圖論及其算法

前言

　　圖論是研究離散對象二元關(guān)系中關(guān)系結(jié)構(gòu)的一個數(shù)學分支，與群論、矩陣論、概率論、拓撲學、數(shù)值分析等其他數(shù)學分支有著密切的聯(lián)系，其廣闊的應用領(lǐng)域涵蓋了計算機科學、化學、物理學、運籌學、信息論、控制論、經(jīng)濟學、心理學、環(huán)境保護領(lǐng)域等。同時，隨著這些學科的發(fā)展，特別是計算機科學的快速發(fā)展，又促進了圖論的發(fā)展。　　圖論是一門極有趣味的學科，它最吸引人的地方是蘊含了豐富不俗的思想、漂亮的圖形和巧妙的證明，它涉及的問題廣泛，問題外表雖簡單樸素，本質(zhì)上卻十分復雜深刻；其解決問題的方法千變?nèi)f化，靈活多樣。因此，各專業(yè)的學生都應該具有一定的圖論基礎(chǔ)，從而掌握一種強大而靈活的工具來分析和處理自己學科領(lǐng)域的問題。目前，圖論已經(jīng)成為計算機科學、數(shù)學、運籌學、組合優(yōu)化、機電等學科的基本課程之一?！　”緯榻B了圖論的基本概念、基本定理和算法，共分9章。主要內(nèi)容包括圖的基本概念、樹、距離與連通性、圖的遍歷問題、圖的匹配與獨立集、圖的染色、平面圖、網(wǎng)絡流和圖參數(shù)A（H）值等。本書將有向圖和無向圖融為一個整體，不僅介紹了圖論的基本原理，也介紹了如何應用圖論方法解決實際問題，還強調(diào)了圖論算法，配有適當?shù)睦}和習題，并在書后附有部分習題的參考答案?！　”緯×藝鴥?nèi)外許多優(yōu)秀圖論著作的精華，結(jié)合了編者多年的教學經(jīng)驗和本科生的特點，內(nèi)容力求精煉，所有的證明和算法簡潔明了，通俗易懂，易于學生學習和教師的教學?！　∮捎趫D論不強調(diào)數(shù)值計算而強調(diào)證明技巧和解釋的清晰，所以許多問題都有多個證明，編者對這些證明精心選擇，深入淺出地介紹了圖論的證明技巧?！　D論和計算機科學之間有著千絲萬縷的聯(lián)系。由于算法的研究是計算機科學的核心，所以算法在現(xiàn)代圖論中占有舉足輕重的地位。本書介紹了圖論算法及其應用，計算機專業(yè)在教學中還可以引導學生編寫程序，上機實踐?！　∮捎趫D論是一門新興的學科，所以國內(nèi)外許多圖論書籍出現(xiàn)了多個版本的術(shù)語和符號。本書在介紹圖論的基本概念、術(shù)語和結(jié)論時，選擇了最為通俗易懂的語言加以描述，符號力求清晰、簡潔、通用。在主題的挑選、順序的安排和題目的選擇上，遵循認知規(guī)律和由淺入深的原則，使讀者能輕松愉快地進入圖論的系統(tǒng)學習和研究。在內(nèi)容的編排上，各章之間既相互聯(lián)系又自成體系，便于讀者學習和查閱，同時體現(xiàn)了教材的系統(tǒng)性和科學性。　　全書共分9章，第1、2、9章由哈爾濱學院理學院李明哲編寫，第3、4、7章由牡丹江師范學院數(shù)學系金俊編寫，第5、6、8章由黑龍江科技學院理學院石端銀編寫，全書由李明哲主持編寫并負責統(tǒng)稿。哈爾濱學院蓋功琪仔細審閱了本書，并提出了許多寶貴意見。　　在本書的編寫過程中得到了哈爾濱學院軟件學院院長賈宗福教授的熱誠幫助和指導，本書作為黑龍江省高教學會高等教育科學研究“十一五”規(guī)劃課題（項目編號：115C一901）的研究成果，在編寫過程中得到了?？蒲刑幍膸椭椭笇?，在此表示衷心的感謝?！　∮捎谒接邢?，書中不妥之處在所難免，殷切希望廣大讀者批評指正。

內(nèi)容概要

　　本書為圖論的入門教材，介紹了圖論的基本概念、基本定理和算法，共分9章。主要內(nèi)容包括圖的基本概念、樹、距離與連通性、圖的遍歷問題、圖的匹配與獨立集、圖的染色、平面圖、網(wǎng)絡流、圖參數(shù)A（H）值等。本書將有向圖和無向圖融為一個整體，不僅介紹了圖論的基本原理，而且介紹了如何應用圖論方法解決實際問題，還強調(diào)了圖論算法，配有適當?shù)睦}和習題，并在書后附有部分習題的參考答案。本書概念清楚，立論嚴謹，所有的證明和算法簡潔明了，通俗易懂?！　”緯勺鳛楦叩仍盒Ｓ嬎銠C、數(shù)學、信息、電子、管理等專業(yè)的教材，還可作為相關(guān)專業(yè)人員的參考書。

