邏輯與演繹科學(xué)方法論導(dǎo)論(珍藏本)/漢譯世界學(xué)術(shù)名著叢書

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　　說的邏輯，我們都會(huì)想到這樣的話：“這個(gè)人說話沒有邏輯。”這通常暗示兩種含義，一是這個(gè)人說話沒有清晰的結(jié)構(gòu)，咕咕噥噥不知說什么，沒有一個(gè)清晰的類似于“因?yàn)椤摇浴钡慕Y(jié)構(gòu)；另一種是這個(gè)人說的話傳遞了一個(gè)錯(cuò)誤的信息，比如“美國的首都是紐約”?！斑壿嫛边@個(gè)詞的這一日常用法其實(shí)剛好反映了邏輯學(xué)的一些基本的研究內(nèi)容。
　　
　　1. 從古典邏輯到新邏輯
　　
　　在公元前四世紀(jì)，亞里士多德最早將邏輯建立為一門科學(xué)。我們最熟悉的當(dāng)屬他的三段論，即
　　
　　所有人都是必死的。
　　蘇格拉底是人。
　　蘇格拉底是必死的。
　　
　　是一種強(qiáng)大的推理工具。不過這個(gè)階段的邏輯學(xué)屬于古典邏輯，研究內(nèi)容總的來說還比較隨意，沒有形成體系。隨后便是相當(dāng)長時(shí)間的沉寂。直到十七世紀(jì)，德國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家萊布尼茨進(jìn)行了一些邏輯學(xué)方面的研究。然后萊氏的研究并沒有給邏輯學(xué)帶來太大的影響，甚至其邏輯學(xué)的著作也被掩埋。邏輯學(xué)真正迎來脫胎換骨發(fā)展的時(shí)間大致始于十九世紀(jì)中葉，其標(biāo)志是布爾發(fā)表了其邏輯系統(tǒng)。這次發(fā)展使邏輯學(xué)徹底轉(zhuǎn)變成一種具有與數(shù)學(xué)類似性質(zhì)的學(xué)科。發(fā)展后的新邏輯學(xué)就是所說的“數(shù)理邏輯”、“演繹邏輯”或者“符號(hào)邏輯”。新的邏輯學(xué)相比于古典邏輯，不僅有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)和完善的方法，而且還建立了更為豐富的概念和定理。
　　
　　說到新邏輯學(xué)內(nèi)容豐富，在《邏輯與演繹科學(xué)方法論導(dǎo)論》一書介紹了命題邏輯、同一理論、類的理論、關(guān)系的理論以及演繹方法。在這些內(nèi)容里，“命題邏輯”是最為大眾熟知的一個(gè)領(lǐng)域，它也和Prolog關(guān)系最為密切。
　　
　　2. 命題邏輯
　　
　　邏輯學(xué)的內(nèi)容包羅萬象，錯(cuò)綜復(fù)雜。不過這不妨礙“命題邏輯”走向大眾視野，因?yàn)樗芯康膶ο缶褪侨祟惾绾巍氨磉_(dá)”。有了表達(dá)方法，人類才能記錄知識(shí)，闡述真理。比如，
　　
　　張三和李四一起走來了。
　　 x能被2整除，而且x能被3整除，那么x能被6整除。
　　一個(gè)四邊形即是矩形，又是菱形，那么它是正方形。
　　
　　上面三個(gè)語句來自于不同的領(lǐng)域（學(xué)科），像“張三”、“整除”、“正方形”只在特定的領(lǐng)域里才有意義。不過，像“和”、“而且”、“即…又…”卻能超越不同學(xué)科，表達(dá)了類似的概念。這樣詞匯還有很多，比如“不”、“或”、“如果…那么”等等。研究這些詞語的含義就是“命題邏輯”的任務(wù)。命題邏輯把這些詞稱為邏輯運(yùn)算符，它們包括：
　　
　　 NOT ?
