數值分析導論

前言

　　本書是一本數值分析的入門教材，適合數學和其他理工科專業(yè)的大學生使用。學生應具備的主要的基礎知識是一元函數微積分的一學年課程所講的內容，也要求對計算機有些了解，本書可用于大學本科生的數值分析課程，本書最后四章介紹線性代數、常微分方程和偏微分方程的數值方法，對這些題材的背景知識有所了解是很有用的，當然最后四章也有對這些題材理論方面必要的介紹?！　W生選讀數值分析課程有各種各樣的原因，某些人在學習其他科目、從事研究工作或者在他們的專業(yè)中需要數值分析，另一些入學習它則是為了擴充其科學計算知識，我們講授這門課時，給學生設置了幾個目標。首先，他們將對解決數值分析基本問題（如各章標題所述）的一些數值方法有初步的了解并能運用；其次，他們將了解誤差概念并懂得為什么需要分析和預估誤差；第三，他們將逐步積累用計算機實現數值方法的某些經驗，這些經驗應該包括理解計算機算術運算及其結果?！　”緯瑪抵捣治稣n程中大部分標準主題，而且也探究了本學科的一些重要的基礎論題.其中包括復雜問題用比較簡單的問題逼近、算法的構造、迭代法、誤差分析、穩(wěn)定性、漸近誤差公式以及機器算術運算的結果?？紤]到課程的層次，重點放在對于問題本身和用于求解這些問題的數值方法的直觀理解上，我們精心選擇了例子來幫助加深這種理解、而不僅僅為了說明算法，我們只在證明足夠簡單和對結果的直觀理解有所幫助時才會給出證明?！　￡P于計算機程序設計，數值分析入門課程中首選的語言是MATLAB，附錄D簡要介紹了MATLAB；而教材中的程序是更深入的例子，.我們鼓勵學生修改這些程序并把它們作為編寫自己的MATLAB程序的模型，作者講授這門課程時，還提供一些在線MATLAB學習材料的網站鏈接?！　≡跁邪琈ATLAB程序有多種原因。首先，它們用于說明算法的構造，其次，可以節(jié)省學生的時間，避免他們編寫過多的程序，從而有更多時間實踐這些數值方法。畢竟，課程的重心應該是數值分析而不是學習如何編程，第三，這些程序提供MATLAB語言的例子以及使用MATLAB時一些比較好的程序設計實踐的例子。當然，學生們應該自己編寫一些程序，有些程序可以通過簡單修改教材中的一些程序而得到，例如，修改梯形求積法的程序可以得到中點法的程序，而其他程序則是需要較多原創(chuàng)的。

內容概要

　　本書是一本數值分析的入門教材，出自兩位著名的數值分析學家，被美國多所大學用作教材。全書包括9章，涉及方程的求解，插值與逼近，數值積分與微分，線性方程組的解等較初級的內容，以及最小二乘數據擬合、本征值問題、非線性方程組等較高級主題。書中有大量MATLAB程序，并在附錄中介紹了MATLAB。本書習題豐富，書后還附有習題參考答案，有利于初學者自學?！　”緯梢宰鳛楦叩仍盒＝虒W、工程等各理工科專業(yè)本科生的數值分析教材，也可供有關領域的研究人員和工作人員參考。

作者簡介

　　Kendall Atkinson，美國艾奧瓦大學榮休教授，SIAM、美國數學會、澳大利亞數學會會士。Atkinson教授著述頗豐，寫有多本數值計算方面的書。此外，他還是Journal of Integral Equations and Applications的總編、Advances In Computational Mathematics的編委。　　韓渭敏，美國艾奧瓦大學數學系教授。1983年畢業(yè)于復旦大學數學系，1986年在中國科學院計算中心獲碩士學位，1991年在美國馬里蘭大學獲博士學位。研究范圍包括計算數學、應用數學及其在工程上的應用，已發(fā)表論文上百篇，并在世界多家知名出版社出版教材和專著十余部。

