離散數(shù)學(xué)

前言

　　離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)專業(yè)以及應(yīng)用數(shù)學(xué)有關(guān)專業(yè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，也是相應(yīng)專業(yè)研究生入學(xué)考試的一門考試課程。因此，它在計(jì)算機(jī)專業(yè)以及相關(guān)專業(yè)的人才培養(yǎng)中的作用和地位是相當(dāng)重要的。華東理工大學(xué)的相關(guān)專業(yè)從設(shè)立伊始就引入了離散數(shù)學(xué)這門課程，多年來(lái)，老中青三代教師在同一門課程的教學(xué)工作中相互競(jìng)爭(zhēng)又相互合作，形成了一個(gè)很好的工作團(tuán)隊(duì)，也取得了良好的教學(xué)效果。經(jīng)過(guò)若干年持續(xù)不斷的努力，2005年，華東理工大學(xué)離散數(shù)學(xué)課程被批準(zhǔn)為上海市精品課程加以建設(shè)。為了配合這門新誕生的精品課程的教學(xué)，我們編寫了這部《離散數(shù)學(xué)》新教材，希望它的出版能對(duì)建設(shè)這門精品課程、提高全國(guó)理工科大學(xué)離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量起到一點(diǎn)推動(dòng)作用?！　≡谥袊?guó)的大學(xué)里，離散數(shù)學(xué)作為一門獨(dú)立的課程，主要是因計(jì)算機(jī)專業(yè)的需要而開(kāi)設(shè)的，而且，即便是在世界數(shù)學(xué)教育的歷史上，也是在計(jì)算機(jī)成為一個(gè)新興專業(yè)之后才逐漸設(shè)立了離散數(shù)學(xué)這門課程的，因此，相對(duì)許多年代悠久的數(shù)學(xué)課程而言，離散數(shù)學(xué)課程開(kāi)設(shè)較晚，對(duì)于它的教學(xué)內(nèi)容和要求，國(guó)內(nèi)外至今尚無(wú)完全統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，不同作者所編著的教材在內(nèi)容上以及側(cè)重面也有所不同。從國(guó)內(nèi)來(lái)看，目前各個(gè)高校的離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容已有基本統(tǒng)一的要求，其內(nèi)容大致分為以下幾大部分：數(shù)理邏輯基礎(chǔ)；集合論基礎(chǔ)；代數(shù)系統(tǒng)基礎(chǔ)：圖論基礎(chǔ)。這4大部分中，除了最后一部分圖論的整體理論在數(shù)學(xué)史上形成較晚且其中涉及的問(wèn)題大體上屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)的范疇以外（當(dāng)然，其中某些單個(gè)的問(wèn)題依然有較為悠久的歷吏），前面3個(gè)部分都是純粹數(shù)學(xué)中有悠久歷史的獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支。這4個(gè)部分實(shí)際上是當(dāng)今大學(xué)數(shù)學(xué)系以及應(yīng)用數(shù)學(xué)系的4門重要的基礎(chǔ)課程或者專業(yè)基礎(chǔ)課程，要在離散數(shù)學(xué)這一門課程中講授完這4門既有深度又有廣度的數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)內(nèi)容，顯然需要有適當(dāng)?shù)娜∩岷土己玫闹v授方法。本著提高興趣、精簡(jiǎn)教材的目標(biāo)，我們?cè)趯?shí)際教學(xué)中，一方面對(duì)教學(xué)內(nèi)容上作了必要的調(diào)整，適當(dāng)刪減了某些較為困難的內(nèi)容，加強(qiáng)了對(duì)于基礎(chǔ)部分的講述；另一方面利用其他的非教學(xué)時(shí)間，適當(dāng)為感興趣的學(xué)生開(kāi)辦選修課或者講座，選講與離散數(shù)學(xué)這4大數(shù)學(xué)分支有關(guān)、但在正常教學(xué)時(shí)間內(nèi)無(wú)法講述的有趣而且重要的數(shù)學(xué)問(wèn)題，收到了良好的效果。因此，在本書末尾，我們從日常給學(xué)生舉辦的講座中選擇了一些問(wèn)題，寫成了幾篇附錄，以供青年教師和感興趣的學(xué)生以及其他數(shù)學(xué)愛(ài)好者選讀。書末還提供了各部分內(nèi)容所涉及的經(jīng)典著作以及若干現(xiàn)代的參考書籍，可供有志進(jìn)一步學(xué)習(xí)該分支的讀者參考。根據(jù)我們的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于有至少72個(gè)學(xué)時(shí)的教學(xué)計(jì)劃的離散數(shù)學(xué)課程，基本上可以講授完本書正文中的絕大部分內(nèi)容。然而，鑒于目前各高校以及不同專業(yè)的離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)時(shí)數(shù)有較大的差別，因此，建議教師在選用本教材時(shí)要根據(jù)教學(xué)時(shí)數(shù)以及所教授專業(yè)的特點(diǎn)對(duì)于教學(xué)內(nèi)容作適當(dāng)?shù)倪x擇甚至增減。本書帶“*”的章節(jié)為選講內(nèi)容。

