近世代數(shù)概論

前言

在本書第1版寫完以來的35年間，近世代數(shù)已成為全世界大學(xué)里的標準課程，并且已有許多用于這門課程的教材，盡管如此，回顧一下我們在最初確定的基本指導(dǎo)思想——也是現(xiàn)在這本書的基本指導(dǎo)思想——看來是可取的?！拔覀兪冀K力求表達各種常用的定義的構(gòu)思背景。為此，我們盡可能用較多的熟悉的例子說明每個新術(shù)語。這在基礎(chǔ)教材里特別重要，因為它可以說明一切抽象概念都來源于對具體情況的分析?！盀榱颂岣邔W(xué)生按照新概念獨立思考的能力，每個課題里我們都編入廣泛多樣的習(xí)題。這些習(xí)題中，一些用來計算，一些用來進一步尋找新概念的例子，另一些給出附加的理論推導(dǎo)，后一種類型的習(xí)題對于學(xué)生熟悉正式證明的結(jié)構(gòu)有重要的作用。習(xí)題的選擇使授課教師可根據(jù)情況取舍，以適應(yīng)大學(xué)本科生或一年級研究生不同程度的需要?！敖来鷶?shù)也能夠重新解釋古典代數(shù)的結(jié)果，使它們具有更大的統(tǒng)一性和一般性。因此，我們并不省略這些結(jié)果，而努力把它們系統(tǒng)地編入近世代數(shù)的范圍內(nèi)。

內(nèi)容概要

　　本書出自近世代數(shù)領(lǐng)域的兩位巨匠之手, 是一本經(jīng)典的教材。全書共分為15章, 內(nèi)容包括：整數(shù)、有理數(shù)和域、多項式、實數(shù)、復(fù)數(shù)、群、向量與向量空間、矩陣代數(shù)、線性群、行列式與標準型、布爾代數(shù)與格、超限算術(shù)、環(huán)與理想、代數(shù)數(shù)域和伽羅瓦理論等。　　本書適合數(shù)學(xué)專業(yè)及其他理工科專業(yè)高年級本科生和研究生使用, 是一本非常有價值的教材和參考書。

作者簡介

Garrett Birkhoff（1911——l996），已故世界著名數(shù)學(xué)家。生前曾任國際數(shù)學(xué)家大會組織委員會主席、美國數(shù)學(xué)會副主席、美國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)會主席、《大不列顛百科全書》編委，美國科學(xué)院院士，哈佛大學(xué)教授。1933年開創(chuàng)格論研究，使其成為數(shù)學(xué)的一個重要分支。

