偏微分方程數(shù)值解法

前言

本次修訂的主要變化是各章配備了若干數(shù)值例子，并將原第六章“離散化方程的解法”調(diào)前為第四章，目的是加強(qiáng)方法的應(yīng)用，更便于配合講授進(jìn)行計(jì)算實(shí)習(xí)。這些例子多取自筆者與劉播編寫的《微分方程數(shù)值解法》（第四版）（高等教育出版社，2009年）。按現(xiàn)在的章目次序，本書可視為由如下兩部分組成：前四章為邊值問題的數(shù)值解法，后兩章為初值問題的數(shù)值解法。需指出的是，本書與《微分方程數(shù)值解法》（第四版）的主要區(qū)別是：后者包括常微分方程數(shù)值解法；在偏微分方程數(shù)值解法部分，后者先講有限差分法，再講Galerkin有限元法；從方法與理論的處理上看，后者更偏重方法及其應(yīng)用。本書則僅含偏微分方程數(shù)值解法，且將有限元法放在Galerkin有限差分法前邊；在重視方法及方法實(shí)現(xiàn)的同時(shí)，也強(qiáng)調(diào)方法的理論基礎(chǔ)；此外，本書對有限體積法的敘述也更為完整。各?？筛鶕?jù)學(xué)時(shí)數(shù)和專業(yè)要求，任選一種作為本科生或研究生教材。主講教師可根據(jù)情況適當(dāng)刪減部分內(nèi)容，但不宜整章刪除，還要重視算法和計(jì)算實(shí)習(xí)。趁這次再版機(jī)會，筆者糾正了第一版的某些錯(cuò)誤。本書一定還有不少缺點(diǎn)和不當(dāng)處，望廣大師生和讀者校正。

內(nèi)容概要

　　《偏微分方程數(shù)值解法(第2版)》是根據(jù)教育部高等學(xué)校數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會編定的信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)規(guī)范及計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展，在筆者第一版的基礎(chǔ)上編寫而成。全書包括六章，第一、二章是變分形式和Galerkin有限元法，第三、四章和第五章是有限差分法和有限體積法，第六章是離散化方程的解法。本書是為信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)本科生編寫的教材，但也可作為應(yīng)用數(shù)學(xué)、力學(xué)及某些工程科學(xué)專業(yè)的教學(xué)用書。本書介紹的求解偏微分方程的數(shù)值方法是基本的，對于從事科學(xué)技術(shù)及工程計(jì)算的專業(yè)人員也有參考價(jià)值。

