數(shù)值分析基礎(chǔ)

前言

　　本書(shū)第一版按照當(dāng)時(shí)的《應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)值分析課程基本要求》編寫(xiě)，出版后經(jīng)我們和兄弟院校同行使用，有了一些教學(xué)的積累。這些年來(lái)，高等學(xué)校的專業(yè)設(shè)置和課程開(kāi)設(shè)都有了很多調(diào)整和變動(dòng)，數(shù)值分析課程更多為理工科各專業(yè)的研究生開(kāi)設(shè)，我們也多年從事這3-面的教學(xué)。為了更適應(yīng)當(dāng)前的情況，特別是針對(duì)一般理工科研究生“數(shù)值分析”或“科學(xué)與工程計(jì)算”一類課程的要求，我們對(duì)本書(shū)第一版進(jìn)行了修訂，以使新的一版更適合于這類課程使用?！　⌒抻喓笕珪?shū)的主要內(nèi)容仍然是數(shù)值分析學(xué)科的基本方法與理論，但是根據(jù)教學(xué)的需求作了一些調(diào)整，增加了一些常用的數(shù)值方法，刪去了部分內(nèi)容，很多章節(jié)也進(jìn)行了改寫(xiě)。首先是各章次序的安排，把線性代數(shù)和非線性3-程及方程組的數(shù)值方法放在全書(shū)的前半部分。根據(jù)我們的體會(huì)，這樣的安排對(duì)教學(xué)有一定的優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)然，本書(shū)也可以適應(yīng)不同講課次序的教師使用。其次，把原來(lái)分散的一些準(zhǔn)備知識(shí)，特別是線性賦范空間、內(nèi)積空間的一些基本概念以及它們?cè)诟鞣N數(shù)值方法中的應(yīng)用集中在第一章加強(qiáng)了介紹。這些數(shù)學(xué)概念有利于用比較統(tǒng)一的觀點(diǎn)對(duì)不同的近似問(wèn)題中誤差、收斂性等進(jìn)行分析。同時(shí)在第一章中世.對(duì)以下各章用到的一些線性代數(shù)知識(shí)作了復(fù)習(xí)和進(jìn)一步集中補(bǔ)充介紹，便于讀者系統(tǒng)地學(xué)習(xí)，也和隨后關(guān)于代數(shù)問(wèn)題數(shù)值3-法的各章有比較緊密的聯(lián)系。　　這次修訂對(duì)第一版各章內(nèi)容有所增刪。作為數(shù)值線性代數(shù)的三個(gè)主要部分的前兩者，即解方程組和特征值問(wèn)題的傳統(tǒng)內(nèi)容和第一版同樣得到重視，而第三部分即線性最小二乘問(wèn)題則在第二版得到了加強(qiáng)，這在第七章中有所反映。此外還增加了Pad6逼近、自適應(yīng)求積分方法等內(nèi)容，刪去了稀疏矩陣有關(guān)方法的詳細(xì)分析、矩陣的奇異值分解、函數(shù)最佳一致逼近的古典理論、插值和積分的Peano余項(xiàng)估計(jì)等在非數(shù)學(xué)專業(yè)課程中一般較少涉及的內(nèi)容，關(guān)于B一樣條函數(shù)的內(nèi)容也大大地簡(jiǎn)化了。我們希望內(nèi)容的增刪后更適合一般理工科研究生的課程，同時(shí)也適當(dāng)留有余地，不同要求和不同學(xué)時(shí)的課程可以從中選取適當(dāng)?shù)恼鹿?jié)使用?！　≈灰哂幸话憷砉た茖I(yè)的高等數(shù)學(xué)（微積分和微分3-程）和線性代數(shù)課程的基礎(chǔ)就可以學(xué)習(xí)本書(shū)。針對(duì)讀者這樣的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，在修訂中除了數(shù)值方法的敘述力求清晰外，還注意理論分析比較嚴(yán)謹(jǐn)，必要的數(shù)學(xué)推導(dǎo)比較詳細(xì)。各章的習(xí)題以數(shù)值3-法的使用和分析為主，也適當(dāng)?shù)匕ㄒ恍└拍詈托再|(zhì)的討論。

內(nèi)容概要

　　數(shù)值分析基礎(chǔ)（第2版）》著重介紹現(xiàn)代科學(xué)與工程計(jì)算中的有關(guān)數(shù)值方法，強(qiáng)調(diào)數(shù)值分析的基本概念、理論及應(yīng)用，特別是數(shù)值方法在計(jì)算機(jī)上的實(shí)現(xiàn)。理論敘述嚴(yán)謹(jǐn)、精練，概念交代明確，方法描述清晰，系統(tǒng)性較強(qiáng)。全書(shū)內(nèi)容包括：線性代數(shù)方程組的直接方法和迭代方法，特征值問(wèn)題的數(shù)值方法，非線性方程和方程組的數(shù)值方法，函數(shù)的插值和逼近，線性最小二乘法，數(shù)值積分和微分，常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值方法等?！稊?shù)值分析基礎(chǔ)（第2版）》可作為理工科研究生數(shù)值分析、科學(xué)計(jì)算等課程的教材，也可以作為相關(guān)專業(yè)本科生的教材，還可供相關(guān)科研、技術(shù)人員參考。