　　 AND ∧
　　 OR ∨
　　 IMPLY (IF…THEN…) →
　　 ……
　　
　　基于上面的邏輯運(yùn)算符，命題邏輯將它們與“原子命題”組成命題，并且包含了一套判斷命題是否為定理的規(guī)則。不過，命題邏輯只是最簡單的邏輯演算，它能表達(dá)和處理的語句非常有限，比如，
　　
　　蘇格拉底是哲學(xué)家。
　　拍拉圖是哲學(xué)家。
　　
　　這兩句話在命題邏輯中只是兩個(gè)獨(dú)立的語句，可以分別用符號(hào)表示為P、Q。因此，想要揭示這些語句之間的關(guān)系，還需要對命題邏輯進(jìn)行擴(kuò)展。這就談到了“一階邏輯”。
　　
　　3. 一階邏輯
　　
　　對于上面的例子，一階邏輯里可以表示為
　　
　　 Phil(a)
　　
　　當(dāng)a代表蘇格拉底時(shí)，Phil(a)為真，當(dāng)a表示柏拉圖時(shí)，Phil(a)也為真。因此，可以看到一階邏輯比命題邏輯更富于表達(dá)力。事實(shí)上，一階邏輯保留了命題邏輯的所有內(nèi)容，又加入項(xiàng)、公式、謂詞、函數(shù)、量詞等概念。
　　
　　一階邏輯最終表現(xiàn)為一系列的“符號(hào)”，這其中包含了邏輯符號(hào)與非邏輯符號(hào)兩種。邏輯符號(hào)包括像邏輯運(yùn)算符（?、∧、∨、→）以及量詞?（存在量化）和?（全稱量化）。而非邏輯符號(hào)則更豐富一些，它包含兩類，謂詞符號(hào)（關(guān)系符號(hào)）與函數(shù)符號(hào)。
　　
　　函數(shù)符號(hào)通常用小寫字母f、g、h等表示，形如f、f(x)、f(x, y)。
　　沒有參數(shù)的函數(shù)代表常量，
　　 f(x)可以表示“x的絕對值”、“x的父親”，
　　 f(x, y)可以表示“x與y的和”等等。
　　謂詞符號(hào)通常用大寫字母P、Q、R等表示，形如P，P(x)、P(x, y)。
　　沒有參數(shù)的形式表示命題變量，它可以代表任何命題，
　　 P(x)可以表示“x是哲學(xué)家”，
　　 P(x, y)可以表示“x大于y”或者“x是y的父親”等等。
　　
　　前面的Phil(a)就是一個(gè)包含一個(gè)參數(shù)的謂詞。
　　
　　一階邏輯包含兩種合法的表達(dá)式，即項(xiàng)和公式，直觀上，“項(xiàng)”代表了事物，“公式”代表了謂詞。謂詞很像一個(gè)返回真、假值的函數(shù)。一階邏輯的形成規(guī)則定義了項(xiàng)與公式應(yīng)該長成什么樣子，事實(shí)上該形成規(guī)則是上下文無關(guān)的形式文法。具體的文法會(huì)隨著表述者不同而略有區(qū)別，在此只簡單概述一下項(xiàng)與公式。
　　
　　項(xiàng)包含兩種，變量和函數(shù)。函數(shù)的定義是遞歸的，它是形如f(t1,t2,t3,…)的表達(dá)式，且t1、t2、t3也是一個(gè)項(xiàng)。
　　公式則更為豐富，它包括
　　謂詞符號(hào)，若P是n元謂詞符號(hào)，t1、t2、…tn是項(xiàng)，那么P(t1, t2, …, tn)是公式
　　等式，若t1、t2是項(xiàng)，那么t1＝t2是公式
　　否定式
　　二元關(guān)聯(lián)詞
　　量化，若x是變量，t是公式，那么?xt與?xt都是公式
　　
　　難以表達(dá)的“IF-THEN-ELSE”是一階邏輯的一個(gè)缺陷。If..Then…Else（或者“ite(c, a, b)”，其中c是一個(gè)用公式表達(dá)的條件，當(dāng)它為真時(shí)，返回a，為假時(shí)，返回b）結(jié)構(gòu)大量地應(yīng)用在數(shù)學(xué)公式表達(dá)和程序設(shè)計(jì)語言中，但是這種常用的結(jié)構(gòu)卻很難在一階邏輯中給予表達(dá)，因?yàn)樵谶@種結(jié)構(gòu)中，c是公式，而一階邏輯中的項(xiàng)和公式都只接受“項(xiàng)”作為參數(shù)。
　　
　　ite固然有方法表達(dá)，比如(c→a) ∨ (?c→b)，但是當(dāng)c非常復(fù)雜時(shí)，這種表達(dá)方法也會(huì)很低效。
　　
　　4. 命題邏輯、一階邏輯、高階謂詞
　　
　　一階邏輯對命題邏輯進(jìn)行了擴(kuò)展，引入了變量、項(xiàng)、量詞、函數(shù)、謂詞。不過一階邏輯只允許量化變量，而在高級(jí)邏輯中，變量類型可以出現(xiàn)在量化中（二階邏輯）。高階謂詞就是接受其他謂詞作為參數(shù)的謂詞。一般的，階為 n 的高階謂詞接受一個(gè)或多個(gè)(n ? 1)階的謂詞作為參數(shù)，這里的 n > 1。
　　
　　一階邏輯是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的重要部分，它是很多公里系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式系統(tǒng)，比如皮亞諾公里就可以形式化為一階邏輯。
　　
　　最后，在《邏輯與演繹科學(xué)方法論導(dǎo)論》中沒有提及霍恩子句，原因是霍恩子句的出現(xiàn)晚與該書的寫作。它是只包含一個(gè)肯定文字的子句，這樣使得子句在計(jì)算機(jī)上的表示更加高效。因此霍恩子句在邏輯編程中扮演基本角色，Prolog就是完全構(gòu)造在霍恩子句之上的編程語言。

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