高等學(xué)校教材

內(nèi)容概要

　　《高等學(xué)校教材：線性代數(shù)（第2版）》是一本頗具特色的線性代數(shù)教材，先從向量空間入手，將矩陣作為工具貫穿全書，論及線性代數(shù)的基本內(nèi)容，并簡(jiǎn)要介紹抽象代數(shù)的基本概念，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)，側(cè)重計(jì)算，由淺入深，便于教學(xué)?！　　陡叩葘W(xué)校教材：線性代數(shù)（第2版）》內(nèi)容包括：預(yù)備知識(shí)，向量代數(shù)，空間中直線與平面，行列式與克拉默法則，矩陣，線性方程組，特征值，二次型，線性空間，線性變換，抽象代數(shù)簡(jiǎn)介等，其中附錄內(nèi)容是對(duì)各章基本內(nèi)容的補(bǔ)充和深化，用以擴(kuò)大學(xué)生視野。書后還給出了部分習(xí)題答案、提示?！　　陡叩葘W(xué)校教材：線性代數(shù)（第2版）》可作為高等學(xué)校理工科各專業(yè)線性代數(shù)課程教材，也可作為學(xué)生的自學(xué)用書。

書籍目錄

第0章 預(yù)備知識(shí) §0.1復(fù)數(shù)數(shù)城 §0.2二、三階行列式 第1章 向量代數(shù)、空間中直線與平面 §1.1 空間直角坐標(biāo)系  §1.2向量的概念 §1.3向量的線性運(yùn)算 §1.4向量的數(shù)量積、向量積、混合積 §1.5向量的坐標(biāo) §1.6平面方程 §1.7直線方程 附錄 第2章行列式與克拉默法則 §2.1行列式的定義 §2.2行列式性質(zhì)及計(jì)算 §2.3克拉默法則 附錄 第3章矩陣 §3.1矩陣的概念 §3.2矩陣的運(yùn)算 §3.3逆矩陣 §3.4矩陣的初等變換與初等矩陣 附錄 第4章線性方程組 §4.1消元法 §4.2 n維向量空間與歐氏空間 §4.3 Pn中向量的線性相關(guān)性 §4.4 向量組的秩和矩陣的秩 §4.5線性方程組的有解判定定理 §4.6線性方程組解的結(jié)構(gòu) 附錄線性方程組解理論的應(yīng)用 第5章特征值 §5.1特征值與特征向量 §5.2矩陣的相似 §5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形  §5.4若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形簡(jiǎn)介 第6章二次型 §6.1二次型及其矩陣表示 §6.2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形 §6.3二次型的規(guī)范形 §6.4正定=次型與正定矩陣 §6.5 二次曲線和二次曲面方程的標(biāo)準(zhǔn)化 第7章線性空間 §7.1線性空間的概念 §7.2維數(shù)、基和坐標(biāo) §7.3子空間 §7.4和空間與補(bǔ)空間 §7.5 同構(gòu)映射 第8章線性變換 §8.1線性變換及其運(yùn)算 §8.2線性變換的矩陣 §8.3線性變換的值域與核 第9章抽象代數(shù)簡(jiǎn)介 §9.1群 §9.2環(huán) §9.3除環(huán)、域 部分習(xí)題答案、提示

