離散數(shù)學基礎教程
出版時間：2009-7 出版社：機械工業(yè)出版社 作者：徐潔磐 頁數(shù)：229
前言
離散數(shù)學教學改革探索的體會.離散數(shù)學是數(shù)學的一大門類,由于它的離散性,使得它在計算機及信息技術應用領域有重要.作用,因此離散數(shù)學作為一門課程已在該領域相關專業(yè)大量開設,自20世紀70年代開始至今已有30余年歷史.隨著科學技術不斷發(fā)展.改革開放不斷深入,我們對離散數(shù)學課程的改革也不斷有新的認識.特別是近年來的變化,促使我們對離散數(shù)學課程的教學改革產(chǎn)生一個新的認識,從而能做出新的調(diào)整.離散數(shù)學課程的變化 1.離散數(shù)學課程教學環(huán)境的變化近年來離散數(shù)學教學環(huán)境產(chǎn)生了重大的變化,這主要表現(xiàn)為： (1)離散數(shù)學課程設置由計算機專業(yè)擴展至信息技術領域的多個專業(yè). (2)離散數(shù)學課程內(nèi)容由少量數(shù)學分支領域(數(shù)理邏輯.集合論.代數(shù)系統(tǒng)及圖論等)擴展至多種數(shù)學分支領域(如組合數(shù)學.數(shù)論.有限自動機等). (3)離散數(shù)學課程教學課時數(shù)出現(xiàn)了由多到少的傾向,據(jù)2008年的不完全統(tǒng)計,離散數(shù)學課時數(shù)由以前的平均90學時下降至平均78學時. (4)由于高等教育由精英化逐漸走向大眾化,因此離散數(shù)學參學學生人數(shù)越來越多但起點逐年降低.以上四點可歸結(jié)成下面的一句話：“離散數(shù)學課程參學人數(shù)及專業(yè)數(shù)越來越多,要求越來越高,但教學課時數(shù)越來越少,參學學生起點越來越低.這就形成了當前離散數(shù)學教學中的巨大的矛盾與差異,而設法解決這些問題就成為離散數(shù)學課程教學改革的當務之急. 2.離散數(shù)學課程教學對象的變化由離散數(shù)學課程教學環(huán)境的變化而引起了教學對象的變化.從廣度看,離散數(shù)學課程的教學對象已由僅對計算機相關專業(yè)學生而擴充到計算機及信息技術領域的各專業(yè)(如自動化.通信.電子信息安全等專業(yè))學生.而從所學層次看,離散數(shù)學課程的教學對象又可分為研究型本科.工程型本科.應用型本科以及高職高專等多個層次.離散數(shù)學課程教學對象的變化反映了對離散數(shù)學課程需求的變化是引發(fā)課程改革的原進一步的理論需求(如論文撰寫及理論研究)提供基礎. 3.培養(yǎng)學生離散建模能力,為學生以后在工作中用離散數(shù)學作工具應用于本專業(yè)的研究與開發(fā)提供相應能力.根據(jù)以上的目標,離散數(shù)學目前已成為計算機及IT相關專業(yè)的必修課程及核心課程.根據(jù)以上三點變化,我們必須對離散數(shù)學課程改革提出新的思想與方案,即下面所介紹的一.二.三原則.離散數(shù)學課程教學改革的一,二,三原則 1.離散數(shù)學課程的兩層結(jié)構體系由于離散數(shù)學參學人群的專業(yè)不一.需求不一以及開設課時不一,因此在教學中存在一定差異,特別是在教學內(nèi)容要求上并不一致,為此需對其教學內(nèi)容作分析：首先,離散數(shù)學課程有一個基本的.共同的內(nèi)容要求.它們是離散數(shù)學的基本的.必需的部分.一般認為,它們是集合論.代數(shù)系統(tǒng).圖論及數(shù)理邏輯.(詳細原因可參見本書第一篇.)其次,離散數(shù)學課程內(nèi)容允許有差異性,即允許存在不同要求的內(nèi)容.