代數(shù)學(xué)

內(nèi)容概要

這本書不僅關(guān)注代數(shù)這一數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生和在各種文化、各個(gè)歷史時(shí)期的影響，同時(shí)關(guān)注代數(shù)在科學(xué)和社會(huì)中的應(yīng)用。作者把代數(shù)的起源定在 4000年前的美索不達(dá)米亞，并且到各個(gè)歷史時(shí)期、世界各個(gè)古文明中追蹤其進(jìn)展的軌跡，包括在中國、印度、希臘和阿拉伯等文化中的軌跡。代數(shù)的早期形式大多是用語言描述的，現(xiàn)行的符號(hào)形式是到了17世紀(jì)才制定下來的。過去的三個(gè)世紀(jì)中，代數(shù)在兩條軌道上延續(xù)：一條是走向更高層的抽象理論，另一條是走向具象的計(jì)算方法。作者指出，作為各個(gè)數(shù)學(xué)分支不可分割的組成部分，代數(shù)在各個(gè)科學(xué)研究和工程建設(shè)領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用著。

作者簡介

作者：(美國)約翰·塔巴克

書籍目錄

引言：代數(shù)學(xué)——一門語言第一章 最初的代數(shù)學(xué)　美索不達(dá)米亞：代數(shù)學(xué)的開端　美索不達(dá)米亞人與二次方程　美索不達(dá)米亞人與不定方程　泥版文書與電子計(jì)算器　埃及的代數(shù)學(xué)　中國的代數(shù)學(xué)　言辭代數(shù)第二章 希臘的代數(shù)學(xué)　畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的發(fā)現(xiàn)　根號(hào)2的不可公度性　幾何代數(shù)學(xué)　可視化代數(shù)　亞歷山大的丟番圖第三章 從印度到北非的代數(shù)學(xué)　婆羅摩笈多與新代數(shù)學(xué)　馬哈維拉　婆什迦羅與一個(gè)時(shí)期的終結(jié)　伊斯蘭的數(shù)學(xué)　詩歌與代數(shù)學(xué)　花拉子米與代數(shù)學(xué)新概念　一個(gè)問題與一個(gè)解　奧馬·海亞姆，鼎盛時(shí)期的伊斯蘭代數(shù)學(xué)　比薩的利奧納多第四章 代數(shù)學(xué)——方程論　新算法　代數(shù)學(xué)——科學(xué)中的工具　韋達(dá)，代數(shù)——一一種符號(hào)語言　哈里奧特　吉拉爾與代數(shù)學(xué)基本定理　對(duì)一個(gè)證明的進(jìn)一步嘗試　多項(xiàng)式的使用第五章 幾何與分析中的代數(shù)　笛卡兒　笛卡兒的乘法　費(fèi)馬　費(fèi)馬大定理　新方法第六章 尋求新結(jié)構(gòu)　阿貝爾　伽羅瓦　伽羅瓦理論與倍立方體　用直尺和圓規(guī)解倍立方體問題是不可能的　代數(shù)方程的解　化學(xué)中的群論第七章 思維的規(guī)律　亞里士多德　萊布尼茨　布爾與思維的規(guī)律　布爾代數(shù)　亞里士多德與布爾　布爾代數(shù)的完善與推廣　布爾代數(shù)與計(jì)算機(jī)第八章 矩陣與行列式論　早期的思想　譜論　矩陣論　矩陣乘法　矩陣代數(shù)的一種計(jì)算應(yīng)用　環(huán)論中的矩陣大事年表術(shù)語表

