復分析

內(nèi)容概要

本書從現(xiàn)代數(shù)學的觀點介紹復分析的基本知識與常用工具，全書共分為8章，主要包括：復數(shù)、復函數(shù)、作為映射的解析函數(shù)、復積分、級數(shù)與乘積展開、共形映射，軟件克雷問題、橢圓函數(shù)以及全局解析函數(shù)，此外，大部分章節(jié)后都有練習，便于學生掌握書中內(nèi)容。    本書取材合理、言簡意賅、由淺入深、邏輯嚴謹、論述清晰，可作為高等院校高年級本科生以及研究生的教材和參考書。

作者簡介

Lars V.Ahlfors生前是哈佛大學數(shù)學教授。他于1924年進入赫爾辛基大學學習，并在1930年于芬蘭著名的土爾庫大學獲得博士學位。期間他還師從著名數(shù)學家Nevanlinna共同進行研究工作。1936年榮獲菲爾茨獎。第二次世界大戰(zhàn)結(jié)束后，輾轉(zhuǎn)到哈佛大學從事教學工作。1953年當選為美

書籍目錄

第1章 復數(shù)  1.1 復數(shù)代數(shù)    1.1.1 算術(shù)運算    1.1.2 平方根    1.1.3 合理性    1.1.4 共軛，絕對值    1.1.5 不等式  1.2 復數(shù)的幾何表示    1.2.1 幾何加法和幾何乘法    1.2.2 二項方程    1.2.3 解析幾何    1.2.4 球面表示第2章 復函數(shù)  2.1 解析函數(shù)的概念介紹    2.1.1 極限與連續(xù)性    2.1.2 解析函數(shù)    2.1.3 多項式    2.1.4 有理函數(shù)  2.2 冪級數(shù)的基礎(chǔ)理論    2.2.1 序列    2.2.2 級數(shù)    2.2.3 一致收斂性    2.2.4 冪級數(shù)    2.2.5 阿貝爾極限定理  2.3 指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)    2.3.1 指數(shù)函數(shù)    2.3.2 三角函數(shù)    2.3.3 周期性    2.3.4 對數(shù)函數(shù)第3章 作為映射的解析函數(shù)  3.1 初等點集拓撲    3.1.1 集和元素    3.1.2 度量空間    3.1.3 連通性    3.1.4 緊致性    3.1.5 連續(xù)函數(shù)    3.1.6 拓撲空間  3.2 共形性    3.2.1 弧與閉曲線    3.2.2 域內(nèi)的解析函數(shù)    3.2.3 共形映射    3.2.4 長度和面積  3.3 線性變換    3.3.1 線性群    3.3.2 交比    3.3.3 對稱性    3.3.4 有向圓    3.3.5 圓族  3.4 初等共形映射    3.4.1 階層曲線的應用    3.4.2 初等映射概述    3.4.3 初等黎曼面第4章 復積分  4.1 基本定理    4.1.1 線積分    4.1.2 可求長的弧    4.1.3 線積分作為弧的函數(shù)    4.1.4 矩形的柯西定理    4.1.5 圓盤中的柯西定理  4.2 柯西積分公式    4.2.1 一點關(guān)于閉曲線的指數(shù)    4.2.2 積分公式    4.2.3 高階導數(shù)  4.3 解析函數(shù)的局部性質(zhì)    4.3.1 可去奇點，泰勒定理    4.3.2 零點和極點    4.3.3 局部映射    4.3.4 最大值原理  4.4 柯西定理的一般形式    4.4.1 鏈和閉鏈    4.4.2 單連通性    4.4.3 同調(diào)    4.4.4 柯西定理的一般敘述    4.4.5 柯西定理的證明    