算術(shù)基礎(chǔ)

前言

　　一這個(gè)數(shù)是什么，或者，1這個(gè)符號(hào)意謂什么，對(duì)這個(gè)問題，人們通常得到的答案是：一個(gè)事物。此外，如果人們注意到，　　“一這個(gè)數(shù)是一個(gè)事物”（“die Zahl Eins ist ein Ding”）這個(gè)句子不是定義，因?yàn)樗贿吺嵌ü谠~，另一邊是不定冠詞，如果人們還注意到，這個(gè)句子只是說一這個(gè)數(shù)屬于事物，而沒有說是哪個(gè)事物，那么也許人們就不得不自己選擇人們?cè)敢夥Q之為一的任何一個(gè)事物。但是，如果每個(gè)人都可以有權(quán)任意理解這個(gè)名稱，那么關(guān)于一的同一個(gè)句子對(duì)于不同的人就會(huì)意謂不同的東西；這樣的句子就不會(huì)有共同的內(nèi)容。一些人也許會(huì)拒絕回答這個(gè)問題，他們暗示說，甚至算術(shù)中a這個(gè)字母的意謂也是不能說明的；而且，如果人們說a意謂一個(gè)數(shù)，那么這里就可能發(fā)現(xiàn)與“一是一個(gè)事物”這個(gè)定義中相同的錯(cuò)誤。拒絕回答與a有關(guān)的問題是完全有理由的，因?yàn)樗皇且庵^確定的可指明的數(shù)，而是用來表示句子的普遍性。如果用任何一個(gè)數(shù)代入a+a-a-a中的a，并且處處都代入相同的數(shù)，那么總是得到一個(gè)正確的等式。a這個(gè)字母是在這種意義上使用的。但是關(guān)于一的問題，情況就根本不同。在1+1-2這個(gè)等式中，我們能用相同的對(duì)象，譬如月亮，兩次代入1嗎？

內(nèi)容概要

　　《算術(shù)基礎(chǔ)》本身包含著許多深刻的哲學(xué)探討，比如關(guān)于數(shù)的討論、關(guān)于分析和綜合的討論、關(guān)于邏輯和心理學(xué)的區(qū)別的討論。

作者簡介

作者：(德)G.弗雷格 譯者：王路

書籍目錄

序  在數(shù)學(xué)中近來可以看到一種旨在達(dá)到證明的嚴(yán)格性和概念的精確的理解的努力。  證明最終的必然也涉及數(shù)這個(gè)概念。證明的目的。  如下的研究的哲學(xué)動(dòng)機(jī)，有爭議的問題，數(shù)的定律是分析的。  真命題還是綜合的真命題，是先驗(yàn)的還是后驗(yàn)的，這些表達(dá)式的意義。  本書的任務(wù)。一些著作家關(guān)于算術(shù)句子的性質(zhì)的意見 數(shù)公式是可證明的嗎？ 算術(shù)規(guī)律是歸納的真命題嗎？ 算術(shù)定律是先驗(yàn)綜合的還是分析的？ 一些著作家關(guān)于數(shù)概念的看法 數(shù)是外在的事物的性質(zhì)嗎？ 數(shù)是主觀的東西嗎？關(guān)于單位和一的看法 “一”這個(gè)數(shù)詞表達(dá)對(duì)象的一種性質(zhì)嗎？ 單位是否彼此相等？ 困難的解決 數(shù)這個(gè)概念 每個(gè)個(gè)別的數(shù)都是一個(gè)獨(dú)立的對(duì)象 為了獲得數(shù)這個(gè)概念，必須確定數(shù)相等的意義 對(duì)我們這個(gè)定義的補(bǔ)充和證明 無窮數(shù) 結(jié)論 其它的數(shù)

章節(jié)摘錄

　　1.數(shù)學(xué)在長時(shí)間背離了歐幾里得的嚴(yán)格性之后，現(xiàn)在又回到這種嚴(yán)格性，并且甚至努力超越它。在算術(shù)中，也許由于許多處理方式和概念發(fā)源于印度，因而產(chǎn)生一種不如主要由希臘人發(fā)展形成的幾何學(xué)中那樣嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式。更高的數(shù)學(xué)分析的發(fā)現(xiàn)僅僅促進(jìn)了這種思維方式；因?yàn)橐环矫妫瑖?yán)格地探討這些學(xué)說遇到了極大的幾乎不可克服的困難，另一方面，為克服這些困難付出的努力似乎沒有什么價(jià)值。然而，后來的發(fā)展總是越來越清楚地說明，在數(shù)學(xué)中一種以多次成功的運(yùn)用為依據(jù)的純粹的道德信念是不夠的。許多過去被看作是自明的東西，現(xiàn)在都需要證明。通過證明，在一些情況下才確定了有效性的限度。函數(shù)、連續(xù)性、極限、無窮這些概念表明需要更明確的規(guī)定。負(fù)數(shù)和無理數(shù)長期以來已為科學(xué)所接受，它們的合理性卻必須得到更嚴(yán)格的證明?！　∫虼说教幙梢钥吹饺藗兣M(jìn)行嚴(yán)格的證明，準(zhǔn)確地劃定有效性的限度，并且為了能夠做到這些，努力準(zhǔn)確地把握概念。　　§2.沿著這條道路，必然達(dá)到構(gòu)成整個(gè)算術(shù)基礎(chǔ)的數(shù)這個(gè)概念和適合于正整數(shù)的最簡單的句子。當(dāng)然，像5+7-12這樣的數(shù)公式和像加法結(jié)合律這樣的定律，通過每天對(duì)它們的無數(shù)次運(yùn)用而得到許多次確認(rèn)，因此由于想要進(jìn)行證明而對(duì)它們表示懷疑，看上去簡直是可笑的。但是數(shù)學(xué)的本質(zhì)就在于，凡是可以進(jìn)行證明的地方，就要使用證明而不用歸納來確證。歐幾里得證明了許多在他看來大家本來就承認(rèn)的東西。

編輯推薦

《算術(shù)基礎(chǔ)》：弗雷格(1848-1925)是德國著名的數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家、哲學(xué)家，是現(xiàn)代數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人。他于1848年11月8日出生在德國維斯瑪；1869年進(jìn)耶拿大學(xué)學(xué)習(xí)，后去哥丁根大學(xué)學(xué)習(xí)，先后學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)和哲學(xué)等課程；1873年在哥丁根大學(xué)獲得哲學(xué)博士學(xué)位；1874年獲得耶拿大學(xué)數(shù)學(xué)系的授課資格；1879年被任命為該校副教授；1896年被任命為該校名譽(yù)教授；1918年退休；1925年去世，享年77歲。他的主要著作和論文有：《概念文字：一種模仿算術(shù)語言構(gòu)造的純思維的形式語言》(1879)；《算術(shù)基礎(chǔ)：對(duì)于數(shù)這個(gè)概念的一種邏輯數(shù)學(xué)的研究》(1884)；《算術(shù)的基本規(guī)律》第一卷(1893)、第二卷(1903)；《論意義和意謂》(1892)；《函數(shù)和概念》(1891)；《論概念和對(duì)象》(1892)等等。

圖書封面

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無

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