實分析和概率論

內(nèi)容概要

　　清晰地講解了現(xiàn)代概率論以及概率測度與度量空間之間的相互關(guān)系。《實分析和概率論（原書第2版）》分兩部分，第一部分介紹了實分析的內(nèi)容，包括基礎(chǔ)集合論、一般拓撲、測度、積分、巴拿赫空間及希爾伯特空間上的函數(shù)分析、凸集和函數(shù)以及拓撲空間上的測度，第二部分介紹了基于測度論卜的概率論，包括大數(shù)定律、遍歷定理、中心極限定理、條件期望、鞅收斂另外，隨機過程一章介紹了布朗運動以及布朗橋。

作者簡介

R.M.Dudley，麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)系教授。除本書外，他還著有《Differentiability of six operators on Nonsmooth Functions and p-Variation》,《Uniform Central Limit Theorems》等書。

書籍目錄

譯者序前言第1章　基礎(chǔ)知識：集合論1.1　集合論的定義和實數(shù)系1.2　關(guān)系和序1.3　超限歸納和遞歸1.4　勢1.5　選擇公理及其等價形式第2章　一般拓撲2.1　拓撲、度量和連續(xù)性2.2　緊性與積拓撲2.3　完備度量空間和緊度量空間2.4　函數(shù)空間的一些度量2.5　度量空間的完備化和完備性2.6　連續(xù)函數(shù)的擴張2.7　一致性與一致空間2.8　緊化第3章　測度3.1　測度初步3.2　半環(huán)和環(huán)3.3　測度的完備化3.4　勒貝格測度和不可測集3.5　原子測度和非原子測度第4章　積分4.1　簡單函數(shù)4.2　可測性4.3　積分收斂定理4.4　乘積測度4.5　丹尼爾一斯通積分第5章　Lp空間：泛函分析引論5.1　積分不等式5.2　Lp空間的范數(shù)及完備性5.3　希爾伯特空間5.4　規(guī)范正交集和規(guī)范正交基5.5　希爾伯特空間上的線性型、Lp空間的包含關(guān)系及這兩個度量之間的關(guān)系5.6　符號測度第6章　范數(shù)空間的凸集和對偶性6.1　利普希茨函數(shù)、連續(xù)函數(shù)及有界函數(shù)6.2　凸集及其分離性6.3　凸函數(shù)6.4　Lp空間的對偶性6.5　一致有界性及閉圖形6.6　Brunn-Minkowski不等式第7章　測度、拓撲與微分7.1　貝爾a代數(shù)、博雷爾a代數(shù)和測度正則性7.2　勒貝格微分定理7.3　正則性擴張7.4　C(K)的對偶和傅里葉級數(shù)7.5　幾乎一致收斂和Lusin定理第8章　概率論初步8.1　基本定義8.2　概率空間的無窮積8.3　大數(shù)定律8.4　遍歷定理第9章　依L收斂與中心極限定理9.1　分布函數(shù)和密度函數(shù)9.2　隨機變量的收斂性9.3　依分布收斂9.4　特征函數(shù)9.5　特征函數(shù)的唯一性和中心極限定理9.6　三角形陣列和林德伯格定理9.7　獨立實值隨機變量的和9.8　萊維連續(xù)性定理：無窮可分法則及穩(wěn)定法則第10章　條件期望和鞅10.1　條件期望10.2　正則條件概率和詹森不等式10.3　鞅10.4　最優(yōu)停止和一致可積性10.5　鞅和下鞅的收斂性10.6　逆鞅和逆下鞅10.7　次加性遍歷定理和超加性遍歷定理第11章　可分度量空間上的依L收斂11.1　法則和收斂性11.2　利普希茨函數(shù)11.3　依L收斂的度量11.4　經(jīng)驗測度收斂11.5　胎緊性和一致胎緊性11.6　斯特拉森定理：具有鄰近法則的鄰近變量11.7　法則的一致性和幾乎必然收斂的實現(xiàn)11.8　Kantorvich—Rubinstein定理11.9　u-統(tǒng)計量第12章　隨機過程12.1　過程的存在性和布朗運動12.2　布朗運動的強馬爾可夫性質(zhì)12.3　反射原理、布朗橋和上確界定律12.4　在馬爾可夫時布朗運動的法則：斯科羅霍德嵌入12.5　重對數(shù)律第13章　可測性：博雷爾同構(gòu)和解析集13.1　博雷爾同構(gòu)13.2　解析集附錄A　公理化集合論附錄B　復(fù)數(shù)、向量空間和泰勒余項定理附錄C　測度問題附錄D　非負項的重排和附錄E　非度量緊空間的病態(tài)性名詞索引符號索引

