隨機過程導論

前言

本書是在Math 240課（“應用隨機過程”）講義的基礎上修改完善而來的。我在杜克大學長期從事這門課程的教學工作，學習此課程的大多數(shù)學生是數(shù)學、計算機科學、經(jīng)濟學、商學、生物學、心理學、物理學、統(tǒng)計學和工程學等專業(yè)的研究生，也有數(shù)學系的高年級本科生。這些學生的數(shù)學背景差異很大，而且與他們各自研究領域相關的隨機過程的特定內(nèi)容也很不一樣。要學習本書，需要有比較好的基于微積分的本科概率論知識，同時應學習過包含特征值和特征向量等內(nèi)容的線性代數(shù)課程。同時讀者應具有一定的計算機基礎。習題需要讀者編寫簡單的程序并利用一些軟件進行線性代數(shù)方面的計算。在我所有的班上，學生們都有足夠的計算機能力做到這一點。鑒于大多數(shù)同學都有微分方程的基礎，我將自然地使用相關內(nèi)容，不過我在預備知識中還是用較短的篇幅介紹了線性微分方程。在本書中我努力闡述數(shù)學的核心概念和方法，而不是列出所有的數(shù)學細節(jié)。測度論并不是本書必需的先修課程，但是我試圖采用這樣的寫作方式，使那些懂得一些測度論的讀者可以更詳細了解本書呈現(xiàn)的主題。盡管本書主要是為那些想了解隨機過程應用的讀者而寫的，但是書中對真正的應用討論得并不多。原因在于，要想理解真正的應用，需要對相應的研究領域有比較深人的了解，而介紹那些隨機過程能夠應用的領域并不是本書的目標。所以我選擇使用一些非?；镜睦?，而讓其他領域的專家去決定何時一些數(shù)學假設對于他們的應用是合理的。第1章涵蓋有限馬爾可夫鏈的基本內(nèi)容。在這里我并沒有給出收斂到平衡態(tài)的相關證明，而是重點說明了收斂到平衡態(tài)和隨機矩陣特征值的大小之間的關系。第2章討論無限狀態(tài)空間的情況，以在非負整數(shù)上帶有反射邊界的隨機游動作為主要的例子，介紹了非常返、零常返、正常返等概念，本章最后討論了分支過程。第3章討論連續(xù)時間馬爾可夫鏈，集中在三個主要類型：泊松過程、有限狀態(tài)空間和生滅過程。對于這些過程，我使用了向前微分方程來描述概率的發(fā)展，這比向后微分方程更簡單、自然。遺憾的是，向前微分方程不適用于分析所有的連續(xù)時間馬爾可夫鏈，這一事實在最后一節(jié)做了簡要討論。生滅過程的一個主要例子是馬爾可夫隊列。在決策論的廣泛研究領域中，我選擇了馬爾可夫鏈的最優(yōu)停時理論來介紹，這部分內(nèi)容放在第4章。最優(yōu)停時理論可以把那些能夠得出算法解決相關問題的數(shù)學理論很好地結合在一起。本章中最優(yōu)停時的基本思想與第5章所使用的思想相似。在隨機過程的很多問題中，鞅的思想都是非?；A的。第5章的目標就是對鞅的這些思想做一個堅實的介紹。首先給出了條件期望的現(xiàn)代定義，這里我們自由地使用了“關于Fn可測，即到時刻”之前的所有信息已知”這樣的思想而沒有使用б代數(shù)語言去說明它的嚴格含義。對本章主要的定理——可選抽樣定理和鞅收斂定理都給出了證明。這里的定理證明是很重要的，從證明的過程我們可以理解定理為什么不能一直適用。另外，我們討論了一致可積。第6章主要講解更新過程的基本思想。對于非格點的隨機變量，更新方程是主要的分析工具，而對于格點的隨機變量，則使用馬爾可夫鏈的方法。作為一個應用，我們分析了服務時間為一般分布的排隊系統(tǒng)。

