數(shù)值分析

前言

本書是為工程、科技、數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)等專業(yè)的學(xué)生而寫的入門教科書，其目的十分明確：描述解決科技和工程問題的算法以及討論算法所需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，期望適用于具有初等微積分和矩陣代數(shù)基礎(chǔ)的學(xué)生的主修課程。作為一門學(xué)科，數(shù)值分析的內(nèi)容極為豐富，飽含實(shí)用思路，要把很多靈巧但又關(guān)聯(lián)不大的技術(shù)用一本書來概括是非常具有挑戰(zhàn)性的。要深入理解，讀者不僅必須學(xué)會(huì)如何對(duì)Nearton方法、Runge-Kutta方法與快速Fourier變換進(jìn)行編程，而且必須吸收那些滲透在數(shù)值分析中、把其他相關(guān)內(nèi)容統(tǒng)一起來的偉大思想。收斂性、復(fù)雜性、適用條件、壓縮以及正交性的概念是這些思想中最重要的。任何合適的逼近方法都必須收斂到正確的答案，尤其是有更多計(jì)算資源提供給它時(shí)更當(dāng)如此，并且計(jì)算方法的復(fù)雜性也是由資源利用來衡量的。一個(gè)問題的適用條件，或者對(duì)誤差放大率的敏感程度，是了解如何求解問題的基礎(chǔ)。在數(shù)值分析的許多最新應(yīng)用中，目標(biāo)是用更短或更濃縮的方式來表示數(shù)據(jù)。最后，正交性在若干領(lǐng)域中對(duì)效率的影響是決定性的，并且在要考慮適用條件或者以壓縮性為目標(biāo)時(shí)，它是不可替代的。通過稱為“亮點(diǎn)”（Spotlight）的主題元素，我們強(qiáng)調(diào)了現(xiàn)代數(shù)值分析中這5個(gè)概念的作用。它們?cè)u(píng)論當(dāng)前的論題，并且聯(lián)系到書中其他地方出現(xiàn)的相同概念的其他描述。同時(shí)，我們希望用這種明顯的方式突出這5個(gè)概念，能夠強(qiáng)調(diào)當(dāng)前頁面的重點(diǎn)知識(shí)，起到點(diǎn)題之功效。雖然公認(rèn)數(shù)值分析的思想對(duì)現(xiàn)代科技與工程的實(shí)踐來說是必需的，但仍需不斷強(qiáng)化這一理念?！皩?shí)例檢驗(yàn)”就給出一些用數(shù)值分析方法解決科技問題的具體例子。這些擴(kuò)充的應(yīng)用應(yīng)時(shí)而選并貼近日常的經(jīng)驗(yàn)。雖然實(shí)例檢驗(yàn)不可能（甚至是不要求）表現(xiàn)問題的全部細(xì)節(jié)，但它試圖從一定深度去揭示一種技術(shù)或算法可以利用少量的數(shù)學(xué)知識(shí)就在科技的設(shè)計(jì)中獲得巨大的回報(bào)。在本書中，MATLAB既用于算法說明又用于學(xué)生作業(yè)和課題的建議平臺(tái)。本書中MATLAB代碼的數(shù)量是經(jīng)過仔細(xì)調(diào)控的，這是因?yàn)樘嗟拇a會(huì)適得其反。前幾章的MATLAB代碼多一些，可以使讀者逐步熟悉程序。當(dāng)提供更加詳細(xì)的代碼時(shí)（比如說，在插值、常微分和偏微分方程的學(xué)習(xí)中），期望讀者以此作為探索和拓展的起點(diǎn)。

內(nèi)容概要

本書以收斂性、復(fù)雜性、條件作用、壓縮和正交性這5個(gè)主要思想為核心進(jìn)行展開。內(nèi)容包括求解方程組、插值、最小二乘、數(shù)值微分、數(shù)值積分、微分方程及邊值問題、隨機(jī)數(shù)及其應(yīng)用、三角插值、壓縮、最優(yōu)化等。每章都有一個(gè)實(shí)例檢驗(yàn)，有助于讀者了解到相關(guān)應(yīng)用領(lǐng)域。附錄中介紹了矩陣代數(shù)和MATLAB，并提供了部分習(xí)題的答案。    本書內(nèi)容廣泛，實(shí)例豐富，可作為自然科學(xué)、工程技術(shù)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、數(shù)學(xué)、金融等專業(yè)人員進(jìn)行教學(xué)和研究的參考書。

