數(shù)學(xué)建模方法與分析

前言

在葉其孝教授和姜啟源教授的推薦下，我們有幸閱讀了本書(shū)英文版。不同于通常所見(jiàn)到的關(guān)于數(shù)學(xué)建模的書(shū)，本書(shū)使我們有一種耳目一新的感覺(jué)。本書(shū)最顯著的特點(diǎn)是作者將數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，也就是解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模方法歸結(jié)為五個(gè)步驟（書(shū)中稱之為“五步方法”），并且貫穿全書(shū)各類問(wèn)題的分析和討論當(dāng)中，它們是：1．提出問(wèn)題；2．選擇建模方法；3．推導(dǎo)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式；4．求解模型；5．回答問(wèn)題。這是我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí)的一種科學(xué)的思維方式，特別是它可以有效地幫助初學(xué)者步入數(shù)學(xué)建模的天門(mén)。第一步的“提出問(wèn)題”也就是我們常說(shuō)的用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述實(shí)際問(wèn)題的前提，包括合理的假設(shè)、引入變量和參數(shù)（帶有恰當(dāng)?shù)膯挝患耙阎年P(guān)系）、明確求解的目標(biāo)。這是成功建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵。最后一步“回答問(wèn)題”也就是我們常說(shuō)的用通俗的語(yǔ)言表述數(shù)學(xué)結(jié)論，使得最初提出問(wèn)題的人能理解你通過(guò)數(shù)學(xué)模型給出的結(jié)論。這是數(shù)學(xué)模型實(shí)現(xiàn)其實(shí)用價(jià)值的關(guān)鍵。這種數(shù)學(xué)語(yǔ)言與非數(shù)學(xué)語(yǔ)言的“雙向翻譯”能力是數(shù)學(xué)建模過(guò)程中的薄弱環(huán)節(jié)。為解決這個(gè)問(wèn)題，書(shū)中不僅通過(guò)對(duì)每個(gè)問(wèn)題的討論給予很好的示范，而且配備了大量的習(xí)題。同一個(gè)實(shí)際問(wèn)題（如鯨魚(yú)問(wèn)題）在不同章節(jié)的習(xí)題中反復(fù)出現(xiàn)，不斷地要求應(yīng)用五步方法，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度考慮，結(jié)合不同的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行討論。所有這些對(duì)于希望提高數(shù)學(xué)建模能力的讀者來(lái)說(shuō)是非常有益的。本書(shū)的第二個(gè)特點(diǎn)是如何使用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。在數(shù)學(xué)上，解決問(wèn)題只需要根據(jù)問(wèn)題的條件通過(guò)數(shù)學(xué)上的分析得到所需要的結(jié)論，這樣工作就完成了。但是當(dāng)你面對(duì)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題并使用數(shù)學(xué)模型歸結(jié)為數(shù)學(xué)問(wèn)題之后，通過(guò)對(duì)模型的數(shù)學(xué)分析給出解答并不意味著實(shí)際問(wèn)題已經(jīng)完全解決了。因?yàn)樵诮５倪^(guò)程中通過(guò)假設(shè)問(wèn)題被簡(jiǎn)化了，對(duì)參數(shù)給出的估計(jì)往往是近似的。這種簡(jiǎn)化和近似對(duì)于實(shí)際問(wèn)題有多大影響？這也是數(shù)學(xué)建模工作者在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)所必須面對(duì)的問(wèn)題。本書(shū)提出了在組建數(shù)學(xué)模型并且求解得到結(jié)論之后的一項(xiàng)重要工作：關(guān)于模型的靈敏性和穩(wěn)健性的分析，這是非常必要的。這一分析也貫穿于全書(shū)各類問(wèn)題的討論之中。這在我國(guó)現(xiàn)有的數(shù)學(xué)建模教材中是很少見(jiàn)的。實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜性和隨機(jī)因素的影響都難以保證我們所做的假設(shè)是完全正確的，觀測(cè)數(shù)據(jù)存在的誤差也會(huì)影響到人們對(duì)結(jié)論的信心。因此，對(duì)參數(shù)進(jìn)行靈敏性分析，可以確定結(jié)論的實(shí)用范圍；對(duì)模型進(jìn)行穩(wěn)健性分析，可以斷定從一個(gè)不完全精確的模型導(dǎo)出的結(jié)論是否對(duì)實(shí)際問(wèn)題有價(jià)值，從而提高了數(shù)學(xué)模型的結(jié)論的有效性。這些分析對(duì)于數(shù)學(xué)建模工作者來(lái)說(shuō)不僅必要而且十分重要。為此作者在書(shū)中精心選擇和設(shè)計(jì)了所使用的例題和習(xí)題。