4.4.6 局部恰當微分    4.4.7 多連通域  4.5 留數(shù)計算    4.5.1 留數(shù)定理    4.5.2 幅角原理    4.5.3 定積分的計算  4.6 調(diào)和函數(shù)    4.6.1 定義和基本性質(zhì)    4.6.2 均值性質(zhì)    4.6.3 泊松公式    4.6.4 施瓦茨定理    4.6.5 反射原理第5章 級數(shù)與乘積展開  5.1 冪級數(shù)展開式    5.1.1 魏爾斯特拉斯定理    5.1.2 泰勒級數(shù)    5.1.3 洛朗級數(shù)  5.2 部分分式與因子分解    5.2.1 部分分式    5.2.2 無窮乘積    5.2.3 典范乘積    5.2.4 Γ函數(shù)    5.2.5 斯特林公式  5.3 整函數(shù)    5.3.1 詹森公式    5.3.2 阿達馬定理  5.4 黎曼ζ函數(shù)    5.4.1 乘積展開    5.4.2 ζ(s)擴張到整個平面    5.4.3 函數(shù)方程    5.4.4 ζ函數(shù)的零點  5.5 正規(guī)族    5.5.1 等度連續(xù)性    5.5.2 正規(guī)性和緊致性    5.5.3 阿爾澤拉定理    5.5.4 解析函數(shù)族    5.5.5 經(jīng)典定義第6章 共形映射.狄利克雷問題  6.1 黎曼映射定理    6.1.1 敘述和證明    6.1.2 邊界表現(xiàn)    6.1.3 反射原理的應用    6.1.4 解析弧  6.2 多邊形的共形映射    6.2.1 在角上的表現(xiàn)    6.2.2 施瓦茨克里斯托費爾公式    6.2.3 映成矩形的映射    6.2.4 施瓦茨的三角形函數(shù)  6.3 調(diào)和函數(shù)的進一步討論    6.3.1 具有均值性質(zhì)的函數(shù)    6.3.2 哈納克原理  6.4 狄利克雷問題    6.4.1 下調(diào)和函數(shù)    6.4.2 狄利克雷問題的解  6.5 多連通域的典范映射    6.5.1 調(diào)和測度    6.5.2 格林函數(shù)    6.5.3 具有平行縫的域第7章 橢圓函數(shù)  7.1 單周期函數(shù)    7.1.1 用指數(shù)函數(shù)表示    7.1.2 傅里葉展開    7.1.3 有窮階函數(shù)  7.2 雙周期函數(shù)    7.2.1 周期模    7.2.2 幺模變換    7.2.3 典范基    7.2.4 橢圓函數(shù)的一般性質(zhì)  7.3 魏爾斯特拉斯理論    7.3.1 魏爾斯特拉斯P函數(shù)    7.3.2 函數(shù)ζ(z)與σ(z)    7.3.3 微分方程    7.3.4 模函數(shù)λ(τ)    7.3.5 λ(τ)所做的共形映射第8章 全局解析函數(shù)  8.1 解析延拓    8.1.1 魏爾斯特拉斯理論    8.1.2 芽與層    8.1.3 截口與黎曼面    8.1.4 沿弧的解析延拓    8.1.5 同倫曲線    8.1.6 單值性定理    8.1.7 支點  8.2 代數(shù)函數(shù)    8.2.1 兩個多項式的結(jié)式    8.2.2 代數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)    8.2.3 臨界點上的表現(xiàn)  8.3 皮卡定理  8.4 線性微分方程    8.4.1 尋常點    8.4.2 正則奇點    8.4.3 無窮遠點附近的解    8.4.4 超幾何微分方程    8.4.5 黎曼的觀點索引

