數(shù)學(xué)物理方程及其反問題研究

前言

　　微分方程是人類認(rèn)識(shí)自然、改造自然的一種工具，也是數(shù)學(xué)理論聯(lián)系實(shí)際的橋梁。同時(shí)數(shù)學(xué)物理方程也是理工科專業(yè)學(xué)生的一門重要的數(shù)學(xué)課程。該門課程既涉及物理、力學(xué)、熱學(xué)、光學(xué)、電學(xué)等背景知識(shí)，同時(shí)又要用到數(shù)學(xué)分析、復(fù)變函數(shù)、積分變換、常微分方程和泛函分析等多門數(shù)學(xué)工具，許多學(xué)生反映學(xué)習(xí)起來比較困難。為解決這些困難，特編寫本書。本書力求簡(jiǎn)明、通俗易學(xué)，注重實(shí)用性和應(yīng)用性，對(duì)一些公式或定理的推證沒有做過多的闡述，也許這樣對(duì)于初學(xué)者、自學(xué)者和一些工程技術(shù)人員來說更容易理解和掌握。本書的第l部分為數(shù)學(xué)物理方程，共6章，每章分為如下幾個(gè)模塊：　?。?）內(nèi)容要點(diǎn)和基本要求。闡述該章內(nèi)容要點(diǎn)，便于讀者理清思路，了解基本要求，把握該章的重點(diǎn)以及對(duì)該章內(nèi)容掌握的程度?！　。?）方法概述與例題解析。方法概述力求簡(jiǎn)明、通俗實(shí)用，例題力求典型且有實(shí)際背景，使讀者更好地鞏固基本概念，掌握解題的基本方法以及使用該方法時(shí)應(yīng)注意的問題。　?。?）小結(jié)。每章后面都做了小結(jié)，幫助讀者歸納該章的主要內(nèi)容、主要方法，以使讀者能更系統(tǒng)、清楚地把握內(nèi)容?！　。?）習(xí)題。每章后面都配有一定量的習(xí)題，習(xí)題的選取不求多而求精，而且習(xí)題類型盡量保持與例題相近。通過做這些習(xí)題使讀者能夠掌握該章內(nèi)容。在第6章末給出了部分習(xí)題的參考答案，便于讀者檢驗(yàn)?！　”緯牡?部分為數(shù)學(xué)物理方程的反問題。已知微分方程和定解條件（稱為定解問題）而求該定解問題的解稱為“正問題”，這也是我們一般常見的研究問題；而如果微分方程中的系數(shù)、右端項(xiàng)、定解條件和定義域等是未知的，一方面要確定這些未知項(xiàng)，另一方面又要求解微分方程，這類問題通常稱之為微分方程的反問題。微分方程的反問題領(lǐng)域非常廣闊，它來源于各種實(shí)際問題，屬于多學(xué)科的應(yīng)用理論范疇，不管是對(duì)理論研究還是實(shí)際應(yīng)用都具有重要意義。近20年來，在資源勘探、航天工程、大地物理、大氣測(cè)量、海洋工程、遙感技術(shù)、控制與識(shí)別、生物器官性態(tài)模擬與分析、遺傳工程及量子力學(xué)和彈性力學(xué)等各自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域相繼出現(xiàn)了大量微分方程的反問題。

內(nèi)容概要

本書是作者在大學(xué)本科以及研究生教學(xué)的講義基礎(chǔ)上整理編寫的。書中共包括兩部分，第1部分是有關(guān)數(shù)學(xué)物理方程的求解方法介紹，如分離變量法、行波法、積分變換法和格林函數(shù)法，并簡(jiǎn)介了變分法及應(yīng)用；第2部分是數(shù)學(xué)物理方程的反問題，包含了作者在該領(lǐng)域研究的一些主要成果，以線性與非線性熱傳導(dǎo)方程的反問題和一類雙曲方程的反問題的研究為主。前6章每章后面配有一定量的習(xí)題，在第6章末附有部分習(xí)題參考答案?！　”緯哂袑?shí)用、通俗和便于自學(xué)等特點(diǎn)，可作為高等院校理工科專業(yè)的大學(xué)生、研究生教材或教學(xué)參考書，還可供研究該領(lǐng)域的相關(guān)學(xué)者和工程技術(shù)人員參考。

