高等數(shù)學(xué)

前言

　　高等數(shù)學(xué)是大學(xué)重要的數(shù)學(xué)課程，其研究的對(duì)象是變量與函數(shù)，研究的內(nèi)容是函數(shù)的各種特性及其相互關(guān)系，研究的方法是用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)討論數(shù)量間的內(nèi)在聯(lián)系。了解這門課程有些什么特點(diǎn)，學(xué)習(xí)這門課程的意義是什么，對(duì)學(xué)好這門課程非常重要?！　∫?、數(shù)學(xué)的基本特征　　數(shù)學(xué)的基本特征之一是它的研究對(duì)象的高度抽象性。　　數(shù)本身就是抽象的。數(shù)字“1”是人們從1個(gè)蘋果、1個(gè)人等現(xiàn)象中舍去了蘋果、人的具體特征，單從數(shù)量上抽象出來的。除了人們?nèi)菀桌斫獾淖匀粩?shù)外，數(shù)學(xué)中還有負(fù)數(shù)、無理數(shù)、復(fù)數(shù)等等。它們的抽象程度較自然數(shù)更高。要想對(duì)一個(gè)沒有中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的人解釋清楚何為無理數(shù)未必容易，更不用說復(fù)數(shù)了?！　〕醯葞缀沃械狞c(diǎn)、線、面等也是抽象的。它們根據(jù)人們生活的經(jīng)驗(yàn)抽象而來，因此是容易被理解的?？臻g解析幾何中的坐標(biāo)系，曲線、曲面和方程也是抽象的結(jié)果。我們生活的現(xiàn)實(shí)空間是3維空間，還比較容易接受。至于4維空間就變得難于理解。然而，高等數(shù)學(xué)中還要研究一般的n維空間以及這些空間上的函數(shù)，要討論這些函數(shù)重要的分析特性，許多抽象的概念不再是從人的直接生活經(jīng)驗(yàn)與生產(chǎn)活動(dòng)中得來，而是從人類對(duì)科學(xué)與工程技術(shù)的研究過程中抽象而來，它們既超出了普通人的直接經(jīng)驗(yàn)，也超出了自然現(xiàn)象的范疇。數(shù)學(xué)研究對(duì)象的這種高度抽象性使得數(shù)學(xué)科學(xué)有別于自然科學(xué)——后者的研究對(duì)象是自然現(xiàn)象?！　?shù)學(xué)研究對(duì)象的抽象性決定了數(shù)學(xué)的另一特征：它在論證方法上的演繹性?！　∪藗冋f：“數(shù)學(xué)是一門演繹科學(xué)”，這是從它的論證方法而言的。在數(shù)學(xué)中要論證一個(gè)結(jié)論的成立，是根據(jù)假設(shè)（包括公理）按照形式邏輯推演出來的。除此之外，在一定意義上說，它不允許任何其他東西作為導(dǎo)出結(jié)論的依據(jù)。

內(nèi)容概要

本書根據(jù)本科院校獨(dú)立（民辦二級(jí)）學(xué)院對(duì)高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的要求編寫，內(nèi)容符合教育部數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)指導(dǎo)分委員會(huì)對(duì)課程的基本要求，但難度上相對(duì)較淺，教材在引入數(shù)學(xué)概念時(shí)先用形象和直觀的例子切入，然后再進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)定義，教材針對(duì)重要概念和方法，介紹了一些工程背景和應(yīng)用性實(shí)例，期望能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生使用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的習(xí)慣與意識(shí)。

書籍目錄

序第一章 函數(shù)與極限  第一節(jié) 函數(shù)  第二節(jié) 初等函數(shù)  第三節(jié) 數(shù)列的極限  第四節(jié) 函數(shù)的極限  第五節(jié) 無窮小與無窮大  第六節(jié) 極限運(yùn)算法則  第七節(jié) 兩個(gè)重要極限  第八節(jié) 無窮小的比較    第九節(jié) 極限的精確定義  第十節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性  第十一節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性  第十二節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)  復(fù)習(xí)題一第二章  導(dǎo)數(shù)與微分  第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念  第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則  第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)  第四節(jié) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)  第五節(jié) 函數(shù)的微分  第六節(jié) 微元  復(fù)習(xí)題二第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用  第一節(jié) 中值定理  第二節(jié) 羅必塔法則  第三節(jié) 泰勒中值定理  第四節(jié) 函數(shù)單調(diào)性判別法  第五節(jié) 函數(shù)的極值與最值  第六節(jié) 曲線的凹凸性與拐點(diǎn)  第七節(jié) 函數(shù)作用  第八節(jié) 曲線的曲率  第九節(jié) 方程的近似解  復(fù)習(xí)題三第四章 不定積分  第一節(jié) 不定積分的概念和性質(zhì)  第二節(jié) 換元積分法  第三節(jié) 分部積分法  第四節(jié) 幾種特殊類型函數(shù)的積分  復(fù)習(xí)題四第五章 定積分  第一節(jié) 定積分概念  第二節(jié) 定積分的性質(zhì)  第三節(jié) 微積分基本公式  第四節(jié) 定積分的換元法與分部積分法  第五節(jié) 廣義積分初步  第六節(jié) 定積分的近似計(jì)算  復(fù)習(xí)題五第六章 定積分的應(yīng)用  第一節(jié) 平面圖形的面積  第二節(jié) 體積  第三節(jié) 平面曲線的弧長  第四節(jié) 定積分的其他應(yīng)用  復(fù)習(xí)題六第七章 常微分方程  第一節(jié) 微分方程的基本概念  第二節(jié) 可分離變量的微分方程  第三節(jié) 齊次方程  第四節(jié) 一階線性方和  ……第八章 向量代數(shù)與空間解析幾何第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第十章 重積分第十一章 曲線積分與曲面積分第十二章 級(jí)數(shù)附錄附錄A 數(shù)學(xué)軟件介紹附錄B 二階和三階行列式簡介附錄C 極坐標(biāo)簡介附錄D 部分習(xí)題參考答案與提示參考文獻(xiàn)

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