數(shù)學(xué)物理方程簡明教程

內(nèi)容概要

　　《高等學(xué)校教材：數(shù)學(xué)物理方程簡明教程》系統(tǒng)講解了波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程和泊松方程的基本求解方法，如Green函數(shù)法、分離變量法、特征線法等，同時(shí)介紹了幾類重要的極值原理和能量不等式，并依此研究了三類數(shù)學(xué)物理方程的定解問題解的唯一性和穩(wěn)定性。另外，還對Galerkin方法、有限元方法與差分方法作了簡要介紹，給出了數(shù)值求解算法及其相關(guān)的理論基礎(chǔ)?！　　陡叩葘W(xué)校教材：數(shù)學(xué)物理方程簡明教程》內(nèi)容重點(diǎn)突出，循序漸進(jìn)，深入淺出，對培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題有很好的幫助，可作為高等學(xué)校理工類本科數(shù)學(xué)物理方程課程的教材和參考資料。

書籍目錄

第一部分 穩(wěn)態(tài)問題 第一章 二階常微分方程的邊值問題 1.1 弦的平衡問題和平衡方程 1.2 Dirac 函數(shù)與Green函數(shù) 1.3 Green函數(shù)法 1.4極值原理與定解問題的適定性 1.5特征值與特征函數(shù) 第一章習(xí)題 第二章Poisson方程的邊值問題 2.1熱平衡問題 2.2基本解 2.3 Green函數(shù)法 2.4極值原理與定解問題的適定性 2.5特征值與特征函數(shù) 第二章習(xí)題 第三章 變分方法 3.1 變分原理與弱形式 3.2 Galerkin方法 3.3有限元方法 第三章習(xí)題 第二部分 非穩(wěn)態(tài)問題 第四章 熱傳導(dǎo)方程的初值和初、邊值問題 4.1熱傳導(dǎo)方程 4.2量綱分析 4.3 Cauchy問題與基本解 4.4半無界問題與基本解 4.5混合問題的分離變量法 4.6極值原理與適定性 第四章習(xí)題 第五章 波動(dòng)方程的初值和初、邊值問題 5.1弦振動(dòng)方程與多維波動(dòng)方程 5.2一階方程與特征線方法 5.3初值問題與d'Alembert解 5.4影響區(qū)域、依賴區(qū)域與特征錐 5.5半無界混合問題 5.6分離變量法與共振 5.7能量不等式與適定性 第五章習(xí)題 第六章 差分方法簡介 6.1非穩(wěn)態(tài)問題的差分方法 6.2穩(wěn)態(tài)問題的差分方法 6.3小結(jié) 第六章習(xí)題 第七章 變分方法 7.1弱形式 7.2半離散格式 7.3 Fourier方法 7.4全離散格式與穩(wěn)定性分析 第七章習(xí)題 參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：   插圖：   第三章 變分方法 本章介紹變分原理，推導(dǎo)能量泛函極值的必要條件，導(dǎo)出Poisson方程邊值問題，然后介紹偏微分方程近似求解的Galerkin方法和有限元方法。 3.1變分原理與弱形式 在前兩章，我們利用微元法和動(dòng)量守恒定律建立了平衡問題的數(shù)學(xué)模型——微分方程，除此之外，還有一種方法，常用來建立平衡問題的數(shù)學(xué)模型，這就是變分原理，把一個(gè)物理學(xué)問題（或其他學(xué)科的問題）用變分法轉(zhuǎn)化為求泛函極值（或駐值）的問題，后者就稱為該物理問題（或其他學(xué)科的問題）的變分原理，因此所謂變分原理，即在一個(gè)給定的函數(shù)類內(nèi)求特定泛函的極值，這個(gè)求泛函極值的問題稱為變分問題。 這是一個(gè)函數(shù)方程，是極值點(diǎn)必須滿足的必要條件，通過求解上述函數(shù)方程，可以得到所有可能的內(nèi)部最大（?。┲迭c(diǎn)，這樣就把一個(gè)極值問題轉(zhuǎn)化為求上述函數(shù)方程解的問題。 同樣的思想可以應(yīng)用于變分問題的求解，不同之處僅在于，通過對泛函求導(dǎo)數(shù)（這是需要重新定義的），我們所得到的極值函數(shù)滿足的必要條件是一個(gè)微分方程。 下面我們以膜的平衡問題為例，利用變分原理（最小勢能原理）導(dǎo)出在外力作用下膜的平衡方程，這是一個(gè)Poisson方程的邊值問題，然后介紹利用變分方法求出它的近似解。 考慮固定在框架上的一張薄膜，它在垂直外力作用下處于平衡狀態(tài)，問膜的形狀？ 膜的水平位置為xy平面上的區(qū)域，取u軸垂直于xy平面并組成右手系，在Ω的邊界Ω上膜固定在框架上，它在u方向的位移已知，根據(jù)力學(xué)原理，若一個(gè)物體達(dá)到平衡態(tài)，則其總勢能達(dá)到最小，這一原理可具體表述如下： 最小勢能原理 受外力作用的彈性體，在滿足已知邊界位移約束條件的一切可能的位移中，以達(dá)到平衡狀態(tài)的位移使物體的總勢能達(dá)到最小值。

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