內(nèi)容概要

　　本書(shū)系統(tǒng)介紹數(shù)學(xué)建模的理論及應(yīng)用，作者將數(shù)學(xué)建模的過(guò)程歸結(jié)為五個(gè)步驟（即“五步方法”），并貫穿全書(shū)各類問(wèn)題的分析和討論中。本書(shū)闡述了如何使用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，提出了在組建數(shù)學(xué)模型并且求解得到結(jié)論之后如何進(jìn)行靈敏性和穩(wěn)健性分析。此外，將數(shù)學(xué)建模方法與計(jì)算機(jī)的使用密切結(jié)合，不僅通過(guò)對(duì)每個(gè)問(wèn)題的討論給了很好的示范，而且配備了大量的習(xí)題?！　”緯?shū)適合作為高等院校相關(guān)課程的教材和參考書(shū)，也可供參加國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的人員參考。　　本書(shū)提出了一種通用的數(shù)學(xué)建模方法——五步方法，幫助讀者迅速掌握數(shù)學(xué)建模的真諦。作者以引人人勝的方式描述廠數(shù)學(xué)模型的3個(gè)主要領(lǐng)域：最優(yōu)化．動(dòng)力系統(tǒng)和隨機(jī)過(guò)程。本書(shū)以實(shí)用的方法解決各式各樣的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，包括空間飛船的對(duì)接、傳染病的增長(zhǎng)率和野生生物的管理等。此外，本書(shū)根據(jù)需要詳細(xì)介紹了解決問(wèn)題所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)?！　”景嫘略鰞?nèi)容　　增加了關(guān)于時(shí)間序列分析和擴(kuò)散模型的新節(jié)?！　￡P(guān)注國(guó)際性問(wèn)題，如經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)、人口控制、蓄水池。此外，更新了最優(yōu)化問(wèn)題。

作者簡(jiǎn)介

　　Mark M．Meerschaert美國(guó)密歇根州立大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)系主任，內(nèi)華達(dá)大學(xué)物理系教授。他曾在密歇根大學(xué)，英格蘭學(xué)院、新西蘭達(dá)尼丁Otago大學(xué)執(zhí)教，講授過(guò)數(shù)學(xué)建模、概率、統(tǒng)計(jì)學(xué)。運(yùn)籌學(xué)、偏微分方程、地下水及地表水水文學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)課程。他當(dāng)前的研究方向包括無(wú)限方差概

