偏微分方程

前言

　　本書的前身是作者在浙江大學(xué)、上海交通大學(xué)講授多次的“偏微分方程”課程講義。本書是作者在長期從事“偏微分方程”、“數(shù)學(xué)物理方法”的教學(xué)實踐的基礎(chǔ)上，結(jié)合自己的科研工作，并參考先期出版的同類優(yōu)秀書籍，由原來的講義經(jīng)過修訂、補充而成的。　　眾所周知，偏微分方程已成為研究自然科學(xué)、工程技術(shù)以及經(jīng)濟管理等領(lǐng)域的各種實際課題的重要工具，同時也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支。長期以來，我們有一個愿望：要編寫一本適合當代教學(xué)特點的偏微分方程教材，它既能融入一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)的概念，又表現(xiàn)得更加通俗易懂。編寫這本書的目的是力圖實現(xiàn)我們的上述愿望。在本書的編寫過程中，我們力求做到理論與實際相結(jié)合，嚴密性與直觀性相統(tǒng)一，科學(xué)性與可讀性相和諧。特別地，在講解基本理論和求解方法時，力求突出處理問題的物理背景及其核心思想?！　∥覀儾粌H把注意力集中在傳統(tǒng)的偏微分方程基礎(chǔ)知識上，而且有目的地介紹一些當代數(shù)學(xué)概念：一方面，我們把傳統(tǒng)偏微分方程知識講得盡可能清楚些、透徹些，把一些常見的數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)得盡可能詳細些、完整些；另一方面，我們還特別介紹了與本門課程緊密相關(guān)的一些當代數(shù)學(xué)基本知識，譬如在幾何分析中具有重要作用的Li-Yau估計（也稱Li-Yau不等式）與Harnack不等式等。這方面的知識不僅可以看作傳統(tǒng)偏微分方程的提升，而且是當代前沿數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)，它對提高同學(xué)們對這門課程的學(xué)習(xí)興趣有很大幫助。

內(nèi)容概要

　　本書共分八章：第一章為緒論；第二、三章分別介紹了一階方程、具有兩個自變量的二階方程的基本知識；第四、五、六章分別介紹了三類基本方程：波動方程、熱傳導(dǎo)方程和Laplace方程的定解問題的適定性、求解方法及解的性質(zhì)；第七章主要介紹了一階擬線性雙曲守恒律方程組的一些基本知識；第八章介紹了Cauehy-Kovalevskaya定理。另有兩個附錄：Fourier反演公式；Li-Yau估計?！镀⒎址匠獭凡粌H把注意力集中在傳統(tǒng)的偏微分方程基礎(chǔ)知識上，而且還有目的地介紹一些當代數(shù)學(xué)知識，譬如在幾何分析中具有重要作用的Li-Yau估計和Hamack不等式等。《偏微分方程》的另一特點是，除在每節(jié)后面為讀者準備了一些習(xí)題之外，還在一些章節(jié)后面為讀者準備了一些思考題和“開放問題（open
problem）”。這些問題具有一定的啟發(fā)性，對提高學(xué)生對本門課程的學(xué)習(xí)興趣有很大幫助。
　　本書可作為高等院校數(shù)學(xué)系學(xué)生的教材，也可供數(shù)學(xué)、力學(xué)和物理學(xué)等相關(guān)專業(yè)的工作者參考。