它們是離散數(shù)學的可選擇部分,包括組合數(shù)學.數(shù)論.離散概率.有限自動機理論.遞歸函數(shù)論等.離散數(shù)學的必需部分與可選部分構成了一個完整的課程體系,即兩層結(jié)構體系.它既保證了離散數(shù)學的基本要求,同時也滿足離散數(shù)學的不同要求.根據(jù)不同專業(yè)與學生的不同層次,可以選取不同的內(nèi)容以滿足不同的要求2.離散數(shù)學課程的三種分類教學方法在離散數(shù)學課程中的教學內(nèi)容涉及多個不同方面,它包括對以上三個離散數(shù)學教學的不同方面,建議采用三級分類制(它類似于高等數(shù)學的四級分類制) (1)分類1：對離散數(shù)學分類1,可采用內(nèi)容深.范圍寬但釋義少,它的適合范圍以研究型學校為主 (2)分類2：對離散數(shù)學分類2,可采用內(nèi)容.范圍及釋義均適中為宜,它的適合范圍以工程型學校為主 (3)分類3：對離散數(shù)學分類3,可采用內(nèi)容淺.范圍狹但釋義多,它的適合范圍以應用型學校為主.三級分類制有助于適應不同專業(yè).不同層次.不同需求以及不同學生的要求,增強離散數(shù)學課程教學的靈活性與適應性,避免一刀切的現(xiàn)象. 3.離散數(shù)學課程教學的一項新任務——離散建模離散數(shù)學是一門工具,它為計算機及汀專業(yè)日后研究與開發(fā)提供理論支撐.計算機及信息技術領域各專業(yè)學生對它的學習與數(shù)學專業(yè)學生有不同之處,它不是以研究與發(fā)展數(shù)學本身為目的,而是以研究與開發(fā)計算機及IT領域的應用為目的,因此在離散數(shù)學課程教學中必須增加離散建模內(nèi)容,這是科學技術發(fā)展對離散數(shù)學教學提出的新任務.離散建模一般包括在研究中建立理論模型以及在開發(fā)應用中建立應用模型,因此這種建模對三種分類方法都是必需的.上面所給出的一(一項新任務：離散建模).二(二層結(jié)構體系).三(三種分類方法)原則為離散數(shù)學課程教學改革提供了新的方法與手段.它可以改變目前離散數(shù)學課程教學中死板.僵化的格局,促進離散數(shù)學課程教學中的多樣化與靈活性,以期回歸離散數(shù)學教學需求的真實面目.離散數(shù)學教材的編寫 1.教材定位以上面所述的離散數(shù)學課程教學改革的一.二.三原則為指導,在離散數(shù)學教材的建設方面,也應注重多樣化和多品種,以適應不同層次及不同分類的需要,而在多種需要面前,目前最為迫切建設的是以基本必需部分為主的分類3型教材,這主要是由于修讀此類的學生人數(shù)比例較大,約占所學人數(shù)2／3左右,而目前市場上此類教材所占比例又很少.因此,本教材編寫定位即以分類3為準.其內(nèi)容與范圍以少而精為原則,而釋義則以講透.講深為原則.適用對象以應用型本科學生為主. 2.教材編寫內(nèi)容編寫內(nèi)容包括必需的四個部分：集合論.代數(shù)系統(tǒng).圖論及數(shù)理邏輯,還包括離散建模. 3.教材編寫的基本原則在本教材的具體編寫中,則堅持以下五項基本原則： (1)內(nèi)容少而精：在內(nèi)容選材上堅持少而精,選取具有代表性的核心內(nèi)容,通過精講精練達,到單一反三的效果. (2)釋義清楚：教材是面向?qū)W生的,為使學生接受離散數(shù)學抽象思維與離散思維內(nèi)容.培養(yǎng)相應能力,在教材中必須對離散數(shù)學的基本概念與性質(zhì)作詳細的釋義,即不但要了解數(shù)學的抽象表示,更要注重其形式語義,使學生能掌握它們的精髓并能靈活應用. (3)學以致用：在本教材中增設離散建模內(nèi)容,介紹離散建模的一般原理,并精選五個著名實例,通過此部分內(nèi)容學習使學生能初步掌握運用離散數(shù)學作工具來解決實際問題的能力. (4)篇幅短小：在本教材中由于內(nèi)容精練且減少了過于復雜.