計算方法

內(nèi)容概要

　　《計算方法》共分7章，分別介紹了數(shù)值計算方法與誤差分析、非線性方程組的數(shù)值解法、線性方程組的數(shù)值解法、函數(shù)插值與曲線擬合、數(shù)值積分與數(shù)值微分、常微分方程初值問題的數(shù)值解法、矩陣特征值與特征向量數(shù)值解法等經(jīng)典內(nèi)容。在每章的后面分別介紹如何利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求解相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題和應(yīng)用實例，方便學(xué)生上機實踐和教師上機指導(dǎo)?！　　队嬎惴椒ā愤m合作為普通本科院校計算機、信息與計算科學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)等專業(yè)及工科碩士研究生計算方法課程的教材，也可供從事科學(xué)與工程計算工作者參考。

書籍目錄

出版說明前言第1章 數(shù)值計算方法與誤差分析 11.1 數(shù)值計算方法 11.2 誤差的來源與誤差分析的重要性 21.3 近似數(shù)的誤差表示法 31.3.1 絕對誤差與相對誤差 31.3.2 舍入誤差與有效數(shù)字 41.4 數(shù)值運算誤差分析 51.5 數(shù)值計算中的一些基本原則 61.5.1 算法的數(shù)值穩(wěn)定性 61.5.2 避免誤差危害的若干原則 71.6 數(shù)學(xué)軟件 91.7 應(yīng)用實例: 計算圓周率 的算法 101.8 習(xí)題 12第2章 非線性方程的數(shù)值解法 142.1 二分法 142.2 迭代法及其收斂性 152.2.1 不動點迭代法 162.2.2 不動點迭代法的全局收斂 172.2.3 局部收斂性與收斂階 192.2.4 不動點迭代法的加速 202.3 Newton迭代法 212.3.1 Newton迭代格式 212.3.2 Newton迭代法的收斂性 232.3.3 Newton迭代法的變形 262.4 利用數(shù)學(xué)軟件求解非線性方程 292.4.1 MATLAB相關(guān)函數(shù)介紹 292.4.2 MATLAB直接求解非線性方程 292.4.3 MATLAB編程求解非線性方程 302.5 應(yīng)用實例：混沌（Chaos）問題 342.6 習(xí)題 38第3章 線性方程組的數(shù)值解法 413.1 消元法 413.1.1 Gauss消元法 413.1.2 列主元Gauss消元法 433.1.3 Gauss-Jordan消元法 453.2 矩陣三角分解法 463.2.1 矩陣的三角分解 463.2.2 解線性方程組的三角分解 513.2.3 平方根法 533.2.4 追趕法 553.3 向量與矩陣的范數(shù) 573.3.1 向量范數(shù) 583.3.2 矩陣范數(shù) 593.4 消元法的誤差分析 613.5 迭代法 643.5.1 Jacobi迭代 653.5.2 Gauss-Seidel迭代 673.5.3 超松弛（SOR）迭代 683.6 迭代法的收斂性 703.7 利用數(shù)學(xué)軟件求解線性方程組 733.7.1 利用MATLAB命令直接求解 733.7.2 利用MATLAB編程求解 743.8 應(yīng)用實例-投入產(chǎn)出分析 793.9 習(xí)題 84第4章 函數(shù)的插值與曲線擬合 884.1 引言 884.1.1 插值問題與插值多項式 884.1.2 插值多項式的存在唯一性 894.2 Lagrange插值 894.2.1 線性插值 894.2.2 拋物線插值 904.2.3 Lagrange插值多項式 914.2.4 插值余項 924.3 均差與Newton插值 954.3.1 均差及其性質(zhì) 954.3.2 Newton插值公式 964.4 等距節(jié)點插值 974.4.1 差分 974.4.2 等距節(jié)點Newton插值公式 984.5 Hermite插值 994.6 分段插值 1014.6.1 高次多項式插值的Runge現(xiàn)象 1014.6.2 分段線性插值 1024.6.3 分段三次Hermite插值 1034.7 樣條插值 1034.7.1 三次樣條函數(shù) 1034.7.2 樣條插值函數(shù)的建立 1044.7.3 三次樣條插值收斂性 1064.8 曲線擬合的最小二乘法 1064.9 利用數(shù)學(xué)軟件求解插值與擬合問題 1084.9.1 MATLAB相關(guān)函數(shù)介紹 1084.9.2 用MATLAB直接求解插值及擬合問題 1084.9.3 Lagrange插值的MATLAB程序 1094.9.4 Newton插值的MATLAB程序 1104.9.5 等距節(jié)點Newton插值的MATLAB程序 1104.10 應(yīng)用實例：給藥方案設(shè)計 1114.11 習(xí)題 113第5章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 1155.1 數(shù)值積分概述 1155.1.1 數(shù)值積分的基本思想 1155.1.2 代數(shù)精度 1165.1.3 插值型求積公式 1175.2 Newton-Cotes公式 1195.2.1 公式的導(dǎo)出 1195.2.2 代數(shù)精度 1215.2.3 低階求積公式的余項 1215.2.4 復(fù)化求積法及其收斂性 1225.3 變步長求積和Romberg算法 1245.3.1 變步長梯形求積法 1245.3.2 外推法與Romberg算法 1255.4 Gauss型求積公式 1275.4.1 概述 1275.4.2 Gauss-Legendre求積公式 1285.4.3 Gauss型求積公式的穩(wěn)定性 1305.5 數(shù)值微分 1305.5.1 機械求導(dǎo)法 1305.5.2 插值型求導(dǎo)公式 1315.6 利用數(shù)學(xué)軟件求解數(shù)值積分與數(shù)值微分 1335.6.1 數(shù)值積分 1335.6.2 數(shù)值微分 1345.7 應(yīng)用實例-計算定積分的Monte Carlo方法 1355.8 習(xí)題 137第6章 常微分方程初值問題的數(shù)值解法 1396.1 Euler法與改進的Euler法 1406.1.1 Euler法 1406.1.2 改進的Euler法 1426.2 Runge-Kutta法 1456.2.1 Runge-Kutta方法的基本思想 1456.2.2 二階Runge-Kutta方法 1466.2.3 三階與四階Runge-Kutta方法 1476.3 單步法的收斂性和穩(wěn)定性 1506.3.1 單步法的收斂性 1506.3.2 單步法的穩(wěn)定性 1526.4 線性多步法 1536.4.1 Adams顯式法與Adams隱式法 1546.4.2 Milne方法 1576.4.3 Hamming方法 1586.5 方程組與高階方程的數(shù)值解法 1596.5.1 一階常微分方程組的數(shù)值解法 1596.5.2 高階微分方程的初值問題 1616.6 利用數(shù)學(xué)軟件求解常微分方程 1616.6.1 利用MATLAB命令直接求解 1616.6.2 利用MATLAB編程求解 1646.7 應(yīng)用實例：導(dǎo)彈追擊問題 1676.8 習(xí)題 172第7章 矩陣的特征值與特征向量 1747.1 引言 1747.2 冪法與反冪法 1757.2.1 冪法 1757.2.2 反冪法 1807.3 Jacobi方法 1827.4 QR方法 1847.5 利用數(shù)學(xué)軟件求解矩陣的特征值與特征向量 1867.6 應(yīng)用實例：主成分分析方法的應(yīng)用 1887.7 習(xí)題 190附錄 193附錄A 部分習(xí)題答案 193附錄B MATLAB軟件簡介 203參考文獻 237