章節(jié)摘錄

　　譯者序　　本書是復變大師Lars V?Ahlfors的經(jīng)典之作? Lars V? Ahlfors（1907—1996），美籍芬蘭數(shù)學家，是20世紀最偉大的分析大師之一。他是1936年首次菲爾茨獎獲獎?wù)撸?981年因在幾何函數(shù)論方面的有效新方法的創(chuàng)立和根本性的發(fā)現(xiàn)而榮獲沃爾夫獎。Ahlfors是迄今為止獲得這兩項世界數(shù)學最高獎的僅有的幾個人之一。?　　Ahlfors的主要工作領(lǐng)域是復分析，他對值分布論、黎曼曲面、數(shù)值長度、擬共形映射和克萊因群等領(lǐng)域都做出了重大貢獻。他于1929年證明了當茹瓦（Denjoy）于1907年提出的猜想：如果整函數(shù)的階為ρ，有限漸進值個數(shù)為n，則n≤2ρ? 1935年提出覆蓋面理論，由此可推出著名的1925年的奈旺林納（Nevanlinna）理論，并對值分布論的幾何意義予以明確的闡述。他發(fā)展了H? Weyl的亞純曲線理論。后來的工作圍繞黎曼曲面的參模理論。由于參模空間難于處理，問題轉(zhuǎn)向研究其覆蓋空間——泰希米勒（Teichmüller）空間。為此，Ahlfors發(fā)展了擬共形映射理論，用來對其結(jié)構(gòu)進行研究，特別是證明它具有復解析結(jié)構(gòu)。Ahlfors的著作清晰流暢，除了本書外，還包括《擬共形映射講義》和《Conformal Invariants》（共形不變量）等，因此而榮獲1982年美國數(shù)學會Steele獎。?　　復分析研究復自變量復值函數(shù)的分析，是數(shù)學中最重要的分支之一，同時在數(shù)學的其他分支（如微分方程、積分方程、概率論、數(shù)論等）以及在自然科學的其他領(lǐng)域（如空氣動力學、流體力學、電學、熱學、理論物理等）都有著重要的應用。Ahlfors的這本書被國內(nèi)外很多大學采納作為教材，是復分析領(lǐng)域歷經(jīng)考驗的一本經(jīng)典教材。?　　這本教材取材合理、言簡意賅、由淺入深、邏輯嚴謹、論述清晰、易于教學。本書中使用了很多諸如“不難看出”、“顯然”、“明顯”、“易見”等詞，對應的英文包括：clearly， obviously, evidently, it is easy to see…, it is not difficult to see…, it is plain that…, it is readily seen that…, it is easy to see…, 等等。據(jù)作者在該書第1版的前言中所說，“They are not used to blur the picture? On the contrary, they test the reader?s understanding, for if he does not agree that the omitted reasoning is clear, obvious, and evident, he had better turn back a few pages and make a fresh start?”（目的并不是在故弄玄虛，而是試驗讀者是否真正了解……）全書共分成8章，主要包括：復數(shù)、復函數(shù)、作為映射的解析函數(shù)、復積分、級數(shù)與乘積展開、共形映射、狄利克雷問題、橢圓函數(shù)以及全局解析函數(shù)。此外，大部分章節(jié)后都有練習，便于學生掌握書中內(nèi)容，其中加上“*”號的練習供學有余力的學生選做。本書假定讀者具備大學二年級的數(shù)學基礎(chǔ)，可作為高等院校高年級本科生以及研究生的教材和參考書?！　”緯诜g過程中，采取了以下原則：　　1．術(shù)語盡可能采用自然科學名詞審定委員會1993年公布的《數(shù)學名詞》，使用的詞典是國防工業(yè)出版社1991版的《英漢科學技術(shù)詞典》以及科學出版社2002版的《新英漢數(shù)學詞匯》。?　　2．本書中含有外國學者人名定義的術(shù)語，一般都按照《數(shù)學名詞》及《新英漢數(shù)學詞典》翻譯成中文?！　?．對原書中的個別錯誤，如公式號錯、拼寫錯誤等，翻譯過程中進行了修改?！　〈送猓緯诜g過程中，參考了在國內(nèi)影響較大的上海科學技術(shù)出版社出版的中譯本，在此表示感謝。?　　本書由趙志勇、薛運華和楊旭共同翻譯完成，由于時間倉促，不當之處在所難免，希望廣大讀者批評指正。