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：   插圖：   4.4向量組的秩和矩陣的秩 本節(jié)我們討論向量組的秩和矩陣的秩。為此先引入一個(gè)向量組的最大線性無關(guān)組的概念。 定義4.13 設(shè)A：α1，α2，…，αr，β，γ，…是一個(gè)由若干個(gè)n維向量組成的向量組，α1，α2，…，α，是A的一個(gè)部分組，且 （1）α1，α2，…，αr線性無關(guān)； （2）α1，α2，…，αr再添上A中任意一個(gè)向量α得到的向量組α1，α2，…，αr，α線性相關(guān)，則稱部分組α1，α2，…，αr為A的一個(gè)最大線性無關(guān)組。 由定理4.5可得關(guān)于最大線性無關(guān)組的如下定理（請(qǐng)讀者自行證明）。 定理4.7 設(shè)α1，α2，…，αr是A的一個(gè)部分組，則α1，α2，…，αr是A的一個(gè)最大線性無關(guān)組的充要條件是如下條件都成立： （1）α1，α2，…，αr線性無關(guān)； （2）A中任意一個(gè)向量α都可由α1，α2，…，αr線性表出。 注1 條件（2）可換成"α1，α2，…，αr與整個(gè)向量組A等價(jià)"，請(qǐng)讀者證明之。 注2 一個(gè)向量組的任意一個(gè)最大線性無關(guān)組都與原向量組等價(jià)。 可以看出，n維向量空間Pn的任意一個(gè)基都是Pn的一個(gè)最大線性無關(guān)組，特別地，基本向量組ε1，ε2，…，εn。是Pn的一個(gè)最大線性無關(guān)組。利用最大線性無關(guān)組的概念可定義Pn的子空間V的基就是V（看成向量組）的最大線性無關(guān)組。因此，V的基（向量組）與空間V是等價(jià)的。實(shí)際上，向量組A的最大線性無關(guān)組就是與向量組A等價(jià)且包含向量個(gè)數(shù)最少的部分組（參見習(xí)題4.4，第1題）。因此，Pn的子空間V的一個(gè)基就是與V等價(jià)的向量組中所含向量個(gè)數(shù)最少者。 下面定理說明任意一個(gè)含有非零向量的向量組都有最大線性無關(guān)組。 定理4.8 n維向量組A的任意一個(gè)線性無關(guān)組都可以擴(kuò)充成A的一個(gè)最大線性無關(guān)組，從而任意含有非零向量的向量組都有最大線性無關(guān)組。 證明 設(shè)α1，α2，…，αs為A的一個(gè)線性無關(guān)的部分組，我們可以采取逐個(gè)添加的辦法去找A的最大線性無關(guān)組。如果A中所有向量都可由α1，α2，…，αs線性表出，則α1，α2，…αs就是A的最大線性無關(guān)組。假設(shè)αs+1為A中的向量，且不能由α1，α2，…，αs線性表出，由定理4.4知α1，α1，…，αs，αs+1線性無關(guān)。再用α1，α1，…，αs，αs+1代替α1，α2，…，αs重復(fù)上述過程討論，……，如此下去。 由于n維向量空間Pn中至多有n個(gè)線性無關(guān)的向量，因此上述步驟終止于有限步，即至多添加n～s個(gè)向量，就可以把α1，…，αs擴(kuò)充為A的最大線性無關(guān)組。 顯然，一個(gè)向量組可以有許多最大線性無關(guān)組，那么它們之間有什么聯(lián)系呢？ 例1 幾何空間R2（或R3）中，任意兩個(gè)（三個(gè)）不平行（不共面）的向量都是R2（R3）的一個(gè)基，也是最大線性無關(guān)組，容易看出，R2（R3）的任意兩個(gè)最大線性無關(guān)組都可以互相線性表示，即它們等價(jià)。 利用定理4.7的注，我們知道一向量組的任意一個(gè)最大線性無關(guān)組都與原向量組等價(jià)。由向量組等價(jià)的傳遞性知，一個(gè)向量組的任意兩個(gè)最大線性無關(guān)組等價(jià)，再由定理4.6’的推論2知，它們含有相同個(gè)數(shù)的向量，即 定理4.9 一個(gè)向量組的所有最大線性無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)相同。 定義4.14 一個(gè)向量組A的最大線性無關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)稱為該向量組的秩，記為r（A）。若向量組A只含有零向量，則規(guī)定A的秩為0。 定理4.9表明：向量組的秩由該向量組唯一確定，而與最大線性無關(guān)組的選取無關(guān)。不難看出，α1，…，αs線性無關(guān)的充要條件是它的秩與向量個(gè)數(shù)s相等；又若向量組A的秩為r，則向量組A中任意r個(gè)線性無關(guān)的向量所組成的部分向量組都是A的一個(gè)最大線性無關(guān)組。

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