現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算

前言

“數(shù)值分析”課程是科學(xué)計(jì)算方面的重要基礎(chǔ)課程之一，承擔(dān)著引導(dǎo)計(jì)算科學(xué)入門到介紹數(shù)值計(jì)算中各種基本算法的任務(wù)。隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，對數(shù)值計(jì)算方面知識的要求也越來越高，這就迫切需要一本適合于目前工科學(xué)生學(xué)習(xí)的教材。本著這樣的想法，同濟(jì)大學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)教研室的有關(guān)教師在原有教材的基礎(chǔ)上編寫了此教材。希望達(dá)到兩個目的：一是在課程中介紹數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域中的基本思想、基本理論與基本算法，如函數(shù)插值與逼近，線性與非線性方程（組）的求解，數(shù)值積分與微分，矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算，微分方程的近似數(shù)值解；二是適當(dāng)?shù)亟榻B一些當(dāng)今科學(xué)與工程研究中遇到的數(shù)值計(jì)算問題求解的新方法，如快速傅里葉變換，高維積分的蒙特卡羅方法，數(shù)值求導(dǎo)的穩(wěn)定算法，大型線性方程組的分塊迭代算法等。當(dāng)然，由于課時的限制，我們只給出這些內(nèi)容的一個初步介紹，有興趣者可以參閱有關(guān)的參考書。本著實(shí)用的原則，同時也由于是工科學(xué)生教材以及課時限制的原因，我們在介紹一些數(shù)學(xué)上比較深入的結(jié)論時，往往省略了相關(guān)的理論證明。在介紹一些重要的典型算法的同時，附上了在工程中廣泛使用的Matlab程序。以便于大家在修完此課程后能快速地上手做一些工程項(xiàng)目中的計(jì)算與編程問題。全書共分9章，由同濟(jì)大學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)教研室有關(guān)任課教師集體編寫。其中第1章“科學(xué)計(jì)算與Matlab”和第7章“非線性方程求根”由陳雄達(dá)編寫，第2章“線性方程組的直接解法”和第6章“線性方程組的迭代解法”由殷俊鋒編寫，第3章“多項(xiàng)式插值與樣條插值”和第4章“函數(shù)逼近”由陳素琴編寫，第5章“數(shù)值積分與數(shù)值微分”由徐承龍編寫，第8章“矩陣特征值與特征向量的計(jì)算”和第9章“常微分初邊值問題數(shù)值解”由王琤編寫。全書由徐承龍負(fù)責(zé)組織與協(xié)調(diào)，陳雄達(dá)與殷俊鋒負(fù)責(zé)本書的排版和校對。本書適合作為高等院校本科生和工科研究生的教材與參考書，需要讀者掌握高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和初步的概率方面的知識。在編寫過程中我們參考了同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室和國內(nèi)外有關(guān)專家編寫的相關(guān)教材，在此表示感謝。同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系和同濟(jì)大學(xué)研究生院領(lǐng)導(dǎo)對本書的編寫給予了大力支持，為此我們表示深切的謝意。

內(nèi)容概要

本書是同濟(jì)大學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)教研室?guī)孜焕蠋熂w智慧的結(jié)晶，內(nèi)容涉及數(shù)值計(jì)算的基本內(nèi)容，如函數(shù)插值與函數(shù)逼近、線性與非線性方程（組）的求解、數(shù)值積分與微分、矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算、微分方程的近似數(shù)值解，還闡述了當(dāng)今科學(xué)與工程研究中遇到的數(shù)值計(jì)算問題求解的新方法，如快速傅里葉變換、多重積分的蒙特卡羅方法、數(shù)值求導(dǎo)的穩(wěn)定算法、大型線性方程組的分塊迭代算法等；在介紹一些重要的典型算法時，附上了在工程中廣泛使用的Matlab程序。書后附有豐富的習(xí)題。并提供了配套的習(xí)題解答    本書適合作為高等院校本科生和工科研究生“數(shù)值計(jì)算”課程的教材，也適合相關(guān)科研人員參考。