媒體關(guān)注與評論

　　本書是復變大師Lars V?Ahlfors的經(jīng)典之作? Lars V? Ahlfors（1907—1996），美籍芬蘭數(shù)學家，是20世紀最偉大的分析大師之一。他是1936年首次菲爾茨獎獲獎?wù)撸?981年因在幾何函數(shù)論方面的有效新方法的創(chuàng)立和根本性的發(fā)現(xiàn)而榮獲沃爾夫獎。Ahlfors是迄今為止獲得這兩項世界數(shù)學最高獎的僅有的幾個人之一。?　　Ahlfors的主要工作領(lǐng)域是復分析，他對值分布論、黎曼曲面、數(shù)值長度、擬共形映射和克萊因群等領(lǐng)域都做出了重大貢獻。他于1929年證明了當茹瓦（Denjoy）于1907年提出的猜想：如果整函數(shù)的階為ρ，有限漸進值個數(shù)為n，則n≤2ρ? 1935年提出覆蓋面理論，由此可推出著名的1925年的奈旺林納（Nevanlinna）理論，并對值分布論的幾何意義予以明確的闡述。他發(fā)展了H? Weyl的亞純曲線理論。后來的工作圍繞黎曼曲面的參模理論。由于參模空間難于處理，問題轉(zhuǎn)向研究其覆蓋空間——泰希米勒（Teichmüller）空間。為此，Ahlfors發(fā)展了擬共形映射理論，用來對其結(jié)構(gòu)進行研究，特別是證明它具有復解析結(jié)構(gòu)。Ahlfors的著作清晰流暢，除了本書外，還包括《擬共形映射講義》和《Conformal Invariants》（共形不變量）等，因此而榮獲1982年美國數(shù)學會Steele獎。?　　復分析研究復自變量復值函數(shù)的分析，是數(shù)學中最重要的分支之一，同時在數(shù)學的其他分支（如微分方程、積分方程、概率論、數(shù)論等）以及在自然科學的其他領(lǐng)域（如空氣動力學、流體力學、電學、熱學、理論物理等）都有著重要的應用。Ahlfors的這本書被國內(nèi)外很多大學采納作為教材，是復分析領(lǐng)域歷經(jīng)考驗的一本經(jīng)典教材。?　　這本教材取材合理、言簡意賅、由淺入深、邏輯嚴謹、論述清晰、易于教學。本書中使用了很多諸如“不難看出”、“顯然”、“明顯”、“易見”等詞，對應的英文包括：clearly， obviously， evidently， it is easy to see…， it is not difficult to see…， it is plain that…， it is readily seen that…， it is easy to see…， 等等。據(jù)作者在該書第1版的前言中所說，“They are not used to blur the picture? On the contrary， they test the reader?s understanding， for if he does not agree that the omitted reasoning is clear， obvious， and evident， he had better turn back a few pages and make a fresh start?”（目的并不是在故弄玄虛，而是試驗讀者是否真正了解……）全書共分成8章，主要包括：復數(shù)、復函數(shù)、作為映射的解析函數(shù)、復積分、級數(shù)與乘積展開、共形映射、狄利克雷問題、橢圓函數(shù)以及全局解析函數(shù)。此外，大部分章節(jié)后都有練習，便于學生掌握書中內(nèi)容，其中加上“*”號的練習供學有余力的學生選做。本書假定讀者具備大學二年級的數(shù)學基礎(chǔ)，可作為高等院校高年級本科生以及研究生的教材和參考書?！　”緯诜g過程中，采取了以下原則：　　1．術(shù)語盡可能采用自然科學名詞審定委員會1993年公布的《數(shù)學名詞》，使用的詞典是國防工業(yè)出版社1991版的《英漢科學技術(shù)詞典》以及科學出版社2002版的《新英漢數(shù)學詞匯》。?　　2．本書中含有外國學者人名定義的術(shù)語，一般都按照《數(shù)學名詞》及《新英漢數(shù)學詞典》翻譯成中文?！　?．對原書中的個別錯誤，如公式號錯、拼寫錯誤等，翻譯過程中進行了修改。　　此外，本書在翻譯過程中，參考了在國內(nèi)影響較大的上?？茖W技術(shù)出版社出版的中譯本，在此表示感謝。?　　本書由趙志勇、薛運華和楊旭共同翻譯完成，由于時間倉促，不當之處在所難免，希望廣大讀者批評指正。

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