章節(jié)摘錄

書摘數(shù)學(xué)，也許還有古典音樂，是人類精神的最高創(chuàng)造。它完全從頭腦中產(chǎn)生，就像雅典娜從宙斯的前額中跳出來一樣。作為人類思想的最高境界，數(shù)學(xué)往往帶有它那種特有的靈性和神秘，遠(yuǎn)離蕓蕓眾生，可是對(duì)于少數(shù)人，數(shù)學(xué)卻能像音樂一樣，給他們以巨大的心靈震撼。請(qǐng)看一下《羅素自傳》的第一卷：“11歲時(shí)，我開始學(xué)習(xí)歐幾里得幾何學(xué)，哥哥做我的老師。這是我生活中的一件大事，就像初戀一樣令人陶醉。我從來沒有想象到世界上還有如此美妙的東西?！睙o獨(dú)有偶，愛因斯坦在他的“自述”中也談到：“12歲時(shí)，我經(jīng)歷了另一種性質(zhì)完全不同的驚奇：這是在一個(gè)學(xué)年開始時(shí)，當(dāng)我得到一本關(guān)于歐幾里得平面幾何的小書時(shí)所經(jīng)歷的。這本書里有許多斷言，比如，三角形的三條高線交于一點(diǎn)，它們本身雖然并不是顯而易見的，卻可以很可靠地加以證明，以致任何懷疑似乎都不可能。這種明晰性和可靠性給我造成了一種難以形容的印象?！碑?dāng)然，他們兩位所說的還是2300年前的歐幾里得，而到21世紀(jì)我們所有的數(shù)學(xué)瑰寶就更加光彩奪目，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出人們的想象。 　　雖說數(shù)學(xué)大廈高聳人云，它卻不是建在天上，只是少數(shù)神仙的游樂場。它植根于地下，也朦朧地出現(xiàn)在每個(gè)人的心中。這是因?yàn)閿?shù)學(xué)不僅有精神天父的基因，也有物質(zhì)地母的基因。這決定數(shù)學(xué)從一開始就不可避免地是一種實(shí)用知識(shí)，它們實(shí)在太俗了，以至于某些自以為有高貴血統(tǒng)的人拼命要掩蓋其卑賤的出身，就像概率論學(xué)者不愛提它來自賭場的問題。計(jì)量、商貿(mào)、會(huì)計(jì)、人口普查是最早的應(yīng)用數(shù)學(xué)，現(xiàn)在依然如此。盡管它們?cè)缫驯慌懦跀?shù)學(xué)之外，可是正是這些活動(dòng)把數(shù)學(xué)與日常生活聯(lián)系在一起，也正因?yàn)槿绱耍A(chǔ)數(shù)學(xué)教育應(yīng)運(yùn)而生，至今仍是興旺發(fā)達(dá)的事業(yè)。說到這里，我們不能不為中國古代的數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育而自豪，早在孔夫子之前，中國(至少在齊國)，九九表已經(jīng)相當(dāng)普及，可是兩千年后，意大利的商人子弟在家鄉(xiāng)只能學(xué)會(huì)加法，而要學(xué)乘法就得進(jìn)城請(qǐng)教專家、大師了。西方的基礎(chǔ)教育有3R(Reading，Writing，Arithmetic)的說法，簡言之就是讀、寫、算，這說明在把文盲教育成識(shí)字的人的同時(shí)，還要使他們不致維持“數(shù)盲”的狀態(tài)。其實(shí)，對(duì)于絕大多數(shù)人來說，這已經(jīng)足夠了，哪怕是現(xiàn)在的“信息時(shí)代”、“數(shù)字化時(shí)代”。 　　奇怪的是，雖然人們并不太需要太多的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教育家卻結(jié)結(jié)實(shí)實(shí)地灌輸給學(xué)生大量的數(shù)學(xué)。如果你小學(xué)畢業(yè)，6年數(shù)學(xué)都是主課。如果你完成義務(wù)教育，那就得念9年數(shù)學(xué)。高中3年的數(shù)學(xué)更是難得要命，這還沒有算上微積分。即便中學(xué)不學(xué)微積分，上大學(xué)許多人還是逃不掉，不僅學(xué)理工的要念微積分，學(xué)經(jīng)濟(jì)、金融、管理的也要念。