內(nèi)容概要

本書是一本隨機過程的優(yōu)秀教材，不僅以淺顯易懂的語言闡述基本概念和方法，而且通過一些非常基礎的應用實例，讓讀者了解如何應用隨機過程理論解決實際問題。主要內(nèi)容包括有限馬爾可夫鏈、可數(shù)馬爾可夫鏈、連續(xù)時間馬爾可夫鏈、最優(yōu)停時、鞅、可逆馬爾可夫鏈、布朗運動和隨機積分等。    本書側重數(shù)學思想的分析而不是具體細節(jié)的理論證明，所需的數(shù)學基礎只是本科程度的概率論和一些線性代數(shù)知識，而不需要讀者有測度論的基礎，適合作為高等院校數(shù)學及相關專業(yè)高年級本科生和研究生教材，也適合作為相關領域研究人員的參考書。

作者簡介

作者：（美國）勞勒（Gregory F.Lawler） 譯者：張景肖Gregory .F. Lawler 1976年獲得弗吉尼亞大學學士學位，1979年獲得普林斯頓大學博士學位。曾為康奈爾大學數(shù)學系教授，現(xiàn)為芝加哥大學數(shù)學系教授。

書籍目錄

譯者序第2版前言第1版前言第0章  預備知識1  0.1  引言1  0.2  線性微分方程1  0.3  線性差分方程2  0.4  習題5第1章  有限馬爾可夫鏈6  1.1  定義和舉例6  1.2  極限行為和不變概率9  1.3  狀態(tài)分類12  1.3.1  可約性14  1.3.2  周期性15  1.3.3  不可約、非周期鏈16  1.3.4  可約或者周期鏈16  1.4  返回次數(shù)19  1.5  非常返態(tài)20  1.6  舉例24  1.7  習題27第2章  可數(shù)馬爾可夫鏈33  2.1  引言33  2.2  常返和非常返34  2.3  正常返和零常返38  2.4  分支過程40  2.5  習題43第3章  連續(xù)時間馬爾可夫鏈48  3.1  泊松過程48  3.2  有限狀態(tài)空間50  3.3  生滅過程55  3.4  一般情形60  3.5  習題61第4章  最優(yōu)停時64  4.1  馬爾可夫鏈的最優(yōu)停時64  4.2  帶成本的最優(yōu)停時68  4.3  帶折現(xiàn)的最優(yōu)停時70  4.4  習題71第5章  鞅74  5.1  條件期望74  5.2  定義和舉例78  5.3  可選抽樣定理80  5.4  一致可積83  5.5  鞅收斂定理85  5.6  極大不等式89  5.7  習題91第6章  更新過程95  6.1  引言95  6.2  更新方程98  6.3  離散更新過程104  6.4  M/G/1和G/M/1排隊模型107  6.5  習題109第7章  可逆馬爾可夫鏈112  7.1  可逆過程112  7.2  收斂到平穩(wěn)分布113  7.3  馬爾可夫鏈算法117  7.4  常返的判定準則120  7.5  習題122第8章  布朗運動125  8.1  引言125  8.2  馬爾可夫性127  8.3  布朗運動的零集130  8.4  多維布朗運動133  8.5  常返和非常返136  8.6  布朗運動的分形性質(zhì)138  8.7  比例原則138  8.8  帶漂移的布朗運動139  8.9  習題140第9章  隨機積分144  9.1  關于隨機游動的積分144  9.2  關于布朗運動的積分145  9.3  Ito公式148  9.4  Ito公式的擴展形式151  9.5  連續(xù)鞅156  9.6  吉爾薩諾夫變換157  9.7  費因曼卡茨公式159  9.8  black-scholes公式161  9.9  模擬164  9.10  習題164進一步閱讀的建議167索引168

章節(jié)摘錄

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《隨機過程導論(原書第2版)》是華章數(shù)學譯叢。

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