勾股定理

前言

直至今天，畢達哥拉斯定理仍然是整個數(shù)學中最重要的一個定理。——布羅諾夫斯基，《人的躍升》，p.160畢達哥拉斯定理雖然生根于幾何學，但是，人們普遍認為，畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)的這個定理在科學的幾乎所有分支都有其身影，無論是純理論科學還是應用科學。至今為止已經(jīng)知道了它有400多種證明方法，這一數(shù)字仍在增長。這其中有后來成為美國總統(tǒng)的人寫下的原創(chuàng)證明，有愛因斯坦年僅十二歲時寫下的證明，也有一位盲人姑娘的證明。有些證明簡單得令人驚嘆，有些證明卻異常地復雜。這個定理本身也有好多名字，如畢達哥拉斯定理、斜邊定理，或者簡單地稱為歐幾里得I 47，之所以這樣叫，是因為它是歐幾里得《幾何原本》卷I中的第47個命題。這一富有特色的圖案（圖P-1）當作人類的宇宙身份證，當我們尋找地球外生物時，可以使用這個身份證來自我介紹。這一定理在很多應用領域起著重要作用，當然其被濫用甚至誤用的情況也時有發(fā)生。對一門學科來說，它有著無法比擬的魅力，它以各種方式進入我們的日常文化生活之中，它出現(xiàn)在郵票上、T-恤衫上、藝術和文學作品中，甚至出現(xiàn)在著名音樂劇的歌詞之中。無論如何，它都是數(shù)學中最有名的定理。任何一個學生，不管對數(shù)學多么恐懼，都會記起他自己的學生時代曾學過這么一個定理。今天，我們認為畢達哥拉斯定理是一個代數(shù)關系，a2+b2=c2，當已知直角三角形兩個邊的長度時，根據(jù)這個關系式可以求得這個直角三角形的第三條邊的長度。但是，當年畢達哥拉斯卻不這樣看它，對他來說，這是一個關于面積的幾何陳述。大約在公元1600年，隨著現(xiàn)代代數(shù)學的出現(xiàn)，這個定理才擁有了我們現(xiàn)在所熟悉的代數(shù)形式。因此我們必須知道，從畢達哥拉斯首次證明它并由此確立其不朽的地位開始，探索這一定理已經(jīng)經(jīng)歷了大約2500年的演變過程。其實他不是第一個發(fā)現(xiàn)這一定理的人，在他之前至少一千年，古巴比倫人就已經(jīng)知道了這個定理，那時，中國人可能也已經(jīng)知道。很多作家都評論說畢達哥拉斯定理很美。1895年，查爾斯·路德維?！さ榔嫔簿褪侨藗兯煜さ膭⒁姿埂た_爾寫道：“它如畢達哥拉斯最早發(fā)現(xiàn)它的時候一樣美麗耀眼?！盵1]他有資格這樣說，因為他不但是寫過《愛麗絲漫游奇境記》和《鏡中奇緣》的知名作家，還是一位天才數(shù)學家。但是，有誰指出了它美麗所在嗎？2004年，《物理世界》雜志要求讀者寫出科學世界中最美的20個方程。名列第一的是歐拉公式ei?+1=0，其后依次是麥克斯韋的4個電磁場方程、牛頓的力學第二定律F=ma，以及畢達哥拉斯定理a2+b2=c2，它僅贏得了第四名。[2]圖P1 畢達哥拉斯定理：歐幾里得的觀點注意，比賽所要角逐的是最美的方程，而不是它們所代表的定律或定理。當然，美是一種主觀上的東西，但是對數(shù)學家來說，一個定理或證明有什么樣的資格才稱得上美，他們有相當一致的意見。首要的一條就是對稱性。例如，考慮三角形的3條高，它們總是相交于一點（它的3條中線和3條角平分線也是如此）。以其徹底的對稱性來說，這一陳述相當?shù)貎?yōu)雅：沒有哪條邊或哪個頂點比其他邊或頂點地位更高；所有要素之間都是完全平等的。再考慮這樣的定理：過圓內(nèi)一點P作一條弦AB，則積PA×PB是常數(shù)，即對所有過點P的弦這個積都是常數(shù)（圖P-2）。同樣，它們也完全平等：每一條弦都和與P相關的其他弦擁有完全相同的地位。圖P2 PA×PB=PC×PD在這種意義下，畢達哥拉斯定理顯然不是平等的。首先，它只適用一個非常特殊的情況，直角三角形；然后，它要挑出一條邊——斜邊，這條邊的作用與其他兩條邊的作用完全不同。詞hypotenuse（斜邊）來自希臘語hypo（意思是“下面”、“底下”、“向下”）以及teinen（意思是“拉長”）。如果我們以它的斜邊為底看這個直角三角形，那么它呈現(xiàn)在歐幾里得《幾何原本》中的模樣確實還和這個詞有點兒靠譜（參見圖P-1）。中國人把它稱之為“弦”，兩點之間被拉緊的繩子（如同琵琶上的弦）。希伯來語中的斜邊是’yeter，它可能來自于mei’ter（繩子）或yo’ter（更多），即比直角邊更長。而我們即使用現(xiàn)代的眼光看這個三角形，把它的一條直角邊平放，另一條直角邊垂直放置（圖P3），斜邊上的正方形也以一個奇怪的角度而引人注目。