學(xué)文的雖然可逃此一劫，可老托爾斯泰的《戰(zhàn)爭與和平》的最后，就有微積分的論述，而且頗為深刻。馬克思、恩格斯、列寧也懂微積分。這么說，難道一個(gè)人非得念十好幾年的數(shù)學(xué)嗎?更糟的是，正課之余許多學(xué)生還得為“奧數(shù)”拼搏。這些題之偏之難連國際著名的數(shù)學(xué)大師陳省身都不一定做得出來。費(fèi)了半天勁，除了文憑和分?jǐn)?shù)之外，究竟有什么收獲呢? 　　把大量數(shù)學(xué)教給青少年也許并不是那么不合理。相反，從古到今，數(shù)學(xué)一直受到重視。柏拉圖的學(xué)園禁止不懂幾何學(xué)的人人內(nèi)。按照他的說法，不會(huì)幾何學(xué)就不會(huì)正確的思考，而不會(huì)正確思考問題的人不過是行尸走肉。這就形成后來學(xué)習(xí)沒用的數(shù)學(xué)的辯護(hù)詞，你學(xué)的數(shù)學(xué)可能不直接有用，但它是訓(xùn)練頭腦的體操。不過這個(gè)體操對(duì)許多學(xué)生還是太難了。那時(shí)教材也就是歐幾里得的《幾何原本》。許多學(xué)生學(xué)科第五個(gè)命題“等腰三角形兩底角相等”就過不去了，于是這個(gè)命題被稱為“驢橋”，也就是笨人難過的橋。不過，就算勉強(qiáng)過了，是否能變聰明也真的很難說。如果說，以前多學(xué)數(shù)學(xué)還無所謂，那么，17世紀(jì)末近代科學(xué)的產(chǎn)生的確充分證明數(shù)學(xué)的威力。牛頓無愧是有史以來最偉大的科學(xué)家，他一手建立牛頓力學(xué)，另一手建立微積分，正是他在三百多年前把科學(xué)奉獻(xiàn)給文明社會(huì)。18世紀(jì)美國大詩人蒲柏這樣贊美： 　　　　自然及其規(guī)律浸沒在黑暗中， 　　　　上帝說，讓牛頓誕生， 　　　　于是，世界大放光明。 正是牛頓使科學(xué)和基于科學(xué)的技術(shù)推動(dòng)了歷史，使它變成須臾不可離的東西。同時(shí)，他也給后人帶來不少麻煩。雖然你可以“師夷人之長技以制夷”，可是，那永遠(yuǎn)走不遠(yuǎn)，因?yàn)樵S多技術(shù)建立在科學(xué)基礎(chǔ)之上，不學(xué)科學(xué)難對(duì)技術(shù)有重大改進(jìn)，而學(xué)科學(xué)又不能不學(xué)一整套數(shù)學(xué)，其中微積分只不過是基礎(chǔ)的基礎(chǔ)。而學(xué)數(shù)學(xué)又與學(xué)自然科學(xué)不同，總要從基礎(chǔ)學(xué)起。要想學(xué)微積分，首先要把算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角、解析幾何學(xué)好，學(xué)計(jì)算機(jī)又要學(xué)離散數(shù)學(xué)，學(xué)經(jīng)濟(jì)和金融又要學(xué)概率、統(tǒng)計(jì)等等。其實(shí)這些說到底都是二三百年前的數(shù)學(xué)了，不過，讓這些功課都進(jìn)人中學(xué)的數(shù)學(xué)課，對(duì)于多數(shù)人來說，還真有些吃不消。 　　這就是為什么數(shù)學(xué)成為現(xiàn)在壓在學(xué)生頭上的兩座大山之一(另一座是英語)。多學(xué)數(shù)學(xué)沒有壞處，問題是花了這么大的力氣，究竟收獲幾何?真是可憐得很。多數(shù)人根本用不上他們所學(xué)的知識(shí)，也沒有掌握數(shù)學(xué)的思想方法，在理解新的數(shù)學(xué)時(shí)仍然感到十分困難。而更糟的是，許多學(xué)生失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。