數(shù)論

內(nèi)容概要

　　《數(shù)論:從同余的觀點出發(fā)》依據(jù)作者多年數(shù)論教學心得和研究成果寫成。從同余的定義和觀點出發(fā)，前五章依次講述整除的算法、同余的性質(zhì)、同余式理論、平方剩余、原根和n
次剩余，后兩章是有關(guān)素數(shù)冪模和整數(shù)冪模的同余式，不在通常的初等數(shù)論范疇卻伸手可觸。本書的另一特點是，每節(jié)內(nèi)容都有引人入勝的補充讀物，借此拓寬讀者的知識面和想象力。這些讀物或講述了某一數(shù)論問題的初步知識，如佩爾方程和丟番圖數(shù)組、阿廷猜想和特殊指數(shù)和、橢圓曲線和同余數(shù)問題、自守形式和模形式；或介紹了整數(shù)理論的新問題和新猜想，如完美數(shù)問題、格雷厄姆猜想、哥德巴赫猜想、abc
猜想、3x+1
問題、華林問題、歐拉數(shù)問題、素數(shù)鏈問題、卡塔蘭猜想、費爾馬大定理等及其延拓。此外，本書重視語言描寫，對背景知識和圖表予以關(guān)注。
　　《數(shù)論:從同余的觀點出發(fā)》可供數(shù)學及相關(guān)專業(yè)的大學生、研究生用作教材或參考書，也適合廣大的業(yè)余數(shù)論愛好者和研究者閱讀瀏覽。

書籍目錄

前言
第一章整除的算法
1.1 自然數(shù)的來歷【完美數(shù)與親和數(shù)】
1.2 自然數(shù)的奧妙【鑲嵌幾何與歐拉示性數(shù)】
1.3 整除的算法【梅森素數(shù)與費爾馬素數(shù)】
1.4 最大公因數(shù)【格雷厄姆猜想】
1.5 算術(shù)基本定理【哥德巴赫猜想】
習題
第二章同余的概念
2.1 同余的概念【高斯的《算術(shù)研究》】
2.2 剩余類和剩余系【函數(shù)[x] 和fxg】
2.3 費爾馬{歐拉定理【歐拉數(shù)和歐拉素數(shù)】
2.4 表分數(shù)為循環(huán)小數(shù)【可乘函數(shù)】
2.5 密碼學中的應用【廣義歐拉函數(shù)】
習題
第三章同余式理論
3.1 中國剩余定理【斐波那契兔子問題】
3.2 威爾遜定理【高斯未證的定理】
3.3 丟番圖方程【畢達哥拉斯數(shù)組】
3.4 盧卡斯同余式【覆蓋同余式組】
3.5 素數(shù)的真?zhèn)巍舅財?shù)之鏈】
習題
第四章平方剩余
4.1 二次同余式【高斯環(huán)上的整數(shù)】
4.2 勒讓德符號【表整數(shù)為平方和】
4.3 二次互反律【n 角形數(shù)與費爾馬】
4.4 雅可比符號【阿達馬矩陣和猜想】
4.5 合數(shù)模同余【正十七邊形作圖法】
習題
第五章原根與n 次剩余
5.1 指數(shù)的定義【埃及分數(shù)】
5.2 原根的存在性【阿廷猜想】
5.3 n 次剩余【佩爾方程】
5.4 合數(shù)模的情形【丟番圖數(shù)組】
5.5 狄利克雷特征【三類特殊指數(shù)和】
習題
第六章素數(shù)冪模同余
6.1 伯努利數(shù)與多項式【庫默爾同余式】
6.2 荷斯泰荷姆定理【橢圓曲線】
6.3 拉赫曼同余式【同余數(shù)問題】
6.4 一類調(diào)和和同余式【自守形式和模形式】
第七章整數(shù)冪模同余式
7.1 拉赫曼同余式推廣【abc 猜想】
7.2 莫利定理及推廣【新華林問題】
7.3 雅可布斯坦定理推廣【新費爾馬問題】
7.4 多項式系數(shù)同余【多項式系數(shù)非冪】
10000 以下素數(shù)表
參考文獻

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：   插圖：   需要指出的是，密鑰e，N是可以公開的，只要他保存好解鑰d。任何人都可以按上述加密程序向他發(fā)送密碼，只有他本人可以讀出送來的信息，而其他人要想解出幾乎不可能。因為要想求出d，就必須知道φ(N)，那就需要知道Ⅳ的素因數(shù)P，q。當P，q的位數(shù)足夠大，比如超過100位，按照現(xiàn)有的數(shù)學方法，即使是利用最高級的計算機，也不可能在有限的時間內(nèi)求出φ(N)的值，因而不可能知道d。隨著雙鑰密碼體系的建立，使用了多年的單鑰密碼體系就被棄用了。 RSA不僅保密性能超強，且可以讓很多客戶使用，這是因為Ⅳ和φ(N)都足夠大，可以有很多對ei，di，滿足eidi三1(modφ(N))，i=1，2，…。 可是，隨著時間的推移，密碼學專家不斷想出新的招數(shù)來解破RSA密鑰，辦法是將問題分交給不同的計算機去做。他們想出的新方法有二次篩法、數(shù)域篩法、橢圓曲線算法，等等。其中二次篩法是利用二次剩余和連分數(shù)的技巧來分解整數(shù)。不過目前，還沒有真正威脅到RSA體制，即大數(shù)分解方案的安全性。這里面有個原因，雖然計算機的性能越來越好，解密的方法似乎變得容易起來。不過與此同時，可求得的大素數(shù)位數(shù)也越來越高，又可以用來設(shè)置保密性更強的密鑰。 20世紀90年代以來，美國數(shù)學家利用離散數(shù)學中Hash（散列）函數(shù)來設(shè)計密碼體制，取得了非常好的效果，在政府和金融機構(gòu)應用極廣。比如1991年，RSA中的R——里維斯設(shè)計了所謂MD5算法，被認為堅不可催?？墒堑搅?004年，這個算法卻被中國數(shù)學家王小云（1966-）破解。次年，她又與美籍華裔計算機理論家姚期智（1946-）夫婦合作，破解了美國國家安全局設(shè)計的國際通用的SHA—1算法，轟動了世界。這些結(jié)果表明，電子簽名從理論上講是可以偽造的。 以上MD和SHA分別是信息摘要(Message-Digest)算法和安全散列算法(Secure Hash Algorithm)的簡稱。除了應用于密碼學以外，數(shù)論還可以用在糾錯碼(error correcting code)上，這是一種在糾錯過程中能自動進行檢錯和糾正差錯的代碼。例如，在每一套錄音設(shè)備里，之所以能精確地復制聲音，原因就在于它有糾錯碼。無論是CD產(chǎn)品還是手機，都需要給聲音編碼，這方面得益于數(shù)論在糾錯碼中的應用。

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