書(shū)籍目錄

第一章 引論1 數(shù)值分析的研究對(duì)象2 數(shù)值計(jì)算的誤差2.1 誤差的來(lái)源與分類2.2 絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差、有效數(shù)字2.3 求函數(shù)值和算術(shù)運(yùn)算的誤差估計(jì)2.4 計(jì)算機(jī)的浮點(diǎn)數(shù)表示和舍人誤差3 病態(tài)問(wèn)題、數(shù)值穩(wěn)定性與避免誤差危害3.1 病態(tài)問(wèn)題與條件數(shù)3.2 數(shù)值方法的穩(wěn)定性3.3 避免誤差危害4 線性代數(shù)的一些基本概念4.1 矩陣的特征值問(wèn)題、相似變換化標(biāo)準(zhǔn)形4.2 線性空間和內(nèi)積空間4.3 范數(shù)、線性賦范空間5 幾種常見(jiàn)矩陣的性質(zhì)5.1 正交矩陣和酉矩陣5.2 對(duì)稱矩陣和對(duì)稱正定矩陣5.3 初等矩陣5.4 可約矩陣5.5 對(duì)角占優(yōu)矩陣習(xí)題第二章 線性代數(shù)方程組的直接解法1 Gauss消去法1.1 順序消去與回代過(guò)程1.2 順序消去能夠?qū)崿F(xiàn)的條件1.3 矩陣的三角分解2 選主元素的消去法2.1 有換行步驟的消去法2.2 矩陣三角分解定理的推廣2.3 選主元素的消去法3 直接三角分解方法3.1 Doolittle分解方法3.2 對(duì)稱矩陣的三角分解、Cholesky方法3.3 帶狀矩陣方程組的直接方法4 矩陣的條件數(shù)、直接方法的誤差分析4.1 擾動(dòng)方程組與矩陣的條件數(shù)4.2 病態(tài)方程組的解法4.3 列主元素消去法的舍入誤差分析習(xí)題計(jì)算實(shí)習(xí)題第三章 線性代數(shù)方程組的迭代解法1 迭代法的基本概念1.1 向量序列和矩陣序列的極限1.2 迭代公式的構(gòu)造1.3 迭代法收斂性分析2 Jacoboi迭代法和Gauss-seidel迭代法2.1 Jacobi迭代法2.2 Gauss-Seidel迭代法2.3 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收斂性3 超松弛迭代法3.1 逐次超松弛迭代公式3.2 SOR迭代法的收斂性3.3 最優(yōu)松弛因子3.4 對(duì)稱超松弛迭代法4 共軛梯度法4.1 與方程組等價(jià)的變分問(wèn)題4.2 最速下降法4.3 共軛梯度法4.4 預(yù)處理共軛梯度方法習(xí)題計(jì)算實(shí)習(xí)題第四章 非線性方程和方程組的數(shù)值解法1 區(qū)間對(duì)分法2 單個(gè)方程的不動(dòng)點(diǎn)迭代法2.1 不動(dòng)點(diǎn)和不動(dòng)點(diǎn)迭代法2.2 迭代法在區(qū)間[a，b]的收斂性2.3 局部收斂性與收斂階3 迭代加速收斂的方法3.1 Aitken加速方法3.2 Steffensen迭代法4 Newton迭代法和割線法4.1 Newton迭代法的計(jì)算公式4.2 局部收斂性和全局收斂性4.3 重根情形4.4 割線法5 非線性方程組的不動(dòng)點(diǎn)迭代法5.1 向量值函數(shù)的連續(xù)性和導(dǎo)數(shù)5.2 壓縮映射和不動(dòng)點(diǎn)迭代法6 非線性方程組的Newton法和擬Newton法6.1 Newton法6.2 擬Newton法習(xí)題計(jì)算實(shí)習(xí)題第五章 矩陣特征值問(wèn)題的數(shù)值方法1 特征值的估計(jì)和擾動(dòng)1.1 特征值的估計(jì)1.2 特征值的擾動(dòng)2 正交變換和矩陣因式分解2.1 Householder變換2.2 Givens變換2.3 矩陣的QR因式分解2.4 矩陣的Schur因式分解3 冪迭代法和逆冪迭代法3.1 冪迭代法3.2 加速技術(shù)3.3 逆冪迭代法3.4 收縮方法4 QR方法4.1 基本QR迭代4.2 正交相似變換化矩陣為上Hessenberg形式4.3 Hessenberg矩陣的QR方法4.4 帶有原點(diǎn)位移的QR方法4.5 雙重步QR方法5 對(duì)稱矩陣特征值問(wèn)題的計(jì)算5.1 對(duì)稱矩陣特征值問(wèn)題的性質(zhì)5.2 Rayleigh商迭代5.3 Jacobi方法5.4 對(duì)稱矩陣的QR方法習(xí)題計(jì)算實(shí)習(xí)題第六章 插值法1 Lagrange插值1.1 Lagrange插值多項(xiàng)式1.2 插值余項(xiàng)及其估計(jì)1.3 線性插值和二次插值1.4 關(guān)于插值多項(xiàng)式的收斂性問(wèn)題2 均差與Newton插值多項(xiàng)式2.1 均差及其性質(zhì)2.2.Newton插值多項(xiàng)式2.3 差分及其性質(zhì)2.4 等距節(jié)點(diǎn)的Newton插值公式3 Hermite插值3.1 Hermite插值多項(xiàng)式3.2 重節(jié)點(diǎn)均差3.3 Newton形式的Hermite插值多項(xiàng)式3.4 一般密切插值（Hermite插值）4 三次樣條插值4.1 分段線性插值及分段三次Her-mite插值4.2 三次樣條插值函數(shù)4.3 三次樣條插值函數(shù)的計(jì)算方法4.4 數(shù)值例子5 三次樣條插值函數(shù)的性質(zhì)與誤差估計(jì)5.1 基本性質(zhì)5.2 三次樣條插值函數(shù)的誤差估計(jì)6 B 樣條函數(shù)6.1 三次樣條函數(shù)空間……第七章 函數(shù)逼近第八章 數(shù)值積分與數(shù)值微分第九章 常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法部分習(xí)題的答案或提示

