最優(yōu)化方法

前言

　　最優(yōu)化是一門應(yīng)用十分廣泛的學(xué)科，它研究在有限種或無限種可行方案中挑選最優(yōu)方案，構(gòu)造尋求最優(yōu)解的計(jì)算方法。由于最優(yōu)化在科學(xué)、工程、國防、交通、管理、經(jīng)濟(jì)、金融、計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，現(xiàn)在許多高校理科、工科、管理科學(xué)、經(jīng)濟(jì)與金融等學(xué)科都把最優(yōu)化開設(shè)為一門必修或選修課程。　　為了給我國高等院校理工科和管理類本科生提供一本現(xiàn)代、實(shí)用、簡潔的“最優(yōu)化方法”教材，我們根據(jù)“教育部信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)系列教材編委會(huì)”的要求，結(jié)合我們自己在最優(yōu)化領(lǐng)域的科研和教學(xué)體會(huì)，把這個(gè)領(lǐng)域的最基本、最重要、最實(shí)用、最有效的現(xiàn)代最優(yōu)化方法的內(nèi)容介紹給學(xué)生，使本科生對最優(yōu)化方法有一個(gè)基本的和較全面的了解，為進(jìn)一步從事最優(yōu)化和應(yīng)用最優(yōu)化打下一個(gè)較好的基礎(chǔ)。　　本書是一本最優(yōu)化和運(yùn)籌學(xué)方面的入門性教材，適合作為高等院校理工科和管理類本科生和研究生的一學(xué)期使用的教材。本書深入淺出，通俗易懂。我們嘗試努力講清每種方法的動(dòng)機(jī)、算法、性質(zhì)、收斂性及數(shù)值例子，盡可能避免較深較難的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和證明，力爭把所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)降到最低。對于個(gè)別有一定難度的章節(jié)，為了全書的連貫性，我們?nèi)匀唤o出，但用+號(hào)表示，表示僅供教師和感興趣的學(xué)生參考。例如，§2.4 線性規(guī)劃的內(nèi)點(diǎn)法，§3.6 不精確線性搜索方法的收斂性，§3.8 信賴域方法的收斂性，§4.5 擬牛頓法的收斂性，小節(jié)5.2.2 解線性等式約束的線性最小二乘問題，§7.3 內(nèi)點(diǎn)障礙函數(shù)法，§7.4 序列二次規(guī)劃方法等。對于這些章節(jié)，教師可根據(jù)具體情況考慮是否予以跳過?？傊瑢τ谝粚W(xué)期的課程而言，本書提供了足夠的教學(xué)內(nèi)容，教師可根據(jù)具體情況組織教學(xué)?！　”緯顑?yōu)化領(lǐng)域的核心內(nèi)容。第一章介紹最優(yōu)化問題的基本概念：第二章介紹在實(shí)際中有最廣泛應(yīng)用的線性規(guī)劃；第三章討論線性搜索與信賴域方法，它們提供了最優(yōu)化方法的總體收斂策略；第四章研究無約束最優(yōu)化方法，這一章是全書的一個(gè)中心，這不僅因?yàn)闊o約束最優(yōu)化本身的重要性，而且眾多約束最優(yōu)化問題也都是轉(zhuǎn)化為無約束問題來處理。第五章討論一類特殊的最優(yōu)化問題——線性與非線性最小二乘問題。這些問題在實(shí)際中廣泛存在，我們向大家提供解這類問題的基本的現(xiàn)代方法，相信這對大家今后的工作是相當(dāng)有益的。第六和第七兩章討論約束最優(yōu)化，其中我們將一類特殊的和重要的約束優(yōu)化類型——二次規(guī)劃單獨(dú)構(gòu)成一章，其重要意義自不必說。

內(nèi)容概要

　　《最優(yōu)化方法（第2版）》是為高等學(xué)校理工科和管理類本科生編寫的一學(xué)期使用的“最優(yōu)化方法”教材，主要內(nèi)容包括：基本概念、線性規(guī)劃、線性搜索與信賴域方法、無約束最優(yōu)化方法、線性與非線性最小二乘問題、二次規(guī)劃、約束最優(yōu)化的理論與方法等。全書深入淺出，理論、計(jì)算與應(yīng)用相結(jié)合，盡可能避免較深的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和證明。每章后面都有一個(gè)小結(jié)，并附有習(xí)題，易于教學(xué)?！　　蹲顑?yōu)化方法（第2版）》可作為信息與計(jì)算科學(xué)、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、管理科學(xué)與工程、計(jì)算機(jī)、經(jīng)濟(jì)與金融，以及有關(guān)理工科專業(yè)的本科生和研究生作為教材或教學(xué)參考書。具有高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)基礎(chǔ)的科技人員可自學(xué)《最優(yōu)化方法（第2版）》。