如果一個(gè)人覺得數(shù)學(xué)很重要，只是被動(dòng)地硬著頭皮去學(xué)，肯定是事倍功半；可是，如果主動(dòng)地、津津有味地學(xué)，也許會(huì)事半功倍。有沒有既能培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣，同時(shí)又能提高對(duì)數(shù)學(xué)理解力的道路呢?有!那就是學(xué)點(diǎn)數(shù)學(xué)史。 　　數(shù)學(xué)史所能告訴讀者的信息，大部分是其他數(shù)學(xué)書一般根本沒有的，甚至根本不具備的。一般數(shù)學(xué)書一上來就是定義、定理、證明，它們論述得非常嚴(yán)格，但是讀者一般感覺就是丈二和尚摸不著頭腦。數(shù)學(xué)討論的許多抽象概念，最難掌握的是研究的動(dòng)機(jī)，也就是引人這些概念究竟干什么，而這只能通過歷史才能看到它的來龍去脈。許多數(shù)學(xué)理論都是通過解決一個(gè)理論問題或一個(gè)實(shí)際問題在歷史長河中慢慢形成的。古希臘的三大幾何問題經(jīng)過兩千多年才在19世紀(jì)得到完滿解決，并且形成伽羅瓦理論。歷史的流變總是幫助讀者認(rèn)識(shí)到問題的難點(diǎn)以及數(shù)學(xué)上的偉大突破，可是教科書則很少告訴你，什么是重要的，什么是不重要的。只有懂得這些，才能說是懂得數(shù)學(xué)。一句話，數(shù)學(xué)史絕對(duì)有助于理解抽象難懂的數(shù)學(xué)。 　　其次，數(shù)學(xué)史不是拘泥于狹窄的學(xué)科領(lǐng)域，而是在更大的文化背景之下看數(shù)學(xué)的發(fā)展。這反映出數(shù)學(xué)與社會(huì)是緊密聯(lián)系在一起的，正因?yàn)槿绱?，?shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用也就是順理成章的事。文藝復(fù)興的巨匠們的繪畫之所以栩栩如生，正是由于他們掌握了透視的基本方法，這導(dǎo)致射影幾何學(xué)的誕生。大航海時(shí)代推動(dòng)了地圖(海圖)繪制技術(shù)的發(fā)展，它反過來也推動(dòng)了人們了解曲面的幾何學(xué)。同樣，工程畫也成為工程技術(shù)人員的通用語言。隨著客觀世界的不確定性的大量出現(xiàn)，概率和統(tǒng)計(jì)也應(yīng)運(yùn)而生。盡管概率論有著并不光彩的出身，但賭徒的問題畢竟使數(shù)學(xué)家建立起系統(tǒng)的理論，而且有越來越多的應(yīng)用。說到底，物理科學(xué)是產(chǎn)生數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)最重要的領(lǐng)域，這從歷史上也可以體會(huì)到。我們現(xiàn)在司空見慣的事物，例如無線電波，都是解微分方程的產(chǎn)物，這些結(jié)果是如此深刻，超出一般人的理解，其原因就是它們是巨人的勞作，而這些巨人又是站在巨人的肩膀上。 　　數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)在于有一套提出問題和解決問題的普遍理論及方法。數(shù)學(xué)家人數(shù)現(xiàn)在不能說少，但做出巨大貢獻(xiàn)的天才也不算太多。數(shù)學(xué)史與通史一樣，首先推崇英雄，他們少說有二三十位，多說有四五十位，學(xué)數(shù)學(xué)史就是要從他們的身上學(xué)點(diǎn)東西。 　　塔巴克的一套五本數(shù)學(xué)史，最為適合有一般數(shù)學(xué)知識(shí)的讀者，它內(nèi)容豐富、行文流暢、通俗易懂、生動(dòng)有趣，如果能夠好好看看，對(duì)數(shù)學(xué)的理解必定會(huì)大有提高，而這種收益是讀多少教材、教輔，做多少題也達(dá)不到的。

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