數(shù)

內(nèi)容概要

數(shù)數(shù)是一項基本的生活技能，它簡單到連小孩子也能學會。但人們想不到的是，現(xiàn)在我們所用的靈活方便的計數(shù)方式是在近代才發(fā)展起來的；而在這之前，世界上的多種文化分別創(chuàng)造了多樣的計數(shù)方式，十進制、六十進制便是其中最著名的進制，且被沿用至今。計算機的出現(xiàn)，是計數(shù)方式上的又一大變革，或者說新的計數(shù)方式促進了計算機技術(shù)的發(fā)展。這一切都要歸功于萊布尼茨發(fā)明的二進制。數(shù)的概念和計數(shù)方式一樣也在不斷變化著。數(shù)是什么?我們沒有唯一的答案，因為數(shù)系一直在變化中。自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)、虛數(shù)、超越數(shù)、超限數(shù)，每一次數(shù)的家族的擴張，都能引發(fā)更深層次的思考，也都留下了懸而未決的問題。可見對數(shù)的認識，我們還有很長的路要走。

作者簡介

作者：(美國)約翰·塔巴克 譯者：王獻芬 王輝 張紅艷

書籍目錄

引言  數(shù)和想象力第一部分  用于計算的數(shù)　第一章  第一批問題　第二章  早期的記數(shù)系統(tǒng)　  美索不達米亞的教育　  美索不達米亞的數(shù)系　  六十進制的優(yōu)點　  美索不達米亞人的數(shù)學家庭作業(yè)　  埃及的數(shù)系　  阿梅斯紙草書中的一個問題　  瑪雅的數(shù)系　  中國的數(shù)系　  《九章算術(shù)》中的一個問題　第三章  我們的位值制　  新系統(tǒng)的注解　第四章  分析機　  計算器、計算機和人的想象力　  巴貝奇和分析機　  數(shù)系的早期電子表示　  計算機中數(shù)的表示　  浮點表示　  浮點算術(shù)和計算器　  為什么制造計算機？第二部分  數(shù)的思想的推廣　第五章  數(shù)的概念的演化　  無理數(shù)　  薩摩斯的畢達哥拉斯　  *2的無理性　第六章  負數(shù)　  印度次大陸的古代數(shù)學課本　  走出印度　第七章  代數(shù)數(shù)　  塔爾塔利亞、費拉里和卡爾達諾　  吉拉爾和沃利斯　  歐拉和達朗貝爾　  關(guān)于“虛”數(shù)的爭論　  復數(shù)：現(xiàn)代的觀點　  復數(shù)的使用　第八章  超越數(shù)及其含義的研究　  戴德金和實數(shù)線第三部分  無窮的問題　第九章  早期的理解　第十章  伽利略和波爾查諾　  作為數(shù)的無窮　  《項狄傳》　第十一章  康托爾和無窮的邏輯　  有理數(shù)不比自然數(shù)多　  實數(shù)多于自然數(shù)　  羅素悖論　  羅素悖論的解決　第十二章  康托爾的遺產(chǎn)　  哥德爾　  當代的形式語言　  圖靈大事年表術(shù)語表

章節(jié)摘錄

　　有時分數(shù)也是必要的，例如，31/2英尺（1英尺=0.3 048米）、1/4千克或1/2天。在人類歷史的大部分時期，沒有人花時間去考慮沒有蘋果的集合或-3天的集合。幸運的是，正有理數(shù)集合能夠滿足大多數(shù)的需求。我們強調(diào)大多數(shù)，是因為總是有跡象表明存在其他數(shù)，并且它們可能是有用的。在數(shù)學上遇到其他類型的數(shù)是不可避免的，為了理解正有理數(shù)集合以外的數(shù)是如何發(fā)現(xiàn)的，我們不妨考慮一下基本算術(shù)運算。存在四種基本的算術(shù)運算：加法、減法、乘法和除法，另外還有第五種運算——開根法（通過開根法可以求平方根、立方根，等等），其中前三種運算沒有給早期數(shù)學家?guī)砀拍钚缘膯栴}。例如，我們把兩個正有理數(shù)相加，結(jié)果是另一個正有理數(shù)，類似地，兩個正有理數(shù)相乘或相除，結(jié)果仍是一個正有理數(shù)?，F(xiàn)在數(shù)學家把這種情況描述為：正有理數(shù)對加法、乘法和除法封閉。封閉的意思是集合內(nèi)的數(shù)通過加法、乘法和除法運算，結(jié)果仍在集合內(nèi)。但是，減法和開根法卻與此不同?！　∥覀冇?減1得到的結(jié)果是正有理數(shù)1，然而用1減2得到的結(jié)果是負數(shù)，它不再屬于實數(shù)線的正數(shù)范圍。今天我們認為-1是1減2的答案，但早期數(shù)學家往往不考慮這樣的問題。對他們來說，1減2似乎是不可能的事，因為對于我們可以用負數(shù)來回答的問題，他們認為是不可解的。對他們來說只考慮正數(shù)沒有什么數(shù)學理由，這個限制是數(shù)學家強加給自己的。事實上，并不是只有0和負數(shù)的存在才造成了概念上的困難?！　?shù)學中除了簡單地判斷一個數(shù)是否大于0、小于0或等于0這樣的情況外，還有許多其他情況。例如，如果求2的平方根，記為√2，我們就得到一個不是正有理數(shù)的數(shù)。因為雖然√2芝是正數(shù)，但不是有理數(shù)，即不能表示成分子與分母都是整數(shù)的分數(shù)。又如求√-2，我們發(fā)現(xiàn)在實數(shù)線上沒有它的位置，但√-2確實存在，只不過它不屬于實數(shù)系。對于早期數(shù)學家來說，他們則認為形如√-2的數(shù)沒有意義?！　∥覀儸F(xiàn)在知道√-2并不是沒有意義，它是復數(shù)的一個例子，在實數(shù)線中找不到它的位置。復數(shù)在科學與數(shù)學上都有重要的應(yīng)用。歷史上一些偉大的數(shù)學家曾耗費心力對不同類型數(shù)的意義進行研究。對在基本算術(shù)運算和開根下封閉的數(shù)系的尋找，是在近200年以前才完成的，甚至它的許多基本性質(zhì)是在最近才得以被發(fā)現(xiàn)?！　o理數(shù)　　無理數(shù)是不能表示成兩個整數(shù)的商的數(shù)。大約在4000年以前，美索不達米亞人在計算邊長為1的正方形的對角線長時，首先發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)√2。美索不達米亞人不但具有敏銳的數(shù)學眼光，而且擅長計算，得出√2的高度精確的有理數(shù)近似值，即找到了極其接近√2的有理數(shù)。人們在楔形文字泥板中發(fā)現(xiàn)的√2的有理近似值，已精確到小數(shù)點后第1000000位；甚至在今天，對大部分應(yīng)用來說，這也是√2足夠精確的估計值?！　　?/pre>




編輯推薦
《數(shù)》全書內(nèi)容豐富、通俗易懂，對有一般數(shù)學知識的讀者提高自己對數(shù)學的理解有極大的幫助作用。《數(shù)》是“數(shù)學之旅”之一，該書不是教科書，也不是教輔，它只是為在新時代中對數(shù)學和自然科學歷史感興趣的人提供一些閱讀生活。從中你可以學到一些如何觀察現(xiàn)象和提出問題的方法，了解教科書中那些定理的形成，從而把自己投入到人類文明的進程中去，或許可以成為閱讀者意想不到的收獲。





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