數學建模方法與分析

前言

在葉其孝教授和姜啟源教授的推薦下，我們有幸閱讀了本書英文版。不同于通常所見到的關于數學建模的書，本書使我們有一種耳目一新的感覺。本書最顯著的特點是作者將數學建模的過程，也就是解決實際問題的數學建模方法歸結為五個步驟（書中稱之為“五步方法”），并且貫穿全書各類問題的分析和討論當中，它們是：1．提出問題；2．選擇建模方法；3．推導模型的數學表達式；4．求解模型；5．回答問題。這是我們在進行數學建模時的一種科學的思維方式，特別是它可以有效地幫助初學者步入數學建模的天門。第一步的“提出問題”也就是我們常說的用數學語言表述實際問題的前提，包括合理的假設、引入變量和參數（帶有恰當的單位及已知的關系）、明確求解的目標。這是成功建立數學模型的關鍵。最后一步“回答問題”也就是我們常說的用通俗的語言表述數學結論，使得最初提出問題的人能理解你通過數學模型給出的結論。這是數學模型實現(xiàn)其實用價值的關鍵。這種數學語言與非數學語言的“雙向翻譯”能力是數學建模過程中的薄弱環(huán)節(jié)。為解決這個問題，書中不僅通過對每個問題的討論給予很好的示范，而且配備了大量的習題。同一個實際問題（如鯨魚問題）在不同章節(jié)的習題中反復出現(xiàn)，不斷地要求應用五步方法，引導學生從不同的角度考慮，結合不同的數學模型進行討論。所有這些對于希望提高數學建模能力的讀者來說是非常有益的。本書的第二個特點是如何使用數學模型來解決實際問題。在數學上，解決問題只需要根據問題的條件通過數學上的分析得到所需要的結論，這樣工作就完成了。但是當你面對一個實際問題并使用數學模型歸結為數學問題之后，通過對模型的數學分析給出解答并不意味著實際問題已經完全解決了。因為在建模的過程中通過假設問題被簡化了，對參數給出的估計往往是近似的。這種簡化和近似對于實際問題有多大影響？這也是數學建模工作者在解決實際問題時所必須面對的問題。本書提出了在組建數學模型并且求解得到結論之后的一項重要工作：關于模型的靈敏性和穩(wěn)健性的分析，這是非常必要的。這一分析也貫穿于全書各類問題的討論之中。這在我國現(xiàn)有的數學建模教材中是很少見的。實際問題的復雜性和隨機因素的影響都難以保證我們所做的假設是完全正確的，觀測數據存在的誤差也會影響到人們對結論的信心。因此，對參數進行靈敏性分析，可以確定結論的實用范圍；對模型進行穩(wěn)健性分析，可以斷定從一個不完全精確的模型導出的結論是否對實際問題有價值，從而提高了數學模型的結論的有效性。這些分析對于數學建模工作者來說不僅必要而且十分重要。為此作者在書中精心選擇和設計了所使用的例題和習題。

內容概要

　　本書系統(tǒng)介紹數學建模的理論及應用，作者將數學建模的過程歸結為五個步驟（即“五步方法”），并貫穿全書各類問題的分析和討論中。本書闡述了如何使用數學模型來解決實際問題，提出了在組建數學模型并且求解得到結論之后如何進行靈敏性和穩(wěn)健性分析。此外，將數學建模方法與計算機的使用密切結合，不僅通過對每個問題的討論給了很好的示范，而且配備了大量的習題?！　”緯m合作為高等院校相關課程的教材和參考書，也可供參加國內外數學建模競賽的人員參考?！　”緯岢隽艘环N通用的數學建模方法——五步方法，幫助讀者迅速掌握數學建模的真諦。作者以引人人勝的方式描述廠數學模型的3個主要領域：最優(yōu)化．動力系統(tǒng)和隨機過程。本書以實用的方法解決各式各樣的現(xiàn)實問題，包括空間飛船的對接、傳染病的增長率和野生生物的管理等。此外，本書根據需要詳細介紹了解決問題所需要的數學知識。　　本版新增內容　　增加了關于時間序列分析和擴散模型的新節(jié)。　　關注國際性問題，如經濟預測、人口控制、蓄水池。此外，更新了最優(yōu)化問題。

作者簡介

　　Mark M．Meerschaert美國密歇根州立大學概率統(tǒng)計系主任，內華達大學物理系教授。他曾在密歇根大學，英格蘭學院、新西蘭達尼丁Otago大學執(zhí)教，講授過數學建模、概率、統(tǒng)計學。運籌學、偏微分方程、地下水及地表水水文學與統(tǒng)計物理學課程。他當前的研究方向包括無限方差概