作者簡(jiǎn)介

作者：(美國)索爾(Timothy Sauer) 譯者：吳兆金 王國英 范紅軍Timothy Sauer，喬治梅森大學(xué)數(shù)學(xué)系教授。1982年畢業(yè)于加州大學(xué)伯克利分校，師從著名數(shù)學(xué)家RobinHartshome。他的主要研究領(lǐng)域?yàn)閯?dòng)力系統(tǒng)和數(shù)值分析。除本書外，還與人合著有CHAOS：An Introduction to Dynamical System等書。Sauer是SLAM Journalon Applied Dynamical Systems、Journal of Difference Equations and Applications和Physica D等學(xué)術(shù)期刊的編委。

書籍目錄

第0章　基礎(chǔ)　　0.1　多項(xiàng)式計(jì)算　　0.2　二進(jìn)制數(shù)　　　0.2.1　十進(jìn)制到二進(jìn)制的轉(zhuǎn)換　　　0.2.2　二進(jìn)制到十進(jìn)制的轉(zhuǎn)換　　0.3　實(shí)數(shù)的浮點(diǎn)表示　　　0.3.1　浮點(diǎn)格式　　　　　0.3.2　機(jī)器表示　　　0.3.3　浮點(diǎn)數(shù)的加法　　0.4　有效數(shù)字的損失　　0.5　微積分回顧　第1章　解方程　　1.1　對(duì)分法　　　1.1.1　根隔離法　　　1.1.2　算法的精度和速度　　1.2　不動(dòng)點(diǎn)迭代　　　1.2.1　函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)　　　1.2.2　不動(dòng)點(diǎn)迭代的幾何原理　　　1.2.3　不動(dòng)點(diǎn)迭代的線性收斂性　　　1.2.4　停止準(zhǔn)則　　1.3　精度的界限　　　1.3.1　前向誤差和后向誤差　　　1.3.2　Wilkinson多項(xiàng)式　　　1.3.3　求根的靈敏度　　1.4　Newton法　　　1.4.1　Newton法的二次收斂性　　　1.4.2　Newton法的線性收斂性　　1.5　不用導(dǎo)數(shù)求根　　　1.5.1　割線法及其變形　　　1.5.2　Brent方法　第2章　方程組　　2.1　高斯消去法　　　2.1.1　基本的高斯消去法　　　2.1.2　運(yùn)算計(jì)數(shù)　　2.2　LU分解　　　2.2.1　高斯消去法的矩陣形式　　　2.2.2　利用LU分解的回代過程　　　2.2.3　LU分解的復(fù)雜性　　2.3　誤差的來源　　　2.3.1　誤差放大及條件數(shù)　　　2.3.2　擺動(dòng)　　2.4　PA=LU分解　　　2.4.1　部分選主元　　　2.4.2　置換矩陣　　　2.4.3　PA=LU分解　　2.5　迭代方法　　　2.5.1　Jacobi方法　　　2.5.2　Gauss-Seidel方法和SOR　　　2.5.3　迭代方法的收斂性　　　2.5.4　稀疏矩陣計(jì)算　　2.6　共軛梯度法　　　2.6.1　正定矩陣　　　2.6.2　共軛梯度法　　2.7　非線性方程組系統(tǒng)　　　2.7.1　多變量Newton方法　　　2.7.2　Broyden方法　第3章　插值　第4章　最小二乘　第5章　數(shù)值微分和數(shù)值積分　第6章　常微分方程　第7章　邊值問題　第8章　偏微分方程　第9章　隨機(jī)數(shù)及其應(yīng)用　第10章　三角插值和快速Fourier變換　第11章　壓縮　第12章　特征值和奇異值　第13章　最優(yōu)化　附錄A　矩陣代數(shù)　附錄B　MATLAB簡(jiǎn)介　參考文獻(xiàn)　習(xí)題選解(圖靈網(wǎng)站下載)