繁瑣的證明環(huán)節(jié),因而做到了篇幅短小,一般適合70學時左右的教學需要. (5)適合教學：本教材配有大量習題及思考題,同時每章都有學習小結(jié).每篇都有學習總結(jié),全書還配有電子教案供教師教學之用.同時,本書還會配套相關輔助教材. 4.教材特色 (1)本教材在國內(nèi)首先系統(tǒng)引入并介紹了離散建模,將離散數(shù)學與計算機以及IT領域應用相結(jié)合,從而使離散數(shù)學這門課程真正融入計算機及信息技術領域中. (2)本教材在突出重點.壓縮內(nèi)容上也取得突破,達到了少而精的目的,同時也能充分適應國內(nèi)課時減少的需要. (3)本教材的四個核心內(nèi)容(集合論.代數(shù)系統(tǒng).圖論及數(shù)理邏輯)堅持其獨立性與關聯(lián)性.所謂獨立性,即每部分內(nèi)容具有各自特色,它們之間不存在依賴關系,每個部分內(nèi)容不以其他部分內(nèi)容為先導,所謂關聯(lián)性,即要強調(diào)各部分內(nèi)容間的共性.教材中的獨立性與關聯(lián)性兩者不可缺一,它們的有機結(jié)合構成了教材的完整與統(tǒng)一的體系. 5.教材組織結(jié)構本教材共五篇12章,內(nèi)容順序包括緒言.集合論(共三章).代數(shù)系統(tǒng)(共三聿).圖論(共二章).數(shù)理邏輯(共二章)以及離散建模(共二章)等,其重點為集合論與數(shù)理邏輯,書中標有“*”的章節(jié)不是必需的,僅供參考選擇之用.致謝最后,在本書付梓之際,感謝南京航天航空大學呂義忠教授為審閱本書所作出的辛勤勞動,同時感謝南京大學計算機系及計算機軟件新技術國家重點實驗室的費翔林教授.徐永森教授.朱懷宏副教授及柏文陽副教授為本書所提供的支持.由于作者水平有限,書中難免存在不足之處,懇請讀者不吝賜教. ...徐潔磐南京大學計算機科學與技術系南京大學計算機軟件新技術國家重點實驗室 2009年3月
內(nèi)容概要
本書共五篇12章，將離散數(shù)學按總論、主要內(nèi)容及應用的順序進行講解，其中主要內(nèi)容部分講述離散數(shù)學中的四個核心內(nèi)容（集合論、代數(shù)系統(tǒng)、圖論與數(shù)理邏輯），應用部分在國內(nèi)首先系統(tǒng)引入和介紹了離散建模的相關內(nèi)容，并將離散數(shù)學與計算機以及IT領域應用相結(jié)合，從而使離散數(shù)學這門課程真正融入計算機及信息技術領域中。 全書在內(nèi)容選材上上堅持少而精，選取具有代表性的核心內(nèi)容，通過精講精練達到舉一反三的效果；釋義則以講透、講深為原則，不但要使學生了解數(shù)學的抽象表示，更要注重其形式語義，掌握它們的精髓并能靈活應用；增設離散建模內(nèi)容，介紹離散建模的一般原理，并精選五個著名實例，使學生能初步掌握運用離散數(shù)學解決實際問題的能力?！ ”緯勺鳛槠胀ǜ叩仍盒Ｓ嬎銠C及相關專業(yè)的本科離散數(shù)學課程教材，也可供計算機應用開發(fā)人員參考。
作者簡介
徐潔磐，南京大學計算機科學與技術系教授，長期從事計算機理論和離散數(shù)學的教學與研究，曾任中國離散數(shù)學學會理事長，主持制訂我國第一部離散數(shù)學教學大綱，編寫了我國第一部原創(chuàng)離散數(shù)學教材《離散數(shù)學導論》（國家級規(guī)劃教材），還著有《離散數(shù)學及其在計算機科學中的應用
書籍目錄