這是一個美麗的定理嗎？也許是吧。圖P3 畢達哥拉斯定理：現(xiàn)代觀點如果說畢達哥拉斯定理不是那樣精致，那么是什么使得畢達哥拉斯定理得以吸引全世界的人？毫無疑問，一部分原因是幾個世紀以來人們給出了大量的證明方法。盧米斯（1852-1940）是俄亥俄州的一位古怪的數(shù)學教師，他用畢生的精力收集了當時已知的所有證明，總共371個，并把它們編寫成《畢達哥拉斯命題》（1927）一書。[3]盧米斯聲稱，在中世紀，要求取得數(shù)學學位的學生必須提供畢達哥拉斯定理的原創(chuàng)證明，他說這激發(fā)了學生和老師們不斷提供新的、有創(chuàng)意的證明方法。其中有些證明以相似三角形為基礎，另一些證明基于割補法，還有一些證明則根據(jù)代數(shù)公式，也有少數(shù)證明使用了向量，甚至有一些“證明”（也許使用“演示”更好些）使用了物理方法。在以色列特拉維夫科學博物館中，我看到了一個“演示”方法，在一個旋轉(zhuǎn)的樹脂玻璃制的直角三角形三條邊上的正方形之間，讓有色液體自由流淌，可以證明斜邊上的正方形里的液體體積等于其他兩個正方形里的液體體積之和。畢達哥拉斯定理吸引人的另外一個理由是，它是整個數(shù)學中使用最頻繁的定理。打開任意一本數(shù)學公式手冊，你幾乎在每一章中都可以看到表達式x2+y2，它通常是嵌在更大的表達式里面，而且?guī)缀醵际莤2+y2，而不是x3+y3，或者這些變量的其他冪。這一表達式都直接或間接地與畢達哥拉斯定理相關。例如，三角學就是如此，這門學科中的公式好像多得沒邊。無論是sin2x+cos2x=1、1+tan2x=sec2x還是1+cot2x=csc2x，這些等式都像是畢達哥拉斯定理的幽靈一樣——實際上，它們就是被稱為畢達哥拉斯等式。數(shù)學的其他分支也同樣如此，從數(shù)論和代數(shù)學到微積分和概率論，在所有這些學科中，畢達哥拉斯定理擔負著重要的角色。本書中，我將從4000年前的古巴比倫開始敘述，一直到我們生活的今天，一路追尋畢達哥拉斯定理的演變，探討它對數(shù)學及我們的文化所帶來的普遍影響。我沒有打算全面講述這幾百個證明，這幾乎是不可能完成的任務，也是一件徒勞的工作，因為有些證明之間差異很小。就連盧米斯的杰出編撰也不完整，自從1940年（他去世的那年）他那本書的第二版出版后，新的證明又不斷涌現(xiàn)出來，甚至就在我寫這本書的時候，還有新的證明出現(xiàn)。[4]與我之前的幾本書一樣，本書的讀者應是對數(shù)學史感興趣的人。只需要有高中代數(shù)、幾何知識以及一些粗淺的微積分知識就足以讀懂。幾個需要更深數(shù)學知識的課題歸入到附錄中。因為我要偶爾引用我之前寫過的幾本書，這里給出它們的書名：《無窮之旅：關于無窮的文化史》（1991），《e的故事：一個常數(shù)的傳奇》（1994），《三角之美：邊邊角角的趣事》* （1998；這3本書都是由普林斯頓大學出版社出版的）。其他兩本經(jīng)常提到的文獻是霍華德·伊夫斯（Howard Eves）的《數(shù)學史概論》（Saunders，1992）和大衛(wèi)·尤金·史密斯（David Eugene Smith）的《數(shù)學史》《卷1：初等數(shù)學史概況》和《卷2：初等數(shù)學的特別話題》（Dover，1958）。引用時只寫伊夫斯（Eves）和史密斯（Smith）。我要感謝我的妻子Dalia，寫這本書的時候她一直鼓勵我，并認真地校對手稿；感謝Robert Langer對這本書所給出的意見和非常有價值的建議；感謝Vickie Kearn，她是普林斯頓大學出版社本書的編輯，自始至終對我給予支持和鼓勵；感謝Debbie Tegarden、Carmina Alvarez、Dimitri Karetnikov以及出版社其他成員在這本書出版過程中對手稿的呵護；感謝Alice Calaprice，她是過去15年來我忠實的技術編輯；感謝Joseph L.Teeters，他為我提供了某些難尋的文獻信息；感謝Howard Zvi Weiss，他翻譯了書中幾首德語詩；感謝Barbara Niemic、Jeff Niemic和Deborah Ward所付出的特殊努力，他們在愛爾蘭都柏林找到了那塊匾并給它拍了照片（見圖11-1），這是用來紀念William Rowan Hamilton爵士發(fā)現(xiàn)四元數(shù)乘法定律的；還要感謝伊利諾伊州Skokie市公共圖書館的全體工作人員，他們?yōu)檎业较喈敂?shù)量的難尋的文獻而付出了努力。對他們的幫助表示由衷的感謝。 2006年7月