章節(jié)摘錄

插圖：我們從運(yùn)算計(jì)數(shù)開始回答這兩個(gè)問題。執(zhí)行完循環(huán)需要一次矩陣與向量的乘積次額外的點(diǎn)積。僅矩陣與向量的乘積每一步就需n2次乘法（同時(shí)有相同次數(shù)的加法），經(jīng)n步后，總計(jì)有n3次乘法。與高斯消去法譬次計(jì)數(shù)相比，這是3倍的工作量，太大了。若A是稀疏的，則情形就不一樣了。假設(shè)n太大使得就高斯消去法的n3/3次運(yùn)算量而言已不可行，則高斯消去法必須執(zhí)行完畢方可給出解x，而共軛梯度法在每步可給出一個(gè)近似解xi。殘差的歐氏長度每步都在減少，故至少按歐氏度量而言，每一步Axi越來越接近6。因此，依靠監(jiān)控ri，可以求出一個(gè)足夠好的解以避免完成所有的n步。在這種情況下，共軛梯度法變得與迭代方法難以區(qū)分了。當(dāng)A是一個(gè)病態(tài)矩陣時(shí)，由于這種方法對(duì)舍入誤差累積的敏感性，所以該方法在發(fā)現(xiàn)不久后即受到冷落。事實(shí)上，對(duì)病態(tài)矩陣，共軛梯度法不如帶有部分主元的高斯消去法?，F(xiàn)今，利用預(yù)優(yōu)法（preconditioning）解決了這個(gè)障礙，預(yù)優(yōu)法實(shí)質(zhì)上是把問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼庖粋€(gè)更好條件的矩陣系統(tǒng)，這樣就可以應(yīng)用共軛梯度法了。參見8以獲取更多的信息。該方法的名稱源于共軛梯度法真正所做到的：沿著n維的一個(gè)二次拋物面的斜率下滑，名稱的“梯度”部分意為靠使用微積分尋找最速下降方向，“共軛”的意思是并不是每一步都與另一步正交，但至少殘差ri是這樣的。該方法的幾何細(xì)節(jié)與其形成背景是令人感興趣的，但超出了本書的范圍。最早的文章[71給出了完整的描述。

媒體關(guān)注與評(píng)論

“本書結(jié)構(gòu)清晰，條理分明，理論描述精當(dāng)，實(shí)例范圍廣泛。它突出了數(shù)值分析的中心主題，給出了大量的算法及其誤差分析，尤其難能可貴的是，它提供了豐富的、取自現(xiàn)實(shí)生活各個(gè)方雨的‘實(shí)例檢驗(yàn)’，顯示出作者深厚的理論功底和應(yīng)用實(shí)力?！薄　　狝mazonl讀者評(píng)論

編輯推薦

《數(shù)值分析》是一本優(yōu)秀的數(shù)值分析教材，全面論述了數(shù)值分析的基本方法，還介紹了諸如后向誤差分析、稀疏矩陣計(jì)算及信號(hào)處理等新內(nèi)容。書中實(shí)例豐富，涉及計(jì)算機(jī)、電子、金融等各領(lǐng)域的應(yīng)用，尤其是專門辟出“實(shí)例檢驗(yàn)”部分，結(jié)合數(shù)值分析在各個(gè)學(xué)科中最新的應(yīng)用，與MATLAB軟件緊密聯(lián)系，揭示了一種技術(shù)或算法可以利用少量的數(shù)學(xué)知識(shí)就能在科技設(shè)計(jì)中獲得巨大的回報(bào)。作者認(rèn)為，讀者不應(yīng)停留在僅僅學(xué)會(huì)如何對(duì)Newton方法與快速Fourier變換等算法進(jìn)行編程，還必須吸收那些滲透在數(shù)值分析中并把其他相關(guān)內(nèi)容統(tǒng)一起來的偉大思想。收斂性、復(fù)雜性、條件作用、壓縮以及正交性的概念是這些思想中最重要的。作者通過稱為“亮點(diǎn)”的主題格式，強(qiáng)調(diào)了現(xiàn)代數(shù)值分析中這5個(gè)概念的作用?？傊?，《數(shù)值分析》內(nèi)容生動(dòng)新穎，實(shí)用性強(qiáng)，極富特色，是非常理想的教材和參考書。原書_出版不久即被美國多所高校指定為教材或參考書，受到廣泛好評(píng)。

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