書籍目錄

第一章 基本概念1.1 最優(yōu)化問題簡介1.2 凸集和凸函數(shù)1.2.1 凸集1.2.2 凸函數(shù)1.3 最優(yōu)性條件1.4 最優(yōu)化方法概述小結(jié)習(xí)題第二章 線性規(guī)劃2.1 線性規(guī)劃問題和基本性質(zhì)2.1.1 線性規(guī)劃問題2.1.2 圖解法2.1.3 基本性質(zhì)2.1.4 線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形2.1.5 基本可行解2.1.6 最優(yōu)解的性質(zhì)2.2 單純形法2.3 線性規(guī)劃的對偶與對偶單純形法2.3.1 確定線性規(guī)劃的對偶問題2.3.2 對偶定理2.3.3 對偶單純形法2.4 線性規(guī)劃的內(nèi)點(diǎn)算法小結(jié)習(xí)題第三章 線性搜索與信賴域方法3.1 線性搜索3.2 0.618法和Fibonacci法3.2.1 0.618法3.2.2 Fibonacci法3.2.3 二分法3.3 逐次插值逼近法3.4 精確線性搜索方法的收斂性3.5 不精確線性搜索方法3.5.1 Goldstein準(zhǔn)則3.5.2 Wolfe準(zhǔn)則3.5.3 Armijo準(zhǔn)則3.6 不精確線性搜索方法的收斂性3.7 信賴域方法的思想和算法框架3.8 信賴域方法的收斂性3.9 解信賴域子問題小結(jié)習(xí)題第四章 無約束最優(yōu)化方法4.1 最速下降法4.2 牛頓法4.3 共軛梯度法4.3.1 共軛方向法4.3.2 共軛梯度法4.3.3 對于非二次函數(shù)的共軛梯度法4.4 擬牛頓法4.4.1 擬牛頓條件4.4.2 校正和BFGS校正4.5 擬牛頓法的收斂性小結(jié)習(xí)題第五章 線性與非線性最小二乘問題5.1 引言5.2 線性最小二乘問題的解法5.2.1 解線性最小二乘問題5.2.2 解線性等式約束的線性最小二乘問題5.3 非線性最小二乘的Gatlss-Newton法5.4 信賴域方法小結(jié)習(xí)題第六章 二次規(guī)劃6.1 二次規(guī)劃6.2 等式約束二次規(guī)劃問題6.3 凸二次規(guī)劃的有效集方法小結(jié)習(xí)題第七章 約束最優(yōu)化的理論與方法7.1 約束最優(yōu)化問題與最優(yōu)性條件7.2 二次罰函數(shù)方法7.3 內(nèi)點(diǎn)障礙函數(shù)法7.4 序列二次規(guī)劃方法小結(jié)習(xí)題附錄I：試驗(yàn)函數(shù)1 無約束最優(yōu)化問題的試驗(yàn)函數(shù)2 約束最優(yōu)化問題的試驗(yàn)函數(shù)附錄Ⅱ：MATLAB程序1 共軛梯度法2 BFGS算法3 解二次規(guī)劃的有效集方法4 序列二次規(guī)劃方法參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

　　無約束最優(yōu)化問題是最優(yōu)化的基礎(chǔ)，一則很多實(shí)際的最優(yōu)化問題本身就是無約束最優(yōu)化問題，二則許多約束最優(yōu)化方法都是通過變換把約束最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成無約束最優(yōu)化問題后，用適當(dāng)?shù)臒o約束優(yōu)化方法求解?！　「鶕?jù)模型（1.1.6 ）中函數(shù)的具體性質(zhì)和復(fù)雜程度，最優(yōu)化問題又有許多不同的類型。根據(jù)決策變量的取值是離散的還是連續(xù)的分為離散最優(yōu)化和連續(xù)最優(yōu)化，離散最優(yōu)化通常又稱組合最優(yōu)化，如整數(shù)規(guī)劃、資源配置、郵路問題、生產(chǎn)安排等問題都是離散最優(yōu)化問題的典型例子。離散最優(yōu)化問題的求解較之連續(xù)最優(yōu)化問題的求解難度更大，本書只介紹連續(xù)最優(yōu)化的理論與方法。根據(jù)連續(xù)最優(yōu)化模型中函數(shù)的光滑與否又分為光滑最優(yōu)化與非光滑最優(yōu)化。如果模型（1.1.6 ）中的所有函數(shù)都連續(xù)可微，則稱為光滑最優(yōu)化；只要有一個(gè)函數(shù)非光滑，則相應(yīng)的優(yōu)化問題就是非光滑最優(yōu)化問題。本書只研究光滑最優(yōu)化問題的求解方法，即在本書的大多數(shù)章節(jié)我們都假定模型中的函數(shù)連續(xù)可微，有時(shí)二階或更高階連續(xù)可微。　　……

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