書(shū)籍目錄

譯者序譯者簡(jiǎn)介前言第一部分  最優(yōu)化模型　第1章  單變量最優(yōu)化  　1.1  五步方法　  1.2  靈敏性分析　  1.3  靈敏性與穩(wěn)健性　  1.4　習(xí)題　  1.5　進(jìn)一步閱讀文獻(xiàn)　第2章  多變量最優(yōu)化　　2.1　無(wú)約束最優(yōu)化　　2.2　拉格朗日乘子　　2.3　靈敏性分析與影子價(jià)格　　2.4　習(xí)題　　2.5　進(jìn)一步閱讀文獻(xiàn)　第3章  最優(yōu)化計(jì)算方法　　3.2　多變量最優(yōu)化　　3.3　線性規(guī)劃　　3.4　離散最優(yōu)化　　3.5　習(xí)題　　3.6　進(jìn)一步閱讀文獻(xiàn)第二部分  動(dòng)態(tài)模型　第4章  動(dòng)態(tài)模型介紹　　4.1　定常態(tài)分析　　4.2　動(dòng)力系統(tǒng)　　4.3　離散時(shí)間的動(dòng)力系統(tǒng)　　4.4　習(xí)題　　4.5　進(jìn)一步閱讀文獻(xiàn)　第5章  動(dòng)態(tài)模型分析　　5.1　特征值方法　　5.2　離散系統(tǒng)的特征值方法　　5.3　相圖　　5.4　習(xí)題　　5.5　進(jìn)一步閱讀文獻(xiàn)　第6章  動(dòng)態(tài)模型的模擬　　6.1　模擬簡(jiǎn)介　　6.2　連續(xù)時(shí)間模型　　6.3　歐拉方法　　6.4　混沌與分形　　6.5　習(xí)題　　6.6　進(jìn)一步閱讀文獻(xiàn)第三部分  概率模型　第7章  概率模型簡(jiǎn)介　　7.1　離散概率模型　　7.2　連續(xù)概率模型　　7.3　統(tǒng)計(jì)學(xué)簡(jiǎn)介　　7.4　擴(kuò)散　　7.5　習(xí)題　　7.6　進(jìn)一步閱讀文獻(xiàn)　第8章  隨機(jī)模型　　8.1　馬爾可夫鏈　　8.2　馬爾可夫過(guò)程　　8.3　線性回歸　　8.4　時(shí)間序列　　8.5　習(xí)題　　8.6　進(jìn)一步閱讀文獻(xiàn)　第9章  概率模型的模擬　　9.1　蒙特卡羅模擬　　9.2　馬爾可夫性質(zhì)　　9.3　解析模擬　　9.4　習(xí)題　　9.5　進(jìn)一步閱讀文獻(xiàn)后記

章節(jié)摘錄

插圖：第一部分最優(yōu)化模型第1章單變量最優(yōu)化解決最優(yōu)化問(wèn)題是數(shù)學(xué)的一些最為常見(jiàn)的應(yīng)用。無(wú)論我們進(jìn)行何種工作，我們總是希望達(dá)到最好的結(jié)果，而使不好的方面或消耗等降到最低。企業(yè)管理人員試圖通過(guò)對(duì)一些變量的控制使收益達(dá)到最大，或在達(dá)到某一預(yù)期目標(biāo)的前提下使成本最低。經(jīng)營(yíng)漁業(yè)及林業(yè)等可更新資源的管理者要通過(guò)控制收成率來(lái)達(dá)到長(zhǎng)期產(chǎn)量的最大化；政府機(jī)構(gòu)需要建立一些標(biāo)準(zhǔn)，使生產(chǎn)生活消費(fèi)品的環(huán)境成本降到最低；計(jì)算機(jī)的系統(tǒng)管理員要使計(jì)算機(jī)的處理能力達(dá)到最大，而使作業(yè)的延遲最少；農(nóng)民會(huì)盡量調(diào)整種植空間從而使收獲最高；醫(yī)生則要合理使用藥物使其副作用降到最低。這些以及許多其他的應(yīng)用都有一個(gè)共同的數(shù)學(xué)模式：有一個(gè)或多個(gè)可以控制的變量，它們通常要受一些實(shí)際中的限制，通過(guò)對(duì)這些變量的控制，使某個(gè)其他的變量達(dá)到最優(yōu)的結(jié)果。最優(yōu)化模型的構(gòu)思正是給定問(wèn)題的約束條件，確定受約束的可控變量的取值，以達(dá)到最優(yōu)結(jié)果。