章節(jié)摘錄

　　數(shù)值分析是科學(xué)與工程計(jì)算的數(shù)學(xué)，它研究各種科學(xué)與工程中求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法的設(shè)計(jì)、分析以及有關(guān)的數(shù)學(xué)理論和如何具體實(shí)現(xiàn)等問(wèn)題。所以數(shù)值分析這門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科現(xiàn)在也常常被稱為科學(xué)與工程計(jì)算?！　『芏鄶?shù)學(xué)問(wèn)題往往難以簡(jiǎn)明準(zhǔn)確地表示出其解，例如某些微分方程不能用初等函數(shù)表示出準(zhǔn)確解，人們就用數(shù)值方法來(lái)近似求解。有些問(wèn)題的準(zhǔn)確計(jì)算方法也常常難以得到結(jié)果，例如用按行展開(kāi)的方法（Laplace定理）求高階行列式的值需要極其大量的運(yùn)算，所以用cramer法則解高階線性代數(shù)方程組是不現(xiàn)實(shí)的。這樣便需要尋求能夠?qū)嶋H使用的數(shù)值方法。在我國(guó)古代就有圓周率計(jì)算和解線性代數(shù)方程組的消去法等數(shù)值方法的研究。當(dāng)微積分出現(xiàn)以后，就有了數(shù)值微積分和解常微分方程等各種數(shù)值方法。但是數(shù)值計(jì)算開(kāi)始真正迅速發(fā)展是在20世紀(jì)中葉，隨著計(jì)算機(jī)和相關(guān)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)值計(jì)算的應(yīng)用已經(jīng)深入到各門(mén)科學(xué)、工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域，它自身的發(fā)展也是十分迅速的?，F(xiàn)在，很多復(fù)雜的和大規(guī)模的計(jì)算問(wèn)題都可以在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算，新的、更有效的計(jì)算方法不斷出現(xiàn)?？茖W(xué)與工程計(jì)算已經(jīng)成為各門(mén)自然科學(xué)和工程、技術(shù)科學(xué)的一種科學(xué)方法和重要手段。所以，數(shù)值分析和其他學(xué)科有十分緊密的聯(lián)系，它是一門(mén)基礎(chǔ)性的，也是一門(mén)應(yīng)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)學(xué)科?！　≡谟?jì)算機(jī)上求解一個(gè)科學(xué)技術(shù)問(wèn)題大致有幾個(gè)步驟：首先是數(shù)學(xué)建模，再針對(duì)該模型選擇或設(shè)計(jì)數(shù)值求解的方法，然后在計(jì)算機(jī)上計(jì)算（包括使用各種軟件），將計(jì)算結(jié)果用數(shù)據(jù)、圖表等表現(xiàn)出來(lái)加以分析，有時(shí)還要進(jìn)行反復(fù)的計(jì)算。數(shù)值分析主要是針對(duì)這個(gè)過(guò)程的第二步。由于大量的問(wèn)題要求解計(jì)算，所以要對(duì)各種方法進(jìn)行研究和分析，這主要包括：誤差、穩(wěn)定性、收斂性、計(jì)算工作量、存貯量和自適應(yīng)性等方面。這些基本的概念用于描述數(shù)值方法的適用范圍、可靠性、準(zhǔn)確性、效率和使用的方便性等。

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