書籍目錄

第1章　整數(shù)　11.1　交換環(huán) 整環(huán)　11.2　交換環(huán)的基本性質(zhì)　21.3　有序整環(huán)的性質(zhì)　71.4　良序原則　91.5　數(shù)學(xué)歸納法 指數(shù)定律　101.6　可除性　131.7　歐幾里得算法　141.8　算術(shù)基本定理　181.9　同余式　201.10　環(huán)　 231.11　集合 函數(shù) 關(guān)系　261.12　同構(gòu)與自同構(gòu)　29第2章　有理數(shù)和域　312.1　域的定義　312.2　有理數(shù)域的構(gòu)造　352.3　聯(lián)立線性方程　392.4　有序域　43*2.5　正整數(shù)公設(shè)　45*2.6　皮亞諾公設(shè)　48第3章　多項式　523.1　多項式形式　523.2　多項式函數(shù)　553.3　交換環(huán)的同態(tài)　59*3.4　多元多項式　613.5　輾轉(zhuǎn)相除法　633.6　單位與相伴　653.7　不可約多項式　673.8　唯一因子分解定理　69*3.9　其他唯一因子分解整環(huán)　72*3.10　愛森斯坦不可約判別準則　76*3.11　部分分式　78第4章　實數(shù)　824.1　畢達哥拉斯二難推論　824.2　上界與下界　834.3　實數(shù)公設(shè)　854.4　多項式方程的根　87*4.5　戴德金分割　90第5章　復(fù)數(shù)　945.1　復(fù)數(shù)的定義　945.2　復(fù)平面　965.3　代數(shù)基本定理　995.4　共軛數(shù)與實多項式　102*5.5　二次方程與三次方程　104*5.6　四次方程的根式解法　106*5.7　穩(wěn)定型方程　107第6章　群　1096.1　正方形的對稱　1096.2　變換群　1116.3　其他例子　1156.4　抽象群　1176.5　同構(gòu)　1206.6　循環(huán)群　1236.7　子群　1266.8　拉格朗日定理　1286.9　置換群　1316.10　偶置換與奇置換　1346.11　同態(tài)　1366.12　自同構(gòu) 共軛元素　138*6.13　商群　141*6.14　等價關(guān)系與同余關(guān)系　144第7章　向量與向量空間　1477.1　平面向量　1477.2　推廣　1487.3　向量空間與子空間　1507.4　線性無關(guān)與維數(shù)　1537.5　矩陣與行等價　1577.6　線性相關(guān)的檢驗　1597.7　向量方程 齊次方程　1637.8　基與坐標系　1677.9　內(nèi)積　1727.10　歐幾里得向量空間　1747.11　標準正交基　1777.12　商空間　179*7.13　線性函數(shù)與對偶空間　181第8章　矩陣代數(shù)　1868.1　線性變換與矩陣　1868.2　矩陣加法　1928.3　矩陣乘法　1938.4　對角矩陣 置換矩陣 三角形矩陣　1988.5　長方矩陣　2018.6　逆矩陣　2058.7　秩與零度　2108.8　初等矩陣　2128.9　等價與標準型　216*8.10　雙線性函數(shù)與張量積　218*8.11　四元數(shù)　222第9章　線性群　2269.1　基的變換　2269.2　相似矩陣與特征向量　2289.3　全線性群與仿射群　2339.4　正交群與歐幾里得群　2369.5　不變量與標準型　2409.6　線性型與雙線性型　2429.7　二次型　2459.8　全線性群之下的二次型　2479.9　全線性群之下的實二次型　2509.10　正交群之下的二次型　2529.11　仿射群和歐幾里得群之下的二次型　256*9.12　酉矩陣與埃爾米特矩陣　260*9.13　仿射幾何　263*9.14　射影幾何　270第10章　行列式與標準型　27510.1　行列式的定義和基本性質(zhì)　27510.2　行列式的乘積　27910.3　作為體積的行列式　28210.4　特征多項式　28610.5　極小多項式　29010.6　凱萊-哈密頓定理　29410.7　不變子空間與可約性　29510.8　第一分解定理　29910.9　第二分解定理　30110.10　有理標準型與若當(dāng)標準型　304第11章 布爾代數(shù)與格　30711.1　基本定義　30711.2　定律：同算術(shù)定律類比　30811.3　布爾代數(shù)　31011.4　其他基本定律的推導(dǎo)　31311.5　布爾多項式的標準型　31511.6　半序　31811.7　格　32011.8　集合表示　323第12章　超限算術(shù)　32712.1　數(shù)與集合　32712.2　可數(shù)集　32912.3　其他基數(shù)　331*12.4　基數(shù)的加法與乘法　334*12.5　取冪　335第13章　環(huán)與理想　33813.1　環(huán)　33813.2　同態(tài)　34113.3　商環(huán)　345*13.4　理想的代數(shù)　34713.5　多項式理想　350*13.6　線性代數(shù)中的理想　35313.7　環(huán)的特征　35513.8　域的特征　357第14章　代數(shù)數(shù)域　35914.1　代數(shù)擴張與超越擴張　35914.2　域上的代數(shù)元素　36114.3　根的添加　36314.4　次數(shù)與有限擴張　36514.5　多重代數(shù)擴張　36814.6　代數(shù)數(shù)　37114.7　高斯整數(shù)　37414.8　代數(shù)整數(shù)　37714.9　代數(shù)整數(shù)的和與積　37914.10　二次代數(shù)整數(shù)的因子分解　381第15章　伽羅瓦理論　38515.1　方程的根域　38515.2　唯一性定理　38715.3　有限域　38815.4　伽羅瓦群　39115.5　可分多項式與不可分多項式　39515.6　伽羅瓦群的性質(zhì)　39715.7　子群與子域　39915.8　三次不可約方程　40215.9　五次方程的不可解性　406參考文獻　410數(shù)學(xué)符號表　413索引　416

章節(jié)摘錄

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編輯推薦

《圖靈數(shù)學(xué)?統(tǒng)計學(xué)叢書?近世代數(shù)概論》將介紹：近世代數(shù)也稱抽象代數(shù)，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，主要研究群、環(huán)、域等代數(shù)結(jié)構(gòu)。它的概念與思想滲透到所有數(shù)學(xué)分支，而其理論與方法在統(tǒng)計學(xué)、信息論、計算機科學(xué)、近代物理、化學(xué)以及其他許多科學(xué)與工程領(lǐng)域中都有廣泛而深入的應(yīng)用。這本經(jīng)典的教材出自抽象代數(shù)領(lǐng)域的兩位巨匠之手，曾對近世代數(shù)教學(xué)產(chǎn)生深遠的影響，幫助了幾代學(xué)子理解和掌握近世代數(shù)，至今《圖靈數(shù)學(xué)?統(tǒng)計學(xué)叢書?近世代數(shù)概論》仍是一部對自學(xué)和課堂教學(xué)都極具價值的參考書和教材。作者用大家熟悉且具體的例子來闡述每一個概念，深入淺出，透徹簡潔。為了培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的能力，每個專題都包括豐富的練習(xí)。

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