章節(jié)摘錄

第1章　基礎(chǔ)知識：集合論在建造房子時，建設(shè)者會用與房子其他部分不一樣的材料和方法來打造地基。同樣，幾乎每一個數(shù)學(xué)分支都以公理集合論作為其基礎(chǔ)。這個基礎(chǔ)被大多數(shù)關(guān)注基礎(chǔ)理論的邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家所接受，但是只有少數(shù)數(shù)學(xué)家有時間或意愿去詳細研究公理集合論。做另一個比喻，高級計算機語言和用它們編寫的程序建立了計算機硬件和軟件的基礎(chǔ)。但是，編寫高級計算機程序的人需要了解多少計算機硬件和操作系統(tǒng)的知識則取決于他手邊的問題。在現(xiàn)代實分析中，集合論的問題比以前代數(shù)、復(fù)分析、幾何和應(yīng)用數(shù)學(xué)中的問題要多。例如，在實分析中相對較近發(fā)展的“非標(biāo)準(zhǔn)分析”許正數(shù)可以無限小但不為零。非標(biāo)準(zhǔn)分析比早期發(fā)展的實分析更強地依賴于集合論的特性。本章將介紹本書后面要用到的一些集合論符號和概念。換句話說，本章只給出最基本的集合論知識。附錄A較詳細地介紹了集合論，包括一些集合論公理，但是本書不打算介紹非標(biāo)準(zhǔn)分析或者更深入地討論集合論。本章所定義的許多概念在以后的章節(jié)里都要用到，希望讀者能熟記。1.1 集合論的定義和實數(shù)系定義至少有兩個目的。首先，就像一本普通字典一樣，定義試圖給出見解，傳達一種思想，或者用熟悉的概念去解釋陌生的概念，但并不詳盡說明或徹底研究所定義單詞的全部意義。我們稱這廠種定義為非形式(informal)定義。在大多數(shù)數(shù)學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域中，形式（formal）定義是完全準(zhǔn)確的，因此，人們可以科學(xué)地判斷一個有關(guān)命題的真?zhèn)?。在形式定義中，一個熟悉的術(shù)語（例如，普通的長度單位或數(shù)字）可以用不熟悉的術(shù)語定義。集合論中的大多數(shù)定義都是形式的。其次，集合論的另一個目的是不但為自己也為所有數(shù)學(xué)分支提供清晰的邏輯結(jié)構(gòu)。由此就產(chǎn)生從哪里開始定義的問題。非形式的字典定義常常由一些同義詞組成。例如，字典中用“high”和“tall”相互定義，這種定義方法對于知道其中一個詞的人來說是有幫助的，但是對于一個通過字典學(xué)習(xí)英語的人來說，這樣的定義是無用的。這種情況在一定程度上反映了人們在學(xué)習(xí)中所遇到的困難，因為字典中所有單詞都是用其他單詞來定義的。因此，人們在開始時應(yīng)至少弄清字典中一些單詞的意思，而不是在用到時才去翻字典。

媒體關(guān)注與評論

本書在兩個方面獲得了極佳的成功。一是它是一本全面、新穎的實分析教程，二是它是一本數(shù)學(xué)理論完整和自成體系的概率論教程。本書無疑給出了一種嚴謹和完整的新標(biāo)準(zhǔn)。                      ——美國數(shù)學(xué)會公報這是一本非凡的著作。在教學(xué)和參考兩個方面，本書將成為一本標(biāo)準(zhǔn)化教材，它全面地介紹了實分析的必備知識，且證明貫穿全書。書中的一些主題和證明極少在其他教科書中見到。                  ——愛丁堡數(shù)學(xué)會公報嚴謹、精深、新穎，這是一本適用于數(shù)學(xué)專業(yè)研究生的教材。                   ——ISI的簡短書評

編輯推薦

《實分析和概率論(原書第2版)》適合干概率論與數(shù)理統(tǒng)計方向的研究生，以及與之相關(guān)的研究生閱讀，也適合于數(shù)學(xué)系高年級學(xué)生以及數(shù)學(xué)研究工作者參考使用。這是一本廣受稱贊的教科書，清晰地講解了現(xiàn)代概率論以及度量空間與概率測度之間的相互作用。與前版相比，本版內(nèi)容更完善，一開始就介紹了實數(shù)系的基礎(chǔ)和泛代數(shù)中的一致逼近的斯通-魏爾斯特拉斯定理；修訂和改進了幾節(jié)的內(nèi)容，擴充了大量歷史注記；增加了很多新的習(xí)題，以及對一些習(xí)題的解答的提示。

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