內(nèi)容概要

　　《普通高等教育“十一五”規(guī)劃教材：離散數(shù)學(xué)》內(nèi)容主要分為如下幾個(gè)部分：第1部分，數(shù)理邏輯基礎(chǔ)；第2部分，集合論基礎(chǔ)；第3部分，代數(shù)系統(tǒng)基礎(chǔ)；第4部分，圖論基礎(chǔ)。數(shù)理邏輯基礎(chǔ)部分主要講述命題邏輯、謂詞邏輯的基礎(chǔ)理論和它們?cè)谕评砝碚撝械暮?jiǎn)單應(yīng)用；集論基礎(chǔ)部分主要講述集合與關(guān)系、映射、函數(shù)與集合的基數(shù)等基本內(nèi)容；代數(shù)系統(tǒng)基礎(chǔ)部分主要講述二元運(yùn)算的主要性質(zhì)及代數(shù)系統(tǒng)中若干重要的元素，并介紹廣群、半群、含幺半群、群及環(huán)和域，以及格與Boole代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)；圖論基礎(chǔ)部分主要講述圖和樹(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。每章后附有一定數(shù)量的習(xí)題，其中有一些是歷年研究生考試的試題，可供讀者學(xué)習(xí)時(shí)選做。建議讀者能獨(dú)立完成這些習(xí)題中的大部分，這對(duì)掌握這門課程的主要內(nèi)容是至關(guān)重要的?！镀胀ǜ叩冉逃笆晃濉币?guī)劃教材：離散數(shù)學(xué)》的電子教案和習(xí)題的詳細(xì)解答將免費(fèi)提供給任課教師使用?！　　镀胀ǜ叩冉逃笆晃濉币?guī)劃教材：離散數(shù)學(xué)》可供計(jì)算機(jī)專業(yè)、應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)以及其他相關(guān)專業(yè)的本科生作教材使用，也可供有關(guān)專業(yè)的教師和學(xué)生用作教學(xué)或者學(xué)習(xí)參考書，并適合對(duì)《普通高等教育“十一五”規(guī)劃教材：離散數(shù)學(xué)》內(nèi)容感興趣的數(shù)學(xué)愛(ài)好者自學(xué)使用。

書籍目錄

前言第1部分　數(shù)理邏輯基礎(chǔ)第1章　命題邏輯初步1.1　命題及其表示1.2　命題聯(lián)結(jié)詞1.3　命題演算的合式公式、命題公式的真值表以及命題公式的翻譯1.4　重言式和矛盾式、等價(jià)的命題公式、命題公式的邏輯蘊(yùn)含式1.5　其他聯(lián)結(jié)詞1.6　對(duì)偶式與范式1.7　命題演算的推理理論習(xí)題第2章　謂詞邏輯初步2.1　謂詞的基本概念2.2　量詞的基本概念2.3　命題函數(shù)與謂詞演算的合式公式2.4　約束變量與自由變量、n元謂詞的一般定義、謂詞演算的等價(jià)式2.5　謂詞演算的蘊(yùn)含式、量詞與否定聯(lián)結(jié)詞之間的性質(zhì)2.6　量詞的性質(zhì)（續(xù)）2.7　謂詞公式的前束范式2.8　謂詞演算的推理理論習(xí)題第2部分　集合論基礎(chǔ)第3章　集合與關(guān)系3.1　集合的基本概念3.2　子集和冪集3.3　集合的運(yùn)算3.4　抽屜原理和容斥原理3.5　笛卡兒積3.6　關(guān)系及其表示3.7　關(guān)系的性質(zhì)3.8　關(guān)系的運(yùn)算、復(fù)合關(guān)系和逆關(guān)系3.9　關(guān)系的閉包3.10　集合的覆蓋與分劃3.11　等價(jià)關(guān)系3.12　*相容關(guān)系3.13　序關(guān)系習(xí)題第4章　函數(shù)4.1　函數(shù)的基本概念4.2　復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)4.3　集合的基數(shù)4.4　可列集與不可列集4.5　連續(xù)統(tǒng)的勢(shì)4.6　勢(shì)的比較習(xí)題第3部分　代數(shù)系統(tǒng)基礎(chǔ)第5章　代數(shù)系統(tǒng)基礎(chǔ)知識(shí)5.1　代數(shù)運(yùn)算及其性質(zhì)5.2　幾個(gè)重要的代數(shù)系統(tǒng)——廣群、半群、獨(dú)異點(diǎn)5.3　群的概念和例子5.4　Abel群和循環(huán)群5.5　群的簡(jiǎn)單性質(zhì)、同態(tài)和同構(gòu)5.6　群的陪集分解、Lagrange定理5.7　變換群和對(duì)稱群5.8　環(huán)與域的基本概念5.9　環(huán)的同態(tài)和同構(gòu)習(xí)題第6章　格與Boole代數(shù)6.1　格的定義與基本性質(zhì)6.2　分配格與Dedekind格6.3　有補(bǔ)格6.4　Boole格與Boole代數(shù)6.5　Boole表達(dá)式習(xí)題第4部分　圖論基礎(chǔ)第7章　圖論7.1　圖論中的基本概念7.2　通路與回路，補(bǔ)圖和子圖7.3　圖的連通性7.4　圖的矩陣表示7.5　Euler圖7.6　Hamilton圖7.7　平面圖7.8　連通平面圖的著色7.9　無(wú)向樹(shù)和帶權(quán)無(wú)向圖7.10　根樹(shù)7.11　根樹(shù)的應(yīng)用舉例習(xí)題參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

