應(yīng)用數(shù)值分析

前言

　　在高等學(xué)校的各類數(shù)學(xué)課程中，數(shù)值分析與科學(xué)計(jì)算課程有著十分重要的地位和作用。當(dāng)前科學(xué)計(jì)算已經(jīng)成為各門自然科學(xué)、工程技術(shù)科學(xué)和經(jīng)濟(jì)管理科學(xué)不可或缺的手段，而數(shù)值分析是科學(xué)計(jì)算的核心，也是理工科本科生和研究生應(yīng)當(dāng)具備的基本能力。因?yàn)樵S多工程應(yīng)用問題的數(shù)學(xué)模型是無法求得解析解的，需要用數(shù)值計(jì)算方法在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行近似計(jì)算。因此，數(shù)值分析的教材就應(yīng)更多地面向應(yīng)用，培養(yǎng)算法意識(shí)和計(jì)算能力，研究數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法，特別是常用工具軟件的使用?！　”緯墙Y(jié)合多年來的教學(xué)實(shí)踐，通過多次試用、修改后整理而成的。與同類其他教材不同，本書增加了部分應(yīng)用性較強(qiáng)的內(nèi)容，力求做到內(nèi)容完整和算法實(shí)用，以適應(yīng)工科碩士研究生和數(shù)學(xué)類專業(yè)本科少學(xué)時(shí)數(shù)值分析課程的學(xué)習(xí)特點(diǎn)?！　”緯帉憰r(shí)特別注重課程體系的完整性、應(yīng)用性和內(nèi)容的可讀性。為此，在系統(tǒng)介紹基礎(chǔ)理論的同時(shí)，省略了一些繁瑣艱深的證明過程，主要側(cè)重于算法的敘述和算例分析。行文時(shí)注重通俗易懂，對(duì)專業(yè)術(shù)語盡量作通俗的解釋，以增強(qiáng)本書的可讀性。　　學(xué)習(xí)本書所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是微積分、線性代數(shù)和常微分方程，這是一般理工科大學(xué)生都已具備的。為便于自學(xué)，各章后均附有習(xí)題，書后有習(xí)題參考答案和提示。為便于上機(jī)計(jì)算實(shí)習(xí)，本書第11章介紹了功能強(qiáng)大的工具軟件MATLAB，對(duì)書中涉及的大部分算法都編寫了程序或提供了命令。為便于讀者直接使用，對(duì)書中的部分例題和習(xí)題給出了MATLAB的計(jì)算演示，這是作者為提高本書應(yīng)用性而進(jìn)行的一種嘗試，希望能得到師生們的認(rèn)可。　　本教材的出版得到了高等教育出版社的張長虹、董達(dá)英的指正和幫助，在此表示衷心的感謝。鑒于作者的水平，書中的問題和不足之處在所難免。誠盼得到同行和讀者的批評(píng)指正，以期本書修訂時(shí)得以改進(jìn)和提高。

內(nèi)容概要

　　本書系統(tǒng)地介紹了數(shù)值計(jì)算的基本概念、常用算法及有關(guān)的理論分析和應(yīng)用，概念敘述清晰，語言通俗易懂，力求內(nèi)容完整和算法實(shí)用。
　　全書包括數(shù)值線性代數(shù)、數(shù)值逼近、微分方程數(shù)值求解和將MATLAB軟件應(yīng)用于基本數(shù)值計(jì)算問題等內(nèi)容。每章在給出典型例題的同時(shí)還配備了一定數(shù)量的習(xí)題，并在書后給出習(xí)題的提示和解答。另外，對(duì)部分例題和習(xí)題還給出了MATLAB的計(jì)算演示。
　　本書可作為工科類碩士研究生和數(shù)學(xué)類專業(yè)本科少學(xué)時(shí)的數(shù)值分析課程的教科書，還可供工程技術(shù)人員參考。