后記

數(shù)學(xué)是解決問(wèn)題的語(yǔ)言，是所有科學(xué)和技術(shù)的核心。接受數(shù)學(xué)教育的優(yōu)點(diǎn)是使你可以自由地選擇從事任何你能夠想到的技術(shù)方面的職業(yè)。下面我們將簡(jiǎn)要地介紹一些數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生可以從事的常見(jiàn)職業(yè)。這些建議適用于獲得數(shù)學(xué)學(xué)位的學(xué)生，當(dāng)然不僅限于這些人，它同樣也適用于獲得其他學(xué)科領(lǐng)域的學(xué)位并得到了較好的數(shù)學(xué)訓(xùn)練的學(xué)生。此外，我們還會(huì)對(duì)如何利用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題從而在工作中取得成功給出一些建議。大多數(shù)學(xué)生所考慮的第一個(gè)問(wèn)題是直接工作還是繼續(xù)攻讀更高一級(jí)的學(xué)位。我們首先介紹數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)畢業(yè)生和碩士研究生可以選擇的豐富的就業(yè)機(jī)會(huì)。當(dāng)前數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生的首選工作是計(jì)算機(jī)行業(yè)。能夠把高等數(shù)學(xué)與高級(jí)程序設(shè)計(jì)、操作系統(tǒng)和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)等計(jì)算課程結(jié)合起來(lái)的學(xué)生，將可以在工業(yè)領(lǐng)域找到各種各樣的就業(yè)機(jī)會(huì)。事實(shí)上，隨著計(jì)算機(jī)就業(yè)市場(chǎng)的競(jìng)爭(zhēng)日趨激烈，熟悉計(jì)算機(jī)的學(xué)生希望拓寬他們的專業(yè)領(lǐng)域以提升自己，數(shù)學(xué)是最好的途徑之一。同樣重要的是，要確保學(xué)會(huì)一種通用的編程語(yǔ)言，如CFORTRAN。計(jì)算是一種很好的技能，它可以為你打開(kāi)許多扇就業(yè)的大門(mén)。當(dāng)你得到一份工作并證明你的計(jì)算能力后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)還會(huì)出現(xiàn)許多其他的機(jī)會(huì)。數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)生的另一個(gè)很好的工作是保險(xiǎn)精算。保險(xiǎn)精算公司經(jīng)常只根據(jù)學(xué)校中的成績(jī)來(lái)聘用一位好的數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，如果你確實(shí)對(duì)保險(xiǎn)精算感興趣，一個(gè)很好的做法是在畢業(yè)之前通過(guò)保險(xiǎn)精算的第一次考試（包括概率論）。成為一個(gè)完全合格的保險(xiǎn)精算師需要通過(guò)一系列的考試。保險(xiǎn)精算學(xué)的一些研究生課程有助于你準(zhǔn)備這些考試，你也可以選擇自學(xué)。如果你有能力并且不斷地自我提高，在十年甚至更少的時(shí)間內(nèi)就可以達(dá)到這個(gè)非常有意思而且收入豐厚的行業(yè)的頂點(diǎn)。幾乎每一家財(cái)富500強(qiáng)公司都至少有一位副總裁是保險(xiǎn)精算師。在保險(xiǎn)公司和獨(dú)立的精算公司中都有很多的就業(yè)機(jī)會(huì)，保險(xiǎn)精算師為這些公司做數(shù)學(xué)建模的工作。對(duì)于那些對(duì)商業(yè)有濃厚興趣的人，這是一個(gè)非常好的途徑，而且你不需要參加任何關(guān)于商業(yè)、經(jīng)濟(jì)或會(huì)計(jì)的課程來(lái)取得資格認(rèn)證。

媒體關(guān)注與評(píng)論

“這是一本很好的數(shù)學(xué)建模教科書(shū)，其中的數(shù)學(xué)知識(shí)非常有用，符合本科生數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)要求?！?　　　　　　——John E.Doner，加州大學(xué)圣芭邑拉分校數(shù)學(xué)系

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