書籍目錄

譯者序譯者簡介前言第一部分  最優(yōu)化模型　第1章  單變量最優(yōu)化  　1.1  五步方法　  1.2  靈敏性分析　  1.3  靈敏性與穩(wěn)健性　  1.4　習題　  1.5　進一步閱讀文獻　第2章  多變量最優(yōu)化　　2.1　無約束最優(yōu)化　　2.2　拉格朗日乘子　　2.3　靈敏性分析與影子價格　　2.4　習題　　2.5　進一步閱讀文獻　第3章  最優(yōu)化計算方法　　3.2　多變量最優(yōu)化　　3.3　線性規(guī)劃　　3.4　離散最優(yōu)化　　3.5　習題　　3.6　進一步閱讀文獻第二部分  動態(tài)模型　第4章  動態(tài)模型介紹　　4.1　定常態(tài)分析　　4.2　動力系統(tǒng)　　4.3　離散時間的動力系統(tǒng)　　4.4　習題　　4.5　進一步閱讀文獻　第5章  動態(tài)模型分析　　5.1　特征值方法　　5.2　離散系統(tǒng)的特征值方法　　5.3　相圖　　5.4　習題　　5.5　進一步閱讀文獻　第6章  動態(tài)模型的模擬　　6.1　模擬簡介　　6.2　連續(xù)時間模型　　6.3　歐拉方法　　6.4　混沌與分形　　6.5　習題　　6.6　進一步閱讀文獻第三部分  概率模型　第7章  概率模型簡介　　7.1　離散概率模型　　7.2　連續(xù)概率模型　　7.3　統(tǒng)計學簡介　　7.4　擴散　　7.5　習題　　7.6　進一步閱讀文獻　第8章  隨機模型　　8.1　馬爾可夫鏈　　8.2　馬爾可夫過程　　8.3　線性回歸　　8.4　時間序列　　8.5　習題　　8.6　進一步閱讀文獻　第9章  概率模型的模擬　　9.1　蒙特卡羅模擬　　9.2　馬爾可夫性質　　9.3　解析模擬　　9.4　習題　　9.5　進一步閱讀文獻后記

章節(jié)摘錄

插圖：第一部分最優(yōu)化模型第1章單變量最優(yōu)化解決最優(yōu)化問題是數學的一些最為常見的應用。無論我們進行何種工作，我們總是希望達到最好的結果，而使不好的方面或消耗等降到最低。企業(yè)管理人員試圖通過對一些變量的控制使收益達到最大，或在達到某一預期目標的前提下使成本最低。經營漁業(yè)及林業(yè)等可更新資源的管理者要通過控制收成率來達到長期產量的最大化；政府機構需要建立一些標準，使生產生活消費品的環(huán)境成本降到最低；計算機的系統(tǒng)管理員要使計算機的處理能力達到最大，而使作業(yè)的延遲最少；農民會盡量調整種植空間從而使收獲最高；醫(yī)生則要合理使用藥物使其副作用降到最低。這些以及許多其他的應用都有一個共同的數學模式：有一個或多個可以控制的變量，它們通常要受一些實際中的限制，通過對這些變量的控制，使某個其他的變量達到最優(yōu)的結果。最優(yōu)化模型的構思正是給定問題的約束條件，確定受約束的可控變量的取值，以達到最優(yōu)結果。

后記

數學是解決問題的語言，是所有科學和技術的核心。接受數學教育的優(yōu)點是使你可以自由地選擇從事任何你能夠想到的技術方面的職業(yè)。下面我們將簡要地介紹一些數學專業(yè)的學生可以從事的常見職業(yè)。這些建議適用于獲得數學學位的學生，當然不僅限于這些人，它同樣也適用于獲得其他學科領域的學位并得到了較好的數學訓練的學生。此外，我們還會對如何利用數學知識來解決實際問題從而在工作中取得成功給出一些建議。大多數學生所考慮的第一個問題是直接工作還是繼續(xù)攻讀更高一級的學位。我們首先介紹數學專業(yè)的大學畢業(yè)生和碩士研究生可以選擇的豐富的就業(yè)機會。當前數學專業(yè)的學生的首選工作是計算機行業(yè)。能夠把高等數學與高級程序設計、操作系統(tǒng)和數據結構等計算課程結合起來的學生，將可以在工業(yè)領域找到各種各樣的就業(yè)機會。事實上，隨著計算機就業(yè)市場的競爭日趨激烈，熟悉計算機的學生希望拓寬他們的專業(yè)領域以提升自己，數學是最好的途徑之一。同樣重要的是，要確保學會一種通用的編程語言，如CFORTRAN。計算是一種很好的技能，它可以為你打開許多扇就業(yè)的大門。當你得到一份工作并證明你的計算能力后，你會發(fā)現(xiàn)還會出現(xiàn)許多其他的機會。數學專業(yè)畢業(yè)生的另一個很好的工作是保險精算。保險精算公司經常只根據學校中的成績來聘用一位好的數學專業(yè)的學生，如果你確實對保險精算感興趣，一個很好的做法是在畢業(yè)之前通過保險精算的第一次考試（包括概率論）。成為一個完全合格的保險精算師需要通過一系列的考試。保險精算學的一些研究生課程有助于你準備這些考試，你也可以選擇自學。如果你有能力并且不斷地自我提高，在十年甚至更少的時間內就可以達到這個非常有意思而且收入豐厚的行業(yè)的頂點。幾乎每一家財富500強公司都至少有一位副總裁是保險精算師。在保險公司和獨立的精算公司中都有很多的就業(yè)機會，保險精算師為這些公司做數學建模的工作。對于那些對商業(yè)有濃厚興趣的人，這是一個非常好的途徑，而且你不需要參加任何關于商業(yè)、經濟或會計的課程來取得資格認證。

媒體關注與評論

“這是一本很好的數學建模教科書，其中的數學知識非常有用，符合本科生數學建模課程的教學要求?！?　　　　　　——John E.Doner，加州大學圣芭邑拉分校數學系

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