出版時間:2010-6 出版社:高等教育出版社 作者:邱森 編 頁數(shù):400 字數(shù):480000
前言
微積分猶如一個儲量豐富的礦藏,并非通過一次性的挖掘,就能窮盡對它的開掘,多次探究和多次應(yīng)用猶如多次挖掘,每次都會有新的發(fā)現(xiàn)、新的收獲,一次又一次的創(chuàng)新發(fā)現(xiàn),一次又一次的經(jīng)驗積累,會使我們站得更高,看得更遠,想得更細,理解更深刻,思維更活躍,創(chuàng)新意識也更強?! ”緯?0個微積分探究性課題和應(yīng)用性課題。 探究性課題學習即數(shù)學探究,是指圍繞某個數(shù)學問題自主探究的過程,探究過程常常包括:觀察分析數(shù)學事實,提出有意義的數(shù)學問題,特例探討,聯(lián)想類比,合情推理,猜想試探,失敗更正,改進擴充等。辛普森公式對二次函數(shù)是精確的,那么對三次函數(shù)精確嗎?由定積分導出算術(shù)平均、幾何平均、調(diào)和平均和對數(shù)平均等平均值之間的不等關(guān)系等,在實際問題中,也有不少值得探究的問題(例如,光的反射定律的原理和利潤最大化基本法則的數(shù)學原理等)?! ?yīng)用性課題的素材來源于物理、生命科學、經(jīng)濟學和工程技術(shù)等各個領(lǐng)域,它們反映了當今社會對數(shù)學的需求,也體現(xiàn)了數(shù)學的自身價值。各課題中建立的數(shù)學模型(例如,伽利略實驗的數(shù)學模型,藥的用量模型,飲食模型,邏輯斯蒂增長模型,傳染病傳播的模型和離散的邏輯斯蒂增長模型等)都具有一定的實際背景,有一定的應(yīng)用價值,不少還具有較強的真實性,有較強的科普意義。 本書探究性強,應(yīng)用性也強,為創(chuàng)新活動構(gòu)筑了平臺,為成功提供了更多的機會。同時本書起點低、意境高,各課題的預(yù)備知識基本上都是已學過的微積分知識。課題采用問題串的形式,圍繞中心問題,由淺入深,給以啟發(fā)、引導。許多課題在曲徑通“幽”處,還會得到一些意想不到的有趣的結(jié)果,引人入勝。課題中設(shè)置了思考題,供讀者思考、探究,讀者甚至還可以從本書提供的課題以及背景材料中,自己發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,進行自主研究,發(fā)揮自己的想象力和創(chuàng)造力,嘗試數(shù)學研究的過程和經(jīng)歷數(shù)學建模的全過程。
內(nèi)容概要
本書包括70個微積分探究性和應(yīng)用性課題,這些課題背景豐富,內(nèi)容新穎,結(jié)果深刻有趣。對各課題不過分強調(diào)技巧難度,都可以從不同層次進行探討。對每個課題都在設(shè)置情境后,提出中心問題,讓讀者圍繞它自主探究。書中采用問題串的形式,給讀者以啟發(fā)、引導,幫助他們明晰探究思路。每個課題都附有詳盡的解答,并設(shè)置了思考題,供讀者思考、探究。 本書可作為高等學校理工科專業(yè)微積分課程的探究性學習用書,也可供大學本科學生撰寫論文時參考使用。
書籍目錄
1.拋物線的割線和切線的平行性問題2.光的反射定律的原理3.新的導數(shù)——*-導數(shù)和分數(shù)階導數(shù)4.最短的折痕5.薩拉米(Salami)曲線6.“視角”最大的指數(shù)函數(shù)7.怎樣使產(chǎn)品的批量生產(chǎn)和產(chǎn)品的訂購量最經(jīng)濟8.圍欄的優(yōu)化問題9.罐頭外殼的設(shè)計10.最小平均成本11.利潤最大化基本法則12.需求的價格彈性13.錐體的最值問題14.梯子問題15.洛必達的滑輪問題16.赫爾萊(Helley)射擊準則17.從塔上射彈,仰角多少射得最遠18.拋物線的切線交點的性質(zhì)19.泰勒級數(shù)在狹義相對論中的應(yīng)用20.列積分法21.積分∫trdt(r∈R)中的例外∫1/t dt22.二階導數(shù)為零的點23.三次函數(shù)拐點的特殊性質(zhì)24.球體的浮力問題25.曲線與切線之間面積的最小化問題26.從弧長與弦長之比來看“以直代曲”27.拋物線弓形的最小值問題28.心輸出量的測定29.由定積分導出的平均值之間的不等關(guān)系30.對數(shù)函數(shù)曲線的割線的性質(zhì)31.梯形法誤差估計式的證明32.辛普森公式對三次函數(shù)精確嗎?33.攪拌槽問題34.碳-14年齡測定法35.牛頓冷卻定律36.飲食模型37.大湖污染凈化的模型38.曳物線39.等速下降曲線40.懸鏈線41.用微分方程表述圓錐曲線42.物體上拋時上升快還是下降快?43.球體、球殼、圓柱體、空心圓柱體中哪個滾得快?44.伽利略實驗的數(shù)學模型45.牛頓法迭代過程的收斂性與穩(wěn)定性46.累次指數(shù)47.藥的用量模型48.廣義幾何數(shù)列49.1nN(N=2,3,)的級數(shù)展開50.歐拉常數(shù)51.沃利斯(Wallis)積52.極限lim x→0 sinx/x=1能推廣到二元函數(shù)去嗎?53.具有“面積不變性”的函數(shù)54.柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)生產(chǎn)函數(shù)55.泊肅葉(Poiseuille)定律在醫(yī)學上的應(yīng)用56.血液流動中有關(guān)供氧量和血流量的問題57.方向?qū)?shù)在二元函數(shù)極值判定中的應(yīng)用58.金屬線的分割問題59.帕波斯(Pappus)定理60.由y=xn和y=■所圍區(qū)域的質(zhì)心61.仿射函數(shù)的平均值62.邏輯斯蒂增長模型63.傳染病傳播的數(shù)學模型64.離散的邏輯斯蒂增長模型(與混沌)65.離散動態(tài)系統(tǒng)66.開普勒(Kepler)定律的證明67.彈性桿與δ函數(shù)68.彈性梁與樣條函數(shù)69.熱傳導問題70.傅里葉級數(shù)與傅里葉變換附錄1 追逐線附錄2 1nk的級數(shù)展開式附錄3 能量積分附錄4 矩陣的三角分解思考題提示參考文獻
圖書封面
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