內(nèi)容概要

　　本書以勾股定理為線索，梳理了科學歷史上一些重要的事件、發(fā)明和發(fā)現(xiàn)的來龍去脈，把歐幾里得幾何、代數(shù)幾何、微積分、黎曼幾何以及愛因斯坦的相對論串成一條邏輯清晰的演變軌跡。全書深入淺出，能讓讀者從一個側(cè)面對整個數(shù)學的發(fā)展有一個總體的認識。　　本書適合中學生至大學生等各層次數(shù)學愛好者閱讀，也是研究數(shù)學史極有價值的參考書。

作者簡介

作者：（以色列）馬奧爾（Eil Maor） 譯者：馮速Eli Maor 知名科普作家，以色列理工學院博士，曾在芝加哥洛約拉大學教授數(shù)學史課程。著有暢銷書《三角之美：邊邊角角的趣事》、《e的故事：一個常數(shù)的傳奇》、《無窮之旅：關于無窮大的文化史》等。在各國期刊上發(fā)表過大量論文，涉及應用數(shù)學、數(shù)學史和數(shù)學教育等領域。

書籍目錄

開篇語　第1章　美索不達米亞，公元前1800年　　補充1　埃及人知道它嗎　第2章　畢達哥拉斯　第3章　歐幾里得的《幾何原本》　　補充2　藝術、詩和散文中的畢達哥拉斯定理　第4章　阿基米德　第5章　翻譯者和注釋者，500-1500年　第6章　弗蘭索瓦·韋達創(chuàng)造歷史　第7章　從無窮大到無窮小　　補充3　歐拉的一個非同凡響的公式　第8章　種證明及其他　　補充4　折疊的袋子　　補充5　愛因斯坦與畢達哥拉斯相遇　　補充6　一個最不同凡響的證明　第9章　主旋律與變奏曲　　補充7　畢達哥拉斯的珍品　　補充8　濫用的例子　第10章　奇怪的坐標系　第11章　符號，符號，還是符號　第12章　從平坦空間到彎曲的時空　　補充9　濫用的情況　第13章　相對論的前奏　第14章　從伯爾尼到柏林，1905～1915年　　補充10　四個畢達哥拉斯謎題　第15章　它是通用的嗎　第16章　反思　結束語　附錄A　巴比倫人是如何估計　的　附錄B　畢達哥拉斯三元組　附錄C　兩個平方的和　附錄D　是無理數(shù)的證明　附錄E　阿基米德的外切多邊形公式　附錄F　第7章的若干公式的證明　附錄G　方程x2/3+y2/3=1的推導　附錄H　謎題的解　大事年紀　參考書目　圖片聲明　

