復(fù)分析導(dǎo)論（第一卷）

用戶評(píng)論 (總計(jì)11條)

•   不進(jìn)入復(fù)數(shù)領(lǐng)域而要對(duì)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行詳盡的分析是難以想象的. 這里有一個(gè)簡(jiǎn)單的例子: 函數(shù) f(x)=1/(1+x^2 ) 在數(shù)軸的每一點(diǎn)上都有同樣的好性質(zhì) (無(wú)窮次可微), 但是它的泰勒級(jí)數(shù) 1/(1+x^2 )=1-x^2+x^4-⋯ 當(dāng) |x|≥1 不再收斂. 停留在實(shí)數(shù)領(lǐng)域中并不能了解到個(gè)中原因: 事實(shí)上, 該級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散集合的分界點(diǎn) x=±1 完全沒(méi)有什么特別之處. 然而只要進(jìn)到復(fù)數(shù)領(lǐng)域情況立即就清楚了: 在圓 |x|=1 上有點(diǎn) x=±√(-1), 在其上函數(shù)f變?yōu)闊o(wú)窮大, 因此級(jí)數(shù)不再收斂.
  在許多問(wèn)題中必須轉(zhuǎn)向考慮復(fù)變量的函數(shù), 這自然等于是從實(shí)數(shù)域轉(zhuǎn)向了代數(shù)閉的復(fù)數(shù)域. 令人驚訝的是, 按照著名的弗羅貝尼烏斯 (Frobenius) 定理 (1878年), 復(fù)數(shù)域是實(shí)數(shù)域的保持其代數(shù)性質(zhì)的唯一可能的擴(kuò)張; 從而對(duì)于復(fù)數(shù)域上的函數(shù)成功構(gòu)造出了一個(gè)與實(shí)變分析一樣完全和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治鰧W(xué).
  轉(zhuǎn)向復(fù)分析便有了更深入研究初等函數(shù)并建立它們之間有趣聯(lián)系的可能性. 像三角函數(shù), 它們?cè)瓉?lái)只不過(guò)是指數(shù)函數(shù)的簡(jiǎn)單組合, 譬如 cos⁡x=1/2 (e^(x√(-1))+e^(-x√(-1)) ). 這樣一些在實(shí)的與 “虛” 的量之間的出乎意料的并且非凡的關(guān)系便顯示了出來(lái), 譬如說(shuō) (√(-1))^√(-1)=e^(-π/2+2kπ) (k=0,±1,…).
  在實(shí)分析中, 僅僅對(duì)于單值函數(shù)發(fā)展了一套嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚? 而多值情形卻常常帶來(lái)了許多麻煩. 復(fù)分析則解釋了多值性的本質(zhì)所在, 從而建立了多值函數(shù)的完美理論.
  復(fù)分析還給出了積分計(jì)算的有效方法從而得到了漸近估值, 也給出了研究微分方程解的方法, 等等: 能用復(fù)分析為工具來(lái)解決的問(wèn)題還可以羅列出很多. 另外還必須提及復(fù)變函數(shù)能夠描述平面向量場(chǎng), 更有甚者, 在復(fù)分析中特別地可以選取出那些函數(shù), 使它們對(duì)應(yīng)于在應(yīng)用中最感興趣的, 同時(shí)為位勢(shì)的和無(wú)源的場(chǎng) (即散度為零的場(chǎng)). 因此復(fù)分析在極不相同的領(lǐng)域中都找到了許多的應(yīng)用.
  復(fù)分析的獨(dú)有的且吸引人的特征之一是它真正的復(fù)合性. 在其中分析與幾何, 絕對(duì)經(jīng)典的與全新的課題結(jié)合了起來(lái). 各種數(shù)學(xué)分支與各種應(yīng)用學(xué)科在復(fù)分析中碰在了一起. 它的一些概念成了在若干領(lǐng)域中的許多研究課題的模型、源泉和起點(diǎn), 這些領(lǐng)域包括了泛函分析、代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)幾何和微分幾何、偏微分方程以及其他的數(shù)學(xué)分支.
  復(fù)分析的原始思想出現(xiàn)在18世紀(jì)后半葉, 首要是與列昂納多•歐拉的名字相聯(lián)系的. 而大量基礎(chǔ)性的理論則主要是由柯西、黎曼和魏爾斯特拉斯在19世紀(jì)的工作所創(chuàng)建的. 在我們當(dāng)代, 復(fù)分析的比較經(jīng)典的部分, 即單復(fù)變函數(shù)的理論, 已經(jīng)取得了完全現(xiàn)代的形式. 但總又出現(xiàn)一些與新提出的數(shù)學(xué)課題相關(guān)的, 以及與應(yīng)用相關(guān)的沒(méi)有解決的問(wèn)題. 而在相對(duì)年輕點(diǎn)的部分, 即多復(fù)變函數(shù)理論, 仍然有著相當(dāng)多的空白點(diǎn). 這個(gè)領(lǐng)域與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多不同領(lǐng)域具有特別豐富的聯(lián)系, 并越來(lái)越引起了人們的注意.
  看來(lái)研究復(fù)分析時(shí)不僅應(yīng)該熟悉單變的, 還要熟悉多變的函數(shù)理論. 但是這兩個(gè)部分除了它們共有的 (比較初等的) 部分之外還具有許多互相之間在原則上相異的性質(zhì). 因此至少在當(dāng)今學(xué)科的發(fā)展水平上, 我們還需持續(xù)不斷地研究它們, 但不應(yīng)只是平行地進(jìn)行.
  這本書(shū)是從作者在莫斯科大學(xué)講課的講義中產(chǎn)生出來(lái)的, 其中第一卷涉及的是必修課程, 第二卷則是專業(yè)基礎(chǔ)課. 本書(shū)的意圖是將第二卷的許多主要思想從一開(kāi)始就讓它們?cè)诘谝痪碇谐霈F(xiàn), 并在那里通過(guò)更加簡(jiǎn)單的單變函數(shù)的內(nèi)容加以解釋.
•   從分析的角度，對(duì)復(fù)變函數(shù)有了更深刻的理解。
  
  這一整套俄羅斯數(shù)學(xué)教材真的不錯(cuò)。
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