書籍目錄

出版說明前言第1章　圖的基本概念　1.1圖論發(fā)展簡史　1.2圖的概念　　1.2.1圖　　1.2.2子圖　　1.2.3一些重要類型的圖　1.3頂點的度和圖的同構(gòu)　　1.3.1頂點的度　　1.3.2圖的同構(gòu)　1.4圖的運算　　1.4.1并與和　　1.4.2笛卡兒積　　1.4.3超立方體　　1.4.4網(wǎng)格　　1.4.5邊收縮　　1.4.6線圖　1.5路和連通　　1.5.1路和回路的定義　　1.5.2連通性　1.6有向圖　　1.6.1有向圖的概念　　1.6.2有向圖的度　　1.6.3有向網(wǎng)絡　　1.6.4有向圖的連通性　1.7圖的矩陣表示　　1.7.1關(guān)聯(lián)矩陣　　1.7.2鄰接矩陣　　1.7.3距離矩陣　　1.7.4連通矩陣　　1.7.5特殊類型圖的鄰接矩陣　　1.7.6有向圖的矩陣表示　1.8習題第2章　樹　2.1樹的基本性質(zhì)　　2.1.1樹的概念　　2.1.2樹的性質(zhì)　　2.1.3樹的度序列與同構(gòu)　　2.1.4樹的葉子數(shù)　　2.1.5有向樹　2.2生成樹　　2.2.1生成樹的概念　　2.2.2生成樹的計數(shù)　2.3最優(yōu)生成樹　　2.3.1Kruskal算法　　2.3.2Prim算法　　2.3.3破圈法　2.4深度優(yōu)先搜索與廣度優(yōu)先搜索　　2.4.1深度優(yōu)先搜索　　2.4.2廣度優(yōu)先搜索　2.5最優(yōu)二元樹與前綴碼　　2.5.1最優(yōu)二元樹　　2.5.2前綴碼　2.6樹的Prtifer編碼　2.7習題第3章　距離與連通性　3.1圖的距離　　3.1.1離徑、中心、半徑與直徑　　3.1.2樹的中心　　3.1.3自補圖與距離　3.2圖的連通性　　3.2.1點連通度、邊連通度　　3.2.2點、邊連通度的性質(zhì)　　3.2.3塊　3.3連通圖　　3.3.1k-連通圖　　3.3.22-連通圖　　3.3.3Menger定理　3.4最短路算法　　3.4.1從一個始點到一個終點的最短路　　3.4.2任意兩點間的最短路　3.5習題

章節(jié)摘錄

　　因為理論物理學研究的需要，所以在這個學科內(nèi)不止一次地發(fā)現(xiàn)過圖論。烏倫伯克（uhlenbeck）在統(tǒng)計力學的研究中用點來代表分子，兩個點的鄰接表示存在某種物理形式的最鄰近的相互作用，如磁的吸力或斥力。在李政道和楊振寧的類似解釋中，點代表歐幾里得空間的小立方體，其中每一個立方體可能被一個分子占有或者不被分子占有。于是，兩個點鄰接就表示兩個空間都被占有。另外，物理學還用圖論來作為一種圖形的表示方法。在范曼（Fevnmanon）提出的圖解中，點代表物理粒子，線代表粒子碰撞后的路線?！　≡诟怕收撝?，馬爾可夫鏈的研究引進了有向圖，它的意思是：點代表事件，一條從一個點到另外一個點的有向線表示這兩個事件直接相繼有正的概率。研究中，直接定義一個馬爾可夫鏈是一個網(wǎng)絡，其中從每一個點出發(fā)的所有有向線的值的和是1。有向圖有一種類似的表示法出現(xiàn)在數(shù)值分析的矩陣求逆和特征值計算的部分中，瓦爾加（Varga）給出了一些例子。對于一個給定的矩陣，特別是“稀疏的”矩陣，可以用如下的方式構(gòu)成一個有向圖：用點來代表給定的矩陣的行與列的指標，當矩陣的i、j元非零時有一條從點f到點.，的有向線。這種方法與處理馬爾可夫鏈的方法有相似性?！　【€性規(guī)劃與運籌學的領(lǐng)域里也利用圖論的方法研究網(wǎng)絡上的流的形式。一個圖的點表示某種貨物可以儲藏或裝船的實際位置，從一處到另一處的一條有向線和記在這條線上的一個正數(shù)代表一條運輸貨物的水道和它的能力，這個能力給出可以同時通過的最大允許數(shù)量?！　】萍嫉难该桶l(fā)展向圖論提出了越來越多的需要解決的問題，使圖論在科學界非?；钴S。尤其是計算機科學的快速發(fā)展，為圖論及其算法的實現(xiàn)提供了強大的計算與證明的手段，有力地推動了圖論的發(fā)展，而圖論在開關(guān)理論、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、操作系統(tǒng)、形式語言、計算機網(wǎng)絡、編譯程序、人工智能等方面亦有顯著貢獻。　　目前，圖論領(lǐng)域形成了兩個研究方向：一個是以研究圖的性質(zhì)為主，稱之為抽象圖論；另一個是以研究圖的算法為主，稱之為算法圖論，也稱為網(wǎng)絡最優(yōu)化。本書中不僅介紹了圖論的基本原理，還介紹了圖論算法及其應用?！　　?/pre>








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