算術基礎

前言

　　一這個數是什么，或者，1這個符號意謂什么，對這個問題，人們通常得到的答案是：一個事物。此外，如果人們注意到，　　“一這個數是一個事物”（“die Zahl Eins ist ein Ding”）這個句子不是定義，因為它一邊是定冠詞，另一邊是不定冠詞，如果人們還注意到，這個句子只是說一這個數屬于事物，而沒有說是哪個事物，那么也許人們就不得不自己選擇人們愿意稱之為一的任何一個事物。但是，如果每個人都可以有權任意理解這個名稱，那么關于一的同一個句子對于不同的人就會意謂不同的東西；這樣的句子就不會有共同的內容。一些人也許會拒絕回答這個問題，他們暗示說，甚至算術中a這個字母的意謂也是不能說明的；而且，如果人們說a意謂一個數，那么這里就可能發(fā)現與“一是一個事物”這個定義中相同的錯誤。拒絕回答與a有關的問題是完全有理由的，因為它不是意謂確定的可指明的數，而是用來表示句子的普遍性。如果用任何一個數代入a+a-a-a中的a，并且處處都代入相同的數，那么總是得到一個正確的等式。a這個字母是在這種意義上使用的。但是關于一的問題，情況就根本不同。在1+1-2這個等式中，我們能用相同的對象，譬如月亮，兩次代入1嗎？

內容概要

　　《算術基礎》本身包含著許多深刻的哲學探討，比如關于數的討論、關于分析和綜合的討論、關于邏輯和心理學的區(qū)別的討論。

作者簡介

作者：(德)G.弗雷格 譯者：王路

書籍目錄

序  在數學中近來可以看到一種旨在達到證明的嚴格性和概念的精確的理解的努力。  證明最終的必然也涉及數這個概念。證明的目的。  如下的研究的哲學動機，有爭議的問題，數的定律是分析的。  真命題還是綜合的真命題，是先驗的還是后驗的，這些表達式的意義。  本書的任務。一些著作家關于算術句子的性質的意見 數公式是可證明的嗎？ 算術規(guī)律是歸納的真命題嗎？ 算術定律是先驗綜合的還是分析的？ 一些著作家關于數概念的看法 數是外在的事物的性質嗎？ 數是主觀的東西嗎？關于單位和一的看法 “一”這個數詞表達對象的一種性質嗎？ 單位是否彼此相等？ 困難的解決 數這個概念 每個個別的數都是一個獨立的對象 為了獲得數這個概念，必須確定數相等的意義 對我們這個定義的補充和證明 無窮數 結論 其它的數

章節(jié)摘錄

　　1.數學在長時間背離了歐幾里得的嚴格性之后，現在又回到這種嚴格性，并且甚至努力超越它。在算術中，也許由于許多處理方式和概念發(fā)源于印度，因而產生一種不如主要由希臘人發(fā)展形成的幾何學中那樣嚴謹的思維方式。更高的數學分析的發(fā)現僅僅促進了這種思維方式；因為一方面，嚴格地探討這些學說遇到了極大的幾乎不可克服的困難，另一方面，為克服這些困難付出的努力似乎沒有什么價值。然而，后來的發(fā)展總是越來越清楚地說明，在數學中一種以多次成功的運用為依據的純粹的道德信念是不夠的。許多過去被看作是自明的東西，現在都需要證明。通過證明，在一些情況下才確定了有效性的限度。函數、連續(xù)性、極限、無窮這些概念表明需要更明確的規(guī)定。負數和無理數長期以來已為科學所接受，它們的合理性卻必須得到更嚴格的證明?！　∫虼说教幙梢钥吹饺藗兣M行嚴格的證明，準確地劃定有效性的限度，并且為了能夠做到這些，努力準確地把握概念?！　　?.沿著這條道路，必然達到構成整個算術基礎的數這個概念和適合于正整數的最簡單的句子。當然，像5+7-12這樣的數公式和像加法結合律這樣的定律，通過每天對它們的無數次運用而得到許多次確認，因此由于想要進行證明而對它們表示懷疑，看上去簡直是可笑的。但是數學的本質就在于，凡是可以進行證明的地方，就要使用證明而不用歸納來確證。歐幾里得證明了許多在他看來大家本來就承認的東西。

編輯推薦

《算術基礎》：弗雷格(1848-1925)是德國著名的數學家、邏輯學家、哲學家，是現代數理邏輯的創(chuàng)始人。他于1848年11月8日出生在德國維斯瑪；1869年進耶拿大學學習，后去哥丁根大學學習，先后學習了數學、物理、化學和哲學等課程；1873年在哥丁根大學獲得哲學博士學位；1874年獲得耶拿大學數學系的授課資格；1879年被任命為該校副教授；1896年被任命為該校名譽教授；1918年退休；1925年去世，享年77歲。他的主要著作和論文有：《概念文字：一種模仿算術語言構造的純思維的形式語言》(1879)；《算術基礎：對于數這個概念的一種邏輯數學的研究》(1884)；《算術的基本規(guī)律》第一卷(1893)、第二卷(1903)；《論意義和意謂》(1892)；《函數和概念》(1891)；《論概念和對象》(1892)等等。

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