章節(jié)摘錄

插圖：當然幾何也并非完全停滯不前。以法國和德國為主的少數(shù)幾何學家重新對綜合幾何或“純”幾何產(chǎn)生了興趣，純幾何沿襲歐幾里得的推理論證方法。歐幾里得作圖的基本工具是直尺（沒有標記的尺子）和圓規(guī)。只利用這些工具，他們就構造出成百上千的圖形，其中有一些相當復雜，這把幾何作圖提升到一門藝術的層次。然而，當面對的是正多邊形時，直尺和圓規(guī)的力量似乎受到了限制：當時，使用直尺和圓規(guī)能構造出的正多邊形只有正三邊形、四邊形、五邊形和十五邊形，以及通過對這些正多邊形的邊數(shù)加倍后所得的正多邊形。因此，當1796年年僅18歲的高斯（1777-1855）證明了可以用歐幾里得工具構造七十六邊形時，人們完全被震驚了。令人感動的是，年輕的高斯因為這一發(fā)現(xiàn)決定將自己的一生投入數(shù)學，而放棄了之前所喜愛的語言學，不久后成為19世紀前半葉的數(shù)學領袖。高斯被認為是與阿基米德和牛頓并駕齊驅(qū)的人物，是整個時代三個最偉大的數(shù)學家之一。在他的故鄉(xiāng)，德國的不倫瑞克，矗立在七十六邊形基臺上的高斯雕像表達了人們對他的紀念。僅僅一年之后，又發(fā)生了另外一件令人震驚的事情。意大利幾何學家和詩人馬歇羅尼（1750-1800）于1797年證明了每一個能用圓規(guī)直尺構造出來的圖形都能夠只用圓規(guī)完成：根本不需要直尺。（當然，我們不能用圓規(guī)畫直線，但是我們可以用圓規(guī)確定兩個圓相交的兩點，因為兩點確定唯一一條直線，所以可以認為它們代表直線。）’高斯和馬歇羅尼的發(fā)現(xiàn)，說明已經(jīng)非常古老的經(jīng)典幾何還遠沒有窮盡。事實上，經(jīng)過一個世紀，完全不同于歐幾里得幾何的另一個幾何分支——射影幾何出現(xiàn)了。這門優(yōu)美而神秘的學科起源于16世紀，當時人們對研究投影這門藝術有著濃厚的興趣。

媒體關注與評論

“這是一部優(yōu)秀的勾殷定理傳記，像是用線和圓編織的思想史，從古代泥板書一直寫到愛因斯坦時代的黑板……看到一個真理被全方位地層示出來，真是令人興奮，這給我們帶來了數(shù)小時上佳的數(shù)學消遣。”　　——Ben Longstaff，《新科學家》“Maor的這本書就是一部勾股定理簡史，我們在此認識了相關的數(shù)學家，了解了地域文化，這是一本精彩絕倫的書，列舉了中國、阿拉伯以及歐洲文獻中記載的證明和例子，講述了這些獨特文化對勾股定理的理解和運用，并深入評述了這個迷人定理與諸多文化的歷史聯(lián)系。”　　——Michael C．Fish，《數(shù)學教師》“這本書超越了定理本身及其證明，它將在歷史長河中煥發(fā)光芒?！薄　　狤ric S．Rosenthal，《數(shù)學雜志》“這是一本寫給高中生、高中教師和數(shù)學愛好者的絕佳補充讀物……作者對這個主慧的熱情貫穿全書?！薄　　狫ames J．Tattersull，《數(shù)學評論》

編輯推薦

《勾股定理：悠悠4000年的故事》：初等幾何中最精彩、最著名和最有用的定理，從古巴比倫至今的悠悠4000年的歷史長河里，它的身影若隱若現(xiàn)。許多重要的數(shù)學、物理理論中都能發(fā)現(xiàn)它的蹤跡，甚至連郵票、T-恤、詩歌、散文、音樂劇中也能看到它的身影。作者帶領我們穿越歷史的迷霧，從遠古走來。歐幾里得幾何、代數(shù)幾何、微積分、黎曼幾何、愛因斯坦相對論，一個個我們熟悉的數(shù)學發(fā)現(xiàn)的背后無不滲透著勾股定理的影響，古典數(shù)學和現(xiàn)代數(shù)學的歷史軌跡竟然一脈相承，從未走遠。歷史的變遷、科學史上的重要發(fā)現(xiàn)，都隨著勾股定理的長袖善舞而一一展開。讀者將為書中展現(xiàn)的壯麗史實而深深震撼，極大地豐富自己的視野。

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