書籍目錄

第一部分 邊值問題第一章 變分形式Ritz-Galerkin方法1.1 二次函數(shù)的極值1.2 兩點(diǎn)邊值問題1.2.1 弦的平衡1.2.2 Sobolev空間Hm(j)1.2.3 極小位能原理1.2.4 虛功原理1.3 二階橢圓邊值問題1.3.1 Sobolev空間Hm(G)1.3.2 極小位能原理1.3.3 自然邊值條件1.3.4 虛功原理1.4 Ritz-Galerkin方法1.5 譜方法1.5.1 三角函數(shù)逼近1.5.2 Fourier譜方法1.5.3 擬譜方法(配置法)第二章 有限元空間與橢圓型方程的有限元法2.1 兩點(diǎn)邊值問題的有限元法2.1.1 從Ritz法出發(fā)2.1.2 從Galerkin法出發(fā)2.2 線性有限元法的誤差估計(jì)2.2.1 H1一估計(jì)2.2.2 L2一估計(jì)對偶論證法2.3 一維高次元空間2.3.1 一次元(線性元)2.3.2 二次元2.3.3 三次元2.4 二維矩形元空間2.4.1 Lagrange型元2.4.2 Hermite型兀2.5 三角形元空間2.5.1 面積坐標(biāo)及有關(guān)公式2.5.2 Lagrange型元2.5.3 Hermite型元2.6 曲邊元和等參變換2.7 二階橢圓型方程的有限元法2.7.1 有限元方程的形成2.7.2 矩陣元素的計(jì)算2.7.3 邊值條件的處理2.7.4 舉例：Poisson方程的有限元法2.7.5 數(shù)值例子2.8 收斂階的估計(jì)第三章 橢圓型方程的有限差分法3.1 差分逼近的基本概念3.2 兩點(diǎn)邊值問題的差分格式3.2.1 直接差分化3.2.2 有限體積法3.2.3 待定系數(shù)法與變分差分法3.2.4 邊值條件的處理3.3 二階橢圓型方程的差分格式3.3.1 五點(diǎn)差分格式3.3.2 邊值條件的處理3.3.3 極坐標(biāo)形式的差分格式3.4 極值定理斂速估計(jì)3.4.1 一般二階差分方程3.4.2 極值定理3.4.3 五點(diǎn)格式的斂速估計(jì)’3.5 先驗(yàn)估計(jì)3.5.1 差分公式3.5.2 若干不等式3.5.3 先驗(yàn)估計(jì)3.5.4 解的存在唯一性及斂速估計(jì)3.6 有限體積法3.6.1 三角網(wǎng)的差分格式3.6.2 有限體積法3.7 數(shù)值例子第四章 離散化方程的解法4.1 基本迭代法4.1.1 離散方程的基本特征4.1.2 一般迭代法4.1.3 SOR法(超松弛法)4.1.4 預(yù)處理迭代法4.2 交替方向迭代法4.2.1 二維交替方向迭代4.2.2 三維交替方向迭代4.3 預(yù)處理共軛梯度法4.3.1 共軛梯度法4.3.2 預(yù)處理共軛梯度法4.4 數(shù)值例子4.5 多重網(wǎng)格法4.5.1 二重網(wǎng)格法：差分形式4.5.2 二重網(wǎng)格法：有限元形式4.5.3 多重網(wǎng)格法和套迭代技術(shù)4.5.4 推廣到多維問題第二部分 初值問題第五章 拋物型方程的差分法和有限元法5.1 最簡差分格式5.2 穩(wěn)定性與收斂性5.2.1 穩(wěn)定性概念5.2.2 判別穩(wěn)定性的直接估計(jì)法(矩陣法)5.2.3 收斂性和誤差估計(jì)5.2.4 數(shù)值例子5.3 Fourier方法5.4 判別穩(wěn)定性的代數(shù)準(zhǔn)則5.5 應(yīng)用：含對流項(xiàng)的拋物型方程5.6 變系數(shù)拋物型方程5.7 分?jǐn)?shù)步長法5.7.1 ADI法5.7.2 預(yù)一校法5.7.3 LOD法5.8 數(shù)值例子5.9 有限體積法5.1 0有限元法第六章 雙曲型方程的有限差分法6.1 波動(dòng)方程的差分逼近6.1.1 波動(dòng)方程及其特征6.1.2 顯格式6.1.3 穩(wěn)定性分析6.1.4 隱格式6.1.5 數(shù)值例子6.1.6 強(qiáng)迫振動(dòng)6.2 一階雙曲型方程組6.2.1 線性雙曲型方程組特征概念6.2.2 Cauehy問題依存域影響域決定域6.2.3 初邊值問題6.2.4 擬線性雙曲型方程組6.2.5 一維不定常流6.3 初值問題的差分逼近6.3.1 迎風(fēng)格式6.3.2 積分守恒差分格式6.3.3 黏性差分格式6.4 初邊值問題和對流占優(yōu)擴(kuò)散方程的差分逼近6.4.1 初邊值問題6.4.2 對流占優(yōu)擴(kuò)散方程6.4.3 數(shù)值例子6.5 Godunov格式守恒型格式單調(diào)格式6.5.1 Godunov格式6.5.2 守恒型格式6.5.3 單調(diào)格式6.6 有限體積法名詞索引主要參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

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編輯推薦

《偏微分方程數(shù)值解法(第2版)》是普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材，普通高等學(xué)校信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)系列叢書之一。

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