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：插圖：1.1數(shù)值計算方法現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展十分迅速，它們有一個共同的特點，就是都存在大量的數(shù)據(jù)計算問題。計算問題可以說是現(xiàn)代社會工業(yè)、農(nóng)業(yè)、交通運輸、醫(yī)療衛(wèi)生、文化教育等各個領(lǐng)域普遍存在的共同問題。研究計算問題的解決方法和有關(guān)數(shù)學(xué)理論問題的一門學(xué)科就叫做計算數(shù)學(xué)。計算數(shù)學(xué)主要研究有關(guān)數(shù)學(xué)和邏輯問題怎樣由計算機加以有效解決。數(shù)值計算方法簡稱計算方法，又稱“數(shù)值分析”，是計算數(shù)學(xué)的一個主要部分。它研究用計算機求解數(shù)學(xué)問題的數(shù)值計算方法及其軟件實現(xiàn)，是數(shù)學(xué)科學(xué)的一個分支。計算數(shù)學(xué)幾乎與數(shù)學(xué)科學(xué)的一切分支有聯(lián)系，它利用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的成果發(fā)展了新的更有效的算法及其理論，反過來，很多數(shù)學(xué)分支都需要探討和研究適用于計算機的數(shù)值方法。運用計算機求解實際問題通常需要經(jīng)歷以下步驟：①根據(jù)實際問題建立數(shù)學(xué)模型（建立數(shù)學(xué)模型）。②由所建立的數(shù)學(xué)模型給出相應(yīng)的數(shù)值計算方法（給出計算方法）。③根據(jù)計算方法編制算法程序，然后在計算機上計算出結(jié)果，并對結(jié)果進行分析（程序設(shè)計及結(jié)果分析）。其中，第一步通常是應(yīng)用數(shù)學(xué)的任務(wù)，而第二步及第三步就是計算數(shù)學(xué)的任務(wù)，也就是計算方法所研究的對象，它涉及數(shù)學(xué)的各個分支，內(nèi)容十分廣泛。但作為“計算方法”基礎(chǔ)，只介紹科學(xué)與工程計算中最常用的基本數(shù)值方法，包括線性方程組與非線性方程求根、插值與最小二乘擬合、數(shù)值積分及常微分方程數(shù)值解法等。這些都是計算數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的內(nèi)容。計算數(shù)學(xué)與計算工具的發(fā)展密切相關(guān)，在計算機出現(xiàn)以前，數(shù)值計算方法只能計算規(guī)模小的問題，并且也沒形成單獨的學(xué)科，只有在計算機出現(xiàn)以后，數(shù)值計算才得以迅速發(fā)展并成為數(shù)學(xué)科學(xué)中一個獨立學(xué)科-計算數(shù)學(xué)。當代計算能力的大幅度提高，既來自計算機的進步，也來自計算方法的進步，計算機與計算方法的發(fā)展是相輔相成、互相促進的。計算方法的發(fā)展啟發(fā)了新的計算機體系結(jié)構(gòu)，而計算機的更新?lián)Q代也對計算方法提出了新的標準和要求。例如，為在計算機上求解大規(guī)模的計算問題、提高計算效率，誕生并發(fā)展了并行計算機。自計算機誕生以來，經(jīng)典的計算方法業(yè)已經(jīng)歷了一個重新評價、篩選、改造和創(chuàng)新的過程，與此同時，涌現(xiàn)了許多新概念、新課題和能充分發(fā)揮計算機潛力、有更大解題能力的新方法，這就構(gòu)成了現(xiàn)代意義下的計算數(shù)學(xué)。這也是數(shù)值分析的研究對象與特點。

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