書籍目錄

第1章　科學(xué)計(jì)算與Matlab　1.1　科學(xué)計(jì)算的意義　1.2　誤差基礎(chǔ)知識　　1.2.1　誤差的來源　　1.2.2　誤差度量　　1.2.3　有效數(shù)字　　1.2.4　計(jì)算機(jī)的浮點(diǎn)數(shù)系　　1.2.5　一個實(shí)例　　1.2.6　數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的幾個問題　1.3　Matlab軟件　　1.3.1　簡介　　1.3.2  向量和矩陣的基本運(yùn)算　　1.3.3　流程控制　　1.3.4　腳本文件和函數(shù)文件　　1.3.5　幫助系統(tǒng)　　1.3.6　畫圖功能　　1.3.7　數(shù)據(jù)操作　習(xí)題一　數(shù)值實(shí)驗(yàn)一第2章　線性方程組的直接解法　2.1　高斯消去法　2.2　矩陣的三角分解　　2.2.1　LU分解和LDU分解　　2.2.2　喬列斯基分解　　2.2.3　追趕法　　2.2.4　分塊三角分解　2.3　QR分解和奇異值分解　　2.3.1　正交矩陣　　2.3.2　QR分解　　2.3.3　奇異值分解  習(xí)題二  數(shù)值實(shí)驗(yàn)二第3章　多項(xiàng)式插值與樣條插值　3.1　多項(xiàng)式插值　　3.1.1  多項(xiàng)式插值問題的定義　　3.1.2　插值多項(xiàng)式的存在唯一性　　3.1.3　插值基函數(shù)　3.2　拉格朗日插值　　3.2.1　拉格朗日插值基函數(shù)　　3.2.2　拉格朗日插值多項(xiàng)式　2.3　插值余項(xiàng)　3.3　牛頓插值　　3.3.1　差商　　3.3.2　牛頓插值公式及其余項(xiàng)　　3.3.3　差分與等距節(jié)點(diǎn)的插值公式　3.4　埃爾米特插值　　3.4.1　兩點(diǎn)三次埃爾米特插值　　3.4.2　埃爾米特插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)　　3.4.3　n+1個點(diǎn)2n+1次埃爾米特插值多項(xiàng)式H2n+1（x）及其余項(xiàng)R2n+1（x）　3.5　三次樣條插值　　3.5.1　樣條插值概念的產(chǎn)生　　3.5.2　三次樣條函數(shù)  習(xí)題三一  數(shù)值實(shí)驗(yàn)三一第4章　函數(shù)逼近一　4.1　內(nèi)積與正交多項(xiàng)式　　4.1.1　權(quán)函數(shù)和內(nèi)積　　4.1.2　正交函數(shù)系　　4.1.3　勒讓德多項(xiàng)式　　4.1.4　切比雪夫多項(xiàng)式　　4.1.5　其他正交多項(xiàng)式　4.2　最佳一致逼近與切比雪夫展開　　4.2.1　最佳一致逼近多項(xiàng)式　　4.2.2　線性最佳逼近多項(xiàng)式的求法　　4.2.3　切比雪夫展開與近似最佳逼近多項(xiàng)式  4.3　最佳平方逼近　　4.3.1　預(yù)備知識　　4.3.2　最佳平方逼近　4.4　曲線擬合的最小二乘法　　4.4.1　最小二乘法　　4.4.2　利用正交多項(xiàng)式作最小二乘　……第5章　數(shù)值積分與數(shù)值微分第6章　線性方程組的迭代解法第7章　非線性方程求根第8章　矩陣特征值與特征向量的計(jì)算第9章　常微分方程初邊值問題數(shù)值解參考文獻(xiàn)索引

章節(jié)摘錄

插圖：第1章 科學(xué)計(jì)算與Matlab1.1 科學(xué)計(jì)算的意義數(shù)值計(jì)算是隨著計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和大規(guī)模計(jì)算的需求而發(fā)展起來的一門新興學(xué)科。數(shù)值計(jì)算主要考慮各種數(shù)學(xué)模型及其算法，這些數(shù)學(xué)模型是為了解決各類應(yīng)用領(lǐng)域，特別是科學(xué)與工程計(jì)算領(lǐng)域的實(shí)際問題而提出的。為此，數(shù)值計(jì)算有時也稱為科學(xué)計(jì)算、工程計(jì)算或科學(xué)工程計(jì)算。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算機(jī)的性能和算法的效率，即計(jì)算機(jī)的硬件和軟件水平，都有了飛速的提高，需要求解的實(shí)際問題規(guī)模也成倍擴(kuò)大，其中的數(shù)學(xué)模型日趨復(fù)雜。通常，這些數(shù)學(xué)模型是不能夠精確地求解的，這時需要簡化模型并且提出相應(yīng)的數(shù)值解法，然后在計(jì)算機(jī)上編程實(shí)現(xiàn)，求解這些問題并作實(shí)際檢驗(yàn)。隨著硬件性能的提高和軟件上各種高效算法的出現(xiàn)，人類的計(jì)算能力迅猛提高，并同時期待能解決一些超大規(guī)模的具有挑戰(zhàn)性的問題，如基因測序、全球天氣模擬等。對于同一個問題，不同的算法在計(jì)算性能上可能相差百萬倍甚至更多，科學(xué)計(jì)算的主要任務(wù)就是設(shè)計(jì)高效可靠的數(shù)值算法。例如：用一個每秒鐘計(jì)算一億次浮點(diǎn)運(yùn)算的計(jì)算機(jī)求解一個20階的線性代數(shù)方程組，用克拉默（Cramer）法和行列式展開法計(jì)算至少需要30萬年，而用高斯消去法只不過用幾秒鐘而已。這個事實(shí)說明了兩個問題：一方面，計(jì)算方法效率的提高速度往往比計(jì)算機(jī)性能的提高更快；另一方面，選擇高效率的計(jì)算方法無疑是極其重要的。

編輯推薦

《現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算》以Matlab軟件為平臺，對數(shù)值計(jì)算的基本概念和方法進(jìn)行講述和介紹，《現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算》強(qiáng)調(diào)算法形成的思路以及計(jì)算的實(shí)踐，同時加強(qiáng)了數(shù)值實(shí)驗(yàn)作者希望把《現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算》編寫成一本淺顯易懂的、適合大學(xué)本科學(xué)生和工科研究生使用的數(shù)值計(jì)算基礎(chǔ)教材全書吸收了國內(nèi)外優(yōu)秀教材的優(yōu)點(diǎn)，結(jié)合當(dāng)前數(shù)值計(jì)算一些新的方法，由淺入深地介紹了各種概念和算法，并附有許多實(shí)踐性的題目《現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算》在每章后面配合教學(xué)內(nèi)容給出大量習(xí)題，可供讀者自學(xué)使用。以必須夠用為尺度，以實(shí)際應(yīng)用為目的以基本原理為基礎(chǔ)，以基本技術(shù)為主線以Mallab為平臺，加強(qiáng)學(xué)生的編程能力

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