　　第1部分　數(shù)理邏輯基礎(chǔ)　　第1章　命題邏輯初步　　1.1　命題及其表示　　在日常生活中，人們使用的是人類的自然語(yǔ)言。由于自然地域、文化淵源以及歷史發(fā)展的進(jìn)程不盡相同，身處世界各地的不同種族、不同自然環(huán)境的人產(chǎn)生了豐富多彩、風(fēng)格迥異的自然語(yǔ)言、文明歷史及文化傳統(tǒng)。但是，無(wú)論哪一種自然語(yǔ)言都有某些基本共同的功能，例如，使用自然語(yǔ)言的人都要面臨如何用自己的語(yǔ)言來(lái)清楚明白地表達(dá)自己的意見(jiàn)、分析、判斷以及推理問(wèn)題。然而，雖然人類的自然語(yǔ)言內(nèi)涵極其復(fù)雜、豐富，但往往不夠精確、嚴(yán)謹(jǐn)，甚至常產(chǎn)生多義和歧義現(xiàn)象，使得僅用自然語(yǔ)言無(wú)法很好地完成數(shù)學(xué)中所需要的嚴(yán)格的分析、判斷及推理工作。因此，為了適應(yīng)數(shù)學(xué)科學(xué)以及其他科學(xué)分支發(fā)展的需要，數(shù)學(xué)家們從人的自然語(yǔ)言中發(fā)展出了一套嚴(yán)格的形式邏輯語(yǔ)言及相應(yīng)的數(shù)學(xué)符號(hào)。本書第1章將向讀者簡(jiǎn)要介紹命題邏輯的基礎(chǔ)知識(shí)?！　∶}邏輯這一部分涉及的是命題、真值以及聯(lián)結(jié)詞等一系列最為基本的概念，它們是后面所要講述的命題演算的推理理論的基礎(chǔ)?！　定義1-1]（命題和真值）本章中研究的基本對(duì)象是命題。命題滿足以下兩個(gè)條件：首先它必須是一個(gè)陳述句，此外該陳述句的結(jié)論必須要么為真，要么為假。這里的“真”或“假”稱為該命題的真值。本書中所研究的真值只有“真”和“假”兩個(gè)值。為了書寫簡(jiǎn)單起見(jiàn)，也常用英文字母“了、”和“F”或者數(shù)字“1”和“0”來(lái)分別表示“真”和“假”?！　注]　?、僭谀：龜?shù)學(xué)里的模糊邏輯系統(tǒng)中，每個(gè)命題不必一定取真值“真”，也不必一定取真值“假”，而有可能是以0～1之間的某個(gè)程度取到真值“真”或者真值“假”。　?、谠谀承?shù)學(xué)軟件（如Mathematica）中，為了使用方便，在軟件的一般邏輯系統(tǒng)及其運(yùn)算中除了“真”和“假”這兩個(gè)真值外，還給出了第三個(gè)真值“非真非假”。如果該軟件在對(duì)某個(gè)邏輯命題經(jīng)過(guò)判斷給出“非真非假”的真值，就表明軟件無(wú)法判斷該命題的真值?！　　?/pre>




編輯推薦
　　《普通高等教育“十一五”規(guī)劃教材：離散數(shù)學(xué)》主要分為4個(gè)部分：數(shù)理邏輯基礎(chǔ)部分主要講述命題邏輯、謂詞邏輯的基礎(chǔ)理論和它們?cè)谕评砝碚撝械暮?jiǎn)單應(yīng)用；集論基礎(chǔ)部分主要講述集合與關(guān)系、映射、函數(shù)與集合的基數(shù)等基本內(nèi)容；代數(shù)系統(tǒng)基礎(chǔ)部分主要講述二元運(yùn)算的主要性質(zhì)及代數(shù)系統(tǒng)中若干重要的元素，并介紹廣群、半群、含幺半群、群及環(huán)和域，以及格與Boole代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)；圖論基礎(chǔ)部分主要講述圖和樹(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。每章后附有一定數(shù)量的習(xí)題，其中有一些是歷年研究生考試的試題，可供讀者學(xué)習(xí)時(shí)選做。末尾另有附錄，以供青年教師和感興趣的學(xué)者選讀。





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