書籍目錄

前言 第1部分 數(shù)學(xué)物理方程 　第1章 方程的導(dǎo)出和定解條件 　　1.1 概念 　　　1.1.1 有關(guān)數(shù)學(xué)物理方程的一些概念 　　　1.1.2 定解條件和定解問題 　　　1.1.3 解的適定性 　　　1.1.4 數(shù)學(xué)物理方程研究的內(nèi)容 　　1.2 三類方程的導(dǎo)出及定解問題的提法 　　　1.2.1 熱傳導(dǎo)方程及其定解問題 　　　1.2.2 波動(dòng)方程及其定解問題 　　　1.2.3 位勢(shì)方程及其定解問題 　　1.3 預(yù)備知識(shí) 　　　1.3.1 有關(guān)常微分方程中的一些知識(shí) 　　　1.3.2 線性方程解的疊加原理 　　　1.3.3 二階線性常微分方程的常數(shù)變異法 　　　1.3.4 二階線性齊次常微分方程的冪級(jí)數(shù)解法 　　1.4 小結(jié) 　　　1.4.1 基本概念 　　　1.4.2 定解問題 　　　1.4.3 主要數(shù)學(xué)家介紹 　　1.5 習(xí)題 　第2章 行波法（達(dá)朗貝爾法） 　　2.1 一維波動(dòng)問題 　　　2.1.1 Duhamel原理 　　　2.1.2 無界弦的自由振動(dòng)（一維波動(dòng)方程的柯西問題） 　　　2.1.3 半無界弦的自由振動(dòng) 　　　2.1.4 無界弦的強(qiáng)迫振動(dòng) 　　2.2 高維波動(dòng)問題 　　　2.2.1 空間齊次波動(dòng)問題 　　　2.2.2 二維波動(dòng)方程的初值問題（降維法） 　　2.3 小結(jié) 　　2.4 習(xí)題 　第3章 分離變量法 　　3.1 引言 　　3.2 直角坐標(biāo)系下齊次方程齊次邊界條件問題 　　　3.2.1 一維弦的自由振動(dòng)問題 　　　3.2.2 一維細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題 　　　3.2.3 矩形域上拉普拉斯方程的邊值問題 　　3.3 直角坐標(biāo)系下非齊次方程齊次邊界條件問題 　　　3.3.1 引言 　　　3.3.2 問題模型 　　　3.3.3 求解方法 　　3.4 直角坐標(biāo)系下齊次方程非齊次邊界條件問題 　　　3.4.1 引言 　　　3.4.2 求解方法 　　　3.4.3 例題解析 　　3.5 極坐標(biāo)系下的分離變量法 　　　3.5.1 引言 　　　3.5.2 問題模型 　　　3.5.3 求解方法 　　　3.5.4 例題解析 　　3.6 球坐標(biāo)系下拉普拉斯方程的求解問題 　　　3.6.1 勒讓德方程的引出 　　　3.6.2 勒讓德方程的求解及勒讓德函數(shù)的性質(zhì) 　　　3.6.3 勒讓德函數(shù)及性質(zhì)的應(yīng)用——例題解析 　　3.7 柱坐標(biāo)系下拉普拉斯方程的求解問題 　　　3.7.1 貝塞爾方程的引出 　　　3.7.2 貝塞爾方程的解及貝塞爾函數(shù)的性質(zhì) 　　　3.7.3 貝塞爾函數(shù)的應(yīng)用——例題解析 　　3.8 小結(jié) 　　3.9 習(xí)題 　第4章 積分變換法 　　4.1 引言 　　4.2 傅里葉變換及應(yīng)用 　　　4.2.1 傅里葉變換的定義 　　　4.2.2 傅里葉變換的性質(zhì) 　　　4.2.3 使用傅里葉變換時(shí)應(yīng)注意的問題 　　　4.2.4 傅里葉變換在定解問題中的應(yīng)用——例題解析 　　4.3 拉普拉斯變換及應(yīng)用 　　　4.3.1 拉普拉斯變換的概念 　　　4.3.2 拉普拉斯變換的性質(zhì) 　　　4.3.3 拉普拉斯變換性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用——例題解析 　　　4.3.4 拉普拉斯變換在定解問題中的應(yīng)用——例題解析 　　4.4 小結(jié) 　　4.5 習(xí)題 　第5章 格林函數(shù)法 　　5.1 調(diào)和函數(shù)及性質(zhì) 　　　5.1.1 格林公式 　　　5.1.2 調(diào)和函數(shù)及其積分表達(dá)式 　　　　　　5.1.3 調(diào)和函數(shù)的性質(zhì) 　　5.2 格林函數(shù)及應(yīng)用 　　　5.2.1 格林函數(shù)的定義 　　　5.2.2 格林函數(shù)的求法和邊值問題的解 　　5.3 小結(jié) 　　5.4 習(xí)題 　第6章 變分法初步 　　6.1 變分問題的引出及最簡(jiǎn)變分問題的解法 　　　6.1.1 變分法的基本引理 　　　6.1.2 泛函取極值的必要條件 　　　6.1.3 例題驗(yàn)證 　　6.2 變分法的應(yīng)用——例題解析 　　6.3 極小曲面問題研究狀況綜述 　　　6.3.1 極小曲面的概念 　　　6.3.2 有關(guān)極小曲面問題 　　6.4 小結(jié) 　　6.5 習(xí)題 　　部分習(xí)題參考答案 　　參考文獻(xiàn) 第2部分 數(shù)學(xué)物理方程反問題研究 　有關(guān)數(shù)學(xué)物理方程的反問題 　熱傳導(dǎo)方程反問題的存在性（一） 　熱傳導(dǎo)方程反問題的存在性（二） 　一類拋物型方程的反問題 　非線性熱傳導(dǎo)方程的反問題 　熱傳導(dǎo)方程的反問題 　一類雙曲方程反問題的存在性及 　唯一性

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