書籍目錄

第1章　泰勒多項式　　1.1　泰勒多項式　　1.2　泰勒多項式的逼近誤差　　1.3　多項式求值　第2章　誤差和計算機算術運算　　2.1　浮點數　　　2.1.1　浮點表示的精度　　　2.1.2　舍入和截斷　　　2.1.3　浮點算術運算程序設計的結果　　2.2　誤差：定義、來源和例題　　　2.2.1　誤差的來源　　　2.2.2　有效數字損失的誤差　　　2.2.3　函數求值中的噪聲　　　2.2.4　下溢誤差和上溢誤差　　2.3　誤差的傳播　　2.4　求和　　　2.4.1　舍入與截斷的比較　　　2.4.2　循環(huán)誤差　　　2.4.3　內積的計算　第3章　求根　　3.1　對分法　　3.2　牛頓法　　　3.2.1　誤差分析　　　3.2.2　誤差估計　　3.3　割線法　　　3.3.1　誤差分析　　　3.3.2　牛頓法和割線法的比較　　　3.3.3　MATLAB函數fzero　　3.4　不動點迭代　　　3.4.1　艾特肯誤差估計和外推　　　3.4.2　高階迭代公式　　3.5　病態(tài)的求根問題　第4章　插值和逼近　　4.1　多項式插值　　　4.1.1　線性插值　　　4.1.2　二次插值　　　4.1.3　高次插值　　　4.1.4　差商　　　4.1.5　差商的性質　　　　4.1.6　牛頓差商插值公式　　4.2　多項式插值的誤差　　　4.2.1　另一個誤差公式　　　4.2.2　誤差的性態(tài)　　4.3　插值樣條函數　　　4.3.1　樣條插值　　　4.3.2　插值的自然三次樣條的構造　　　4.3.3　其他插值樣條函數　　　4.3.4　MATLAB程序　spline　　　4.4　最佳逼近問題　　4.5　切比雪夫多項式　　　4.5.1　三項遞推關系　　　4.5.2　最小取值范圍性質　　4.6　近似極小極大逼近方法　　4.7　最小二乘逼近　　　4.7.1　勒讓德多項式　　　4.7.2　求解最小二乘逼近　　　4.7.3　一般的最小二乘逼近　第5章　數值積分和數值微分　　5.1　梯形法和辛普森法　　5.2　誤差公式　　　5.2.1　梯形法誤差的漸近估計　　　5.2.2　辛普森法的誤差公式　　　5.2.3　理查森外推法　　　5.2.4　周期被積函數　　5.3　高斯數值積分　　5.4　數值微分　　　5.4.1　利用插值的微分　　　5.4.2　待定系數法　　　5.4.3　函數值誤差的影響　第6章　線性方程組數值求解　　6.1　線性方程組　　6.2　矩陣算術運算　　　6.2.1　算術運算　　　6.2.2　初等行運算　　　6.2.3　矩陣的逆　　　6.2.4　矩陣代數法則　　　6.2.5　線性方程組的可解性理論　　6.3　高斯消元法　　　6.3.1　部分選主元　　　6.3.2　逆矩陣的計算　　　6.3.3　運算量　　6.4　　LU分解　　　6.4.1　高斯消元法的緊湊變形　　　6.4.2　三對角方程組　　　6.4.3　解線性方程組的MATLAB內置函數　　6.5　解線性方程組中的誤差　　　6.5.1　殘差校正方法　　　6.5.2　解線性方程組中的穩(wěn)定性　　6.6　迭代法　　　6.6.1　雅可比法和高斯——賽德爾法　　　6.6.2　一般的迭代格式　　　6.6.3　殘差校正方法　第7章　數值線性代數：續(xù)篇　第8章　常微分方程數值解　第9章　偏微分方程的有限差分法　附錄A　中值定理　附錄B　數學公式　附錄C　數值分析軟件包　附錄D　MATLAB簡介　附錄E　二進制數系　部分習題答案　參考文獻　索引　

章節(jié)摘錄

　　第1章　一泰勒多項式　　數值分析使用的結論與方法來自數學的許多領域，特別是微積分和線性代數。本章介紹一個來自微積分的非常有用的工具——泰勒定理。這個工具對本書中討論的許多數值方法的形成和理解是十分必要的?！　?。1節(jié)引入泰勒多項式作為其他函數近似求值的一個方法；1.2節(jié)給出求泰勒多項式逼近誤差的精確公式——泰勒定理。最后在1.3節(jié)中，我們首先討論如何求多項式的值，然后以一個具體的函數為例推導和分析一個可計算的多項式逼近?！　〈鷶岛臀⒎e分的其他有關知識在附錄中給出。附錄A復習中值定理，附錄B復習微積分、代數、幾何、三角函數的其他一些內容?！　∥覀兛梢杂枚喾N計算機語言編寫程序，實施本教材中學到的數值方法。最重要的基本計算機語言是C、C++、Java以及Fortran。本教材中使用一種高級語言，用它在求解數學問題實施數值分析過程中更容易處理我們需要的數學結構。這種語言是MATLAB，它廣泛使用在各種類型的計算機上。本教材提供許多MATLAB程序的例子，我們鼓勵學生使用這些程序，并修改它們解決類似的任務。附錄D非常簡要地介紹MATLAB，并列出一些更詳盡地介紹MATLAB的文獻。

編輯推薦

　　《數值分析導論(第3版)》是一本優(yōu)秀的數值分析入門教材，內容全面，不僅涵蓋方程的求解、插值逼近等較初級的內容，還涉及最小二乘數據擬合、本征值問題、非線性方程組等較高級主題。書中給出了大部分算法的MATLAB程序，還使用圖形用戶界面進行實驗，學生僅需使用萊單、查詢窗口和按鈕就可以研究各種論題。《數值分析導論(第3版)》習題豐富，十分有利于培養(yǎng)學生的獨立思考和動手能力?！　　稊抵捣治鰧д?第3版)》由兩位著名的數值分析專家合作編寫，被美國多所大學用作教材，包括加州大學伯克利分校。原書以前版本也曾有中文版問世，對國內數值分析教學產生了很大影響，被很多大學用作教材或參考書。

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