序緒言第一篇 集合論 第1章 集合論基礎 1.1 集合的基本概念 1.2 集合的表示方法 1.2.1 枚舉法 1.2.2 特性刻劃法 1.3 集合概念間的關系 1.3.1 集合與元素間的關系 1.3.2 集合與集合間的關系 1.3.3 集合相交中的兩個特殊關系 1.4 集合概念的基本性質(zhì) 1.5 集合運算 1.6 集合運算的應用 1.7 擴充的集合運算之一——差運算與對稱差運算 1.8 擴充的集合運算之二——冪運算 1.9 擴充的集合運算之三——笛卡兒乘 1.9.1 序偶 1.9.2 笛卡兒乘 1.9.3 n元有序組與n階笛卡兒乘積 本章小結(jié) 習題一 第2章 關系 2.1 關系的基本概念 2.2 關系的表示 2.2.1 枚舉法 2.2.2 特性刻劃法 2.2.3 矩陣表示法 2.2.4 圖示法 2.3 關系的性質(zhì) 2.4 關系運算 2.4.1 關系的并、交、補運算 2.4.2 關系的復合運算與逆運算 2.4.3 關系上的閉包運算 2.5 兩種常用的關系 2.5.1 次序關系 2.5.2 等價關系 2.6 n元關系 本章小結(jié) 習題二 第3章 函數(shù)與無限集 3.1 函數(shù)的基本概念 3.2 函數(shù)的表示 3.3 函數(shù)的分類 3.4 函數(shù)運算 3.4.1 函數(shù)的復合運算 3.4.2 函數(shù)的逆運算 3.5 幾種常用函數(shù) 3.6 多元函數(shù) 3.7 有限集與無限集 本章小結(jié) 習題三 第一篇總結(jié) 第一篇附錄第二篇 代數(shù)系統(tǒng) 第4章 代數(shù)系統(tǒng)概論 4.1 代數(shù)系統(tǒng)介紹 4.2 代數(shù)運算中的常見性質(zhì) 4.3 代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構 4.4 代數(shù)系統(tǒng)的分類 本章小結(jié) 習題四 第5章 群論 5.1 半群 5.2 群 5.2.1 群及其性質(zhì) 5.2.2 群同態(tài)與變換群 5.2.3 有限群 5.2.4 循環(huán)群 5.2.5 子群與正規(guī)子群 本章小結(jié) 習題五 第6章 環(huán)論與格論 第三篇 圖論 第7章 圖論原理 第8章 樹 第四篇 數(shù)理邏輯 第9章 命題邏輯 第10章 謂詞邏輯 第五篇 離散建模 第11章 離散建模概念與方法 第12章 離散建模應用實例附錄 中英文名詞對照表參考文獻
章節(jié)摘錄
插圖：2.5兩種常用的關系在關系中有兩種關系是我們經(jīng)常需要用到的，它們是次序關系與等價關系，它們都是滿足某些性質(zhì)（自反性、對稱性及傳遞性）的特殊關系。2.5.1 次序關系“次序”是我們經(jīng)常碰到的一種關系，在日常生活中所遇到的“次序”關系是很多的，如體育競賽中的排名、姓氏筆劃排序、字典次序排序以及多項指標綜合排序等。在這節(jié)中我們將這些次序關系分為三種類型并用關系理論加以定義與研究，它們是：·偏序關系·線性次序關系·擬序關系在次序關系中我們將用關系的三個性質(zhì)去刻劃。一般講，次序關系必滿足反對稱性與傳遞性。這兩個性質(zhì)是構成次序關系的必要條件。以此為基本準則再加上滿足自反性的條件將次序關系分為兩種：·偏序關系——滿足自反性的次序關系，即滿足自反性、反對稱性及傳遞性?！M序關系——滿足反自反性的次序關系，即滿足反自反性、反對稱性及傳遞性。進一步，我們可對偏序關系作分解，在偏序關系中有兩種排列次序，一種是所有元素均能順序排序而另一種則不能。我們將重點討論前面的一種，它稱為線性次序關系或全序關系?！ぞ€性次序關系——所有元素均能順序排列的偏序關系。下面我們分別討論這三種關系。
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