書籍目錄

第一章 緒論
1 常用符號
2 基本概念
3 一些例子
4 縱覽
第二章 一階方程
1 一個簡單線性方程
1.1 解析求解：特征線方法
1.2 近似求解：有限差分方法
2 一類簡單擬線性方程
2.1 Burgers方程
2.2 一般情形
2.3 導(dǎo)數(shù)的突變和破裂時間
3 擬線性方程的幾何理論
4 擬線性方程的Cauchy問題
4.1 Cauchy問題
4.2 局部解的存在性
4.3 解的存在唯一性條件
4.4 一種特殊情況：線性偏微分方程
4.5 高維情形
4.6 例子
5 一階偏微分方程組
5.1 一階線性偏微分方程組
5.2 一階擬線性偏微分方程組
6 總結(jié)與思考
第三章 具有兩個自變量的二階偏微分方程
1 擬線性二階方程的特征
2 奇性的傳播
3 二階線性方程的標準形
4 一維波動方程
5 總結(jié)與思考
第四章 波動方程
1 一維波動方程：方程的導(dǎo)出及定解條件
1.1 方程的導(dǎo)出
2.1 定解條件
2 一維波動方程：Cauchy問題
2.1 疊加原理
2.2 齊次化原理
3 一維波動方程：初邊值問題
3.1 分離變量法
3.2 非齊次方程
3.3 非齊次邊界條件
4 高維波動方程的Cauchy問題
4.1 高維空間中的波動方程
4.2 定解條件
4.3 球平均法
4.4 Hadamard降維法
4.5 非齊次波動方程Cauchy問題的解
5 波的傳播
5.1 基本概念
5.2 波的傳播：Huygens原理與波的彌散現(xiàn)象
5.3 解的衰減
5.4 解的正則性
6 一般的Cauchy問題與初邊值問題
6.1 一般的Cauchy問題
6.2 初邊值問題
7 能量不等式
7.1 動能和位能
7.2 初邊值問題解的唯一性與穩(wěn)定性
7.3 Cauchy問題解的唯～性與穩(wěn)定性
8 總結(jié)與思考
第五章 熱傳導(dǎo)方程
1 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出及其定解條件
1.1 方程的導(dǎo)出
1.2 定解條件
2 Cauchy問題
2.1 Fourier變換
2.2 Cauchy問題的求解——Fourier變換法
2.3 解的存在性
3 初邊值問題
4 極值原理
4.1 極值原理
4.2 初邊值問題
4.3 Cauchy問題
5 Li-Yau估計與Harnack不等式
6 漸近性態(tài)
6.1 初邊值問題
6.2 Cauchy問題
7 總結(jié)與思考
第六章 Laplace方程
1 方程的導(dǎo)出及定解條件的提法
1.1 方程的導(dǎo)出
1.2 定解條件
2 變分法
2.1 變分問題與Euler-Lagrange方程
2.2 變分原理
2.3 變分問題與定解問題的求解
3 調(diào)和函數(shù)
3.1 Green公式
3.2 基本積分公式
3.3 基本性質(zhì)
3.4 極值原理
3.5 Laplace方程的第一邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性
4 Green函數(shù)
4.1 引進Green函數(shù)的動機及其基本性質(zhì)
4.2 鏡像法
4.3 解的驗證
5 調(diào)和函數(shù)（續(xù)）
6 強極值原理
6.1 強極值原理
6.2 應(yīng)用：Laplace方程第二邊值問題解的唯一性
7 總結(jié)與思考
第七章 擬線性雙曲守恒律方程組初步
1 擬線性雙曲守恒律方程組
1.1 基本概念
1.2 例子
1.3 解的破裂
2 間斷解
2.1 解的定義
2.2 Rankine-Hugoniot條件
2.3 熵條件
2.4 Riemann問題
3 非線性波：經(jīng)典解情形
3.1 疏散波與壓縮波
3.2 應(yīng)用實例——追趕問題
4 非線性波：間斷解情形
4.1 單個守恒律
4.2 激波的形成與傳播
4.3 Riemann問題（續(xù)）
5 總結(jié)與思考
第八章 Cauchy-Kovalevskaya定理
1 準備知識
1.1 多重無窮級數(shù)
1.2 實解析函數(shù)
1.3 實解析函數(shù)（續(xù)）
2 Cauchy-Kovalevskaya定理
2.1 Cauchy-Kovalevskaya定理
2.2 Cauchy-Kovalevskaya定理的證明
3 一些注記
附錄一 Fourier反演公式
附錄二 Li-Yau估計
參考文獻

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無

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