節(jié)摘錄

插圖：歐洲其他各國(guó)紛紛仿效法國(guó)的測(cè)地工作，到19世紀(jì)中葉，歐洲大陸大部分地區(qū)都完成了三角形測(cè)量及制圖的工作。這項(xiàng)工作接著轉(zhuǎn)移到了印度（大英帝國(guó)皇冠上的明珠），這是一項(xiàng)龐大的三角測(cè)量工程，被稱(chēng)作“大三角測(cè)量”，從1800年開(kāi)始，一直到1913年才完成。這項(xiàng)由東印度公司（當(dāng)時(shí)最大的商業(yè)集團(tuán)，本部設(shè)在倫敦，是印度實(shí)質(zhì)的統(tǒng)治者）贊助的測(cè)量工作，南起孟加拉灣西南海岸的馬德拉斯（Madras）一帶，北至遙遠(yuǎn)的喜馬拉雅山。萊姆頓（William Lambton，1753-1823）上尉從1802年開(kāi)始，一直到其過(guò)世為止，一直主掌著整個(gè)測(cè)量工作，他決心做到前所未有的精度。他那巨大的經(jīng)緯儀重達(dá)半噸，是根據(jù)他的要求在倫敦特制的，在用船運(yùn)往印度的途中還曾遭到法國(guó)軍艦的攔截。有一次，這個(gè)大得古怪的儀器被提升到坦焦?fàn)柎髲R的屋頂上，以便于測(cè)量人員能夠看清楚整片區(qū)域。在吊升的過(guò)程中，一根繩索斷裂，儀器摔壞了。但是萊姆頓毫不泄氣，獨(dú)自一人在帳篷里花了六個(gè)星期把它修復(fù)了。1806年萊姆頓開(kāi)始著手準(zhǔn)備完成一個(gè)比測(cè)量印度更大的目標(biāo)：確定世界地圖。為了達(dá)到這個(gè)目標(biāo)，他沿著78°經(jīng)線，從南亞次大陸最南端的科摩林角到北邊的克什米爾畫(huà)了一條線，長(zhǎng)約1800英里。他的工作人員遇到了許多危險(xiǎn)的事情：印度中部的酷熱，有老虎出沒(méi)的茂密的植物，到處存在著瘧疾的威脅，等等。萊姆頓去世后，測(cè)量工作移交給了他的助手埃弗雷斯（George。Everest，1790-1866）。埃弗雷斯維持甚至超過(guò)了他前任的高標(biāo)準(zhǔn)要求。為了彌補(bǔ)印度中部廣袤平原上缺乏的地標(biāo)，他修建了許多遠(yuǎn)處可見(jiàn)的高塔，許多至今仍然保留著。為了避開(kāi)印度內(nèi)陸的熱浪及迷霧，他命令測(cè)量人員在晚上工作，依靠他在塔頂上的篝火作為標(biāo)記。在白天，他使用目光發(fā)射儀，一種特別設(shè)計(jì)的鏡子，其反射的陽(yáng)光50英里外依然清晰可見(jiàn)。

媒體關(guān)注與評(píng)論

“如果你認(rèn)為三角學(xué)平淡無(wú)奇，那你就錯(cuò)了，讀一讀這本書(shū)吧，你將對(duì)它刮目相看。本書(shū)恰到好處地展現(xiàn)了三角學(xué)的發(fā)展歷史，讀起來(lái)津津有味?！薄　　狿aul J.Nahm，暢銷(xiāo)書(shū)Duelling Idiots and Other Probability Puzzlers的作者“本書(shū)將深深吸引每一位對(duì)數(shù)學(xué)歷史感興趣的讀者。我向那些想在教學(xué)中穿插介紹數(shù)學(xué)歷史的老師們強(qiáng)烈推薦它!”　　——Richard S．Kitchen，《數(shù)學(xué)教師》“Maor的著作都激情洋溢，可謂妙筆生花，讓你手不釋卷，一口氣從頭讀到尾。這是又一本廣受歡迎的讀物?！薄　　猄ean Bradley，美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)

編輯推薦

《三角之美：邊邊角角的趣事》：三角學(xué)是一門(mén)古老的數(shù)學(xué)分支，其起源可以追溯到古埃及時(shí)代。人們一定掌握了某些三角學(xué)知識(shí)，才能建造起宏偉的金字塔，讓它歷經(jīng)千年風(fēng)雨依然威嚴(yán)聳立。世界著名的科普作家EliMaor，從歷史的源頭出發(fā)，以大家喜聞樂(lè)見(jiàn)的方式娓娓講述跨越千年的史實(shí)。他回顧了三角函數(shù)、解析三角學(xué)、三角形相關(guān)定理等的出現(xiàn)與發(fā)展歷程，同時(shí)介紹了三角學(xué)對(duì)科學(xué)發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步的重要貢獻(xiàn)。讀者得以全面、立體地了解三角學(xué)理論與應(yīng)用，還將跟隨作者靈動(dòng)的筆端，拂開(kāi)歷史的塵埃，窺探到古埃及的數(shù)字娛樂(lè)、韋達(dá)和棣莫弗的傳奇人生、芝諾的終身遺憾……圍繞著三角學(xué)的美麗與哀愁，匯集成一串串邊邊角角的趣事。

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