書籍目錄

第1章 數(shù)值計(jì)算中的誤差
1.1 誤差的來源與分類
1.1.1 誤差的來源與分類
1.1.2 誤差的基本概念
1.1.3 誤差的分析方法
1.2 數(shù)值運(yùn)算時(shí)誤差的傳播
1.2.1 一元函數(shù)計(jì)算的誤差傳播
1.2.2 多元函數(shù)計(jì)算的誤差傳播
1.2.3 四則運(yùn)算中的誤差傳播
1.3 數(shù)值計(jì)算時(shí)應(yīng)注意的問題
1.3.1 避免相近的數(shù)作減法運(yùn)算
1.3.2 避免分式中分母的絕對(duì)值遠(yuǎn)小于分子的絕對(duì)值
1.3.3 防止大數(shù)“吃”小數(shù)
1.3.4 簡化計(jì)算量
1.3.5 病態(tài)問題數(shù)值算法的穩(wěn)定性
習(xí)題1
第2章 線性方程組的直接解法
2.1 引言
2.2 Gauss消去法
2.2.1 Gauss消去法的基本思想
2.2.2 Gauss消去法的計(jì)算公式
2.2.3 Gauss消去法的條件
2.3 Gauss主元素法
2.3.1 列主元消去法
2.3.2 全主元消去法
2.4 Gauss-Jordan消去法
2.4.1 Gauss-Jordan消去法
2.4.2 方陣的求逆
2.5 矩陣的Lu分解
2.5.1 矩陣的LU分解
2.5.2 Doolittle分解
2.5.3 Crout分解
2.5.4 列主元三角分解
2.6 平方根法
2.6.1 矩陣的LDU分解
2.6.2 Cholesky分解
2.6.3 SF方根法
2.6.4 改進(jìn)的平方根法
2.6.5 行列式的求法
2.7 追趕法
2.8 向量和矩陣的范數(shù)
2.8.1 向量范數(shù)
2.8.2 矩陣范數(shù)
2.8.3 譜半徑
2.8.4 條件數(shù)及病態(tài)方程組
習(xí)題2
第3章 線性方程組的迭代解法
3.1 迭代法的一般形式
3.2 幾種常用的迭代公式
3.2.1 Jacobi方法
3.2.2 Gauss-Seidel迭代法
3.2.3 逐次超松弛法
3.3 迭代法的收斂條件
3.3.1 從迭代矩陣判斷收斂
3.3.2 從系數(shù)矩陣判斷收斂
3.4 共軛梯度法
3.4.1 變分原理
3.4.2 最速下降法
3.4.3 共軛梯度法
習(xí)題3
第4章 方陣特征值和特征向量的計(jì)算
4.1 乘冪法
4.1.1 乘冪法
4.1.2 改進(jìn)的乘冪法
4.1.3 反冪法
4.1.4 原點(diǎn)平移加速技術(shù)
4.2 Jacobi方法
4.2.1 平面旋轉(zhuǎn)矩陣
4.2.2 古典Jacobi方法
4.2.3 Jacobi過關(guān)法
4.3 QR方法
4.3.1 Householder變換
4.3.2 LR分解
4.3.3 QR分解
習(xí)題4
第5章 非線性方程求根
5.1 二分法
5.2 不動(dòng)點(diǎn)迭代法
5.2.1 不動(dòng)點(diǎn)與不動(dòng)點(diǎn)迭代法
5.2.2 不動(dòng)點(diǎn)迭代法的收斂性
5.2.3 迭代法的收斂速度
5.3 Newton迭代法
5.3.1 Newton迭代法
5.3.2 割線法
5.4 Aitken加速方法與重根迭代法
5.4.1 Aitken加速方法
5.4.2 重根的迭代
5.5 非線性方程組求根
5.5.1 不動(dòng)點(diǎn)迭代法
5.5.2 Newton迭代法
5.5.3.Newton法的一些改進(jìn)方案
習(xí)題5
第6章 插值法
6.1 Lagrange插值
6.1.1 Lagrange插值多項(xiàng)式
6.1.2 插值余項(xiàng)，
6.2 Newton插值法
6.2.1 差商
6.2.2 Newton插值多項(xiàng)式
6.3 差分與用差分表示的插值多項(xiàng)式
6.3.1 差分的概念和性質(zhì)
6.3.2 常見的差分插值多項(xiàng)式
6.4 Aitken插值
6.5 Helmite插值
6.6 分段插值
6.6.1 Runge振蕩現(xiàn)象
6.6.2 插值多項(xiàng)式數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性
6.6.3 分段線性插值
6.6.4 分段三次Hermite插值
6.7 樣條插值
6.7.1 樣條插值的基本概念
6.7.2 三彎矩插值法
6.7.3 三轉(zhuǎn)角插值法
習(xí)題6
第7章 函數(shù)逼近與曲線擬合
7.1 逼近的概念
7.2 最佳平方逼近
7.2.1 函數(shù)的最佳平方逼近
7.2.2 用多項(xiàng)式作最佳平方逼近
7.2.3 用正交函數(shù)系作最佳平方逼近
7.3 正交多項(xiàng)式及其性質(zhì)
7.3.1 正交多項(xiàng)式
7.3.2 正交多項(xiàng)式的性質(zhì)
7.3.3 常見的正交多項(xiàng)式
7.3.4 正交多項(xiàng)式的應(yīng)用
7.4 數(shù)據(jù)擬合與最小二乘法
7.4.1 最小二乘法
7.4.2 多項(xiàng)式擬合
7.4.3 用正交多項(xiàng)式作曲線擬合
7.5 超定線性方程組的最小二乘解
習(xí)題7
第8章 數(shù)值積分與數(shù)值微分
8.1 求積公式
8.1.1 問題的提出
8.1.2 數(shù)值積分的基本思想
8.1.3 代數(shù)精度
8.1.4 插值型求積公式
8.2 Newton. Cotes公式
8.2.1 Newton. Cotes公式
8.2.2 常見的Newton-Cotes公式
8.2.3 Newton. Cotes公式的穩(wěn)定性
8.3 復(fù)化求積公式_
8.3.1 復(fù)化梯形公式
……
第9章 常微分方程的數(shù)值解法
第10章 偏微分方程的有限差分解法
第11章 MATLAB軟件與數(shù)值計(jì)算

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