微積分課題精編

前言

　　微積分猶如一個(gè)儲(chǔ)量豐富的礦藏，并非通過(guò)一次性的挖掘，就能窮盡對(duì)它的開(kāi)掘，多次探究和多次應(yīng)用猶如多次挖掘，每次都會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)、新的收獲，一次又一次的創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)，一次又一次的經(jīng)驗(yàn)積累，會(huì)使我們站得更高，看得更遠(yuǎn)，想得更細(xì)，理解更深刻，思維更活躍，創(chuàng)新意識(shí)也更強(qiáng)?！　”緯?shū)包括70個(gè)微積分探究性課題和應(yīng)用性課題?！　√骄啃哉n題學(xué)習(xí)即數(shù)學(xué)探究，是指圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題自主探究的過(guò)程，探究過(guò)程常常包括：觀察分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，特例探討，聯(lián)想類(lèi)比，合情推理，猜想試探，失敗更正，改進(jìn)擴(kuò)充等。辛普森公式對(duì)二次函數(shù)是精確的，那么對(duì)三次函數(shù)精確嗎？由定積分導(dǎo)出算術(shù)平均、幾何平均、調(diào)和平均和對(duì)數(shù)平均等平均值之間的不等關(guān)系等，在實(shí)際問(wèn)題中，也有不少值得探究的問(wèn)題（例如，光的反射定律的原理和利潤(rùn)最大化基本法則的數(shù)學(xué)原理等）。　　應(yīng)用性課題的素材來(lái)源于物理、生命科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和工程技術(shù)等各個(gè)領(lǐng)域，它們反映了當(dāng)今社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)的需求，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的自身價(jià)值。各課題中建立的數(shù)學(xué)模型（例如，伽利略實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型，藥的用量模型，飲食模型，邏輯斯蒂增長(zhǎng)模型，傳染病傳播的模型和離散的邏輯斯蒂增長(zhǎng)模型等）都具有一定的實(shí)際背景，有一定的應(yīng)用價(jià)值，不少還具有較強(qiáng)的真實(shí)性，有較強(qiáng)的科普意義?！　”緯?shū)探究性強(qiáng)，應(yīng)用性也強(qiáng)，為創(chuàng)新活動(dòng)構(gòu)筑了平臺(tái)，為成功提供了更多的機(jī)會(huì)。同時(shí)本書(shū)起點(diǎn)低、意境高，各課題的預(yù)備知識(shí)基本上都是已學(xué)過(guò)的微積分知識(shí)。課題采用問(wèn)題串的形式，圍繞中心問(wèn)題，由淺入深，給以啟發(fā)、引導(dǎo)。許多課題在曲徑通“幽”處，還會(huì)得到一些意想不到的有趣的結(jié)果，引人入勝。課題中設(shè)置了思考題，供讀者思考、探究，讀者甚至還可以從本書(shū)提供的課題以及背景材料中，自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，進(jìn)行自主研究，發(fā)揮自己的想象力和創(chuàng)造力，嘗試數(shù)學(xué)研究的過(guò)程和經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程。

內(nèi)容概要

本書(shū)包括70個(gè)微積分探究性和應(yīng)用性課題，這些課題背景豐富，內(nèi)容新穎，結(jié)果深刻有趣。對(duì)各課題不過(guò)分強(qiáng)調(diào)技巧難度，都可以從不同層次進(jìn)行探討。對(duì)每個(gè)課題都在設(shè)置情境后，提出中心問(wèn)題，讓讀者圍繞它自主探究。書(shū)中采用問(wèn)題串的形式，給讀者以啟發(fā)、引導(dǎo)，幫助他們明晰探究思路。每個(gè)課題都附有詳盡的解答，并設(shè)置了思考題，供讀者思考、探究。    本書(shū)可作為高等學(xué)校理工科專(zhuān)業(yè)微積分課程的探究性學(xué)習(xí)用書(shū)，也可供大學(xué)本科學(xué)生撰寫(xiě)論文時(shí)參考使用。

書(shū)籍目錄

1．拋物線的割線和切線的平行性問(wèn)題2．光的反射定律的原理3．新的導(dǎo)數(shù)——*-導(dǎo)數(shù)和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)4．最短的折痕5．薩拉米(Salami)曲線6．“視角”最大的指數(shù)函數(shù)7．怎樣使產(chǎn)品的批量生產(chǎn)和產(chǎn)品的訂購(gòu)量最經(jīng)濟(jì)8．圍欄的優(yōu)化問(wèn)題9．罐頭外殼的設(shè)計(jì)10．最小平均成本11．利潤(rùn)最大化基本法則12．需求的價(jià)格彈性13．錐體的最值問(wèn)題14．梯子問(wèn)題15．洛必達(dá)的滑輪問(wèn)題16．赫爾萊(Helley)射擊準(zhǔn)則17．從塔上射彈，仰角多少射得最遠(yuǎn)18．拋物線的切線交點(diǎn)的性質(zhì)19．泰勒級(jí)數(shù)在狹義相對(duì)論中的應(yīng)用20．列積分法21．積分∫trdt(r∈R)中的例外∫1/t dt22．二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)23．三次函數(shù)拐點(diǎn)的特殊性質(zhì)24．球體的浮力問(wèn)題25．曲線與切線之間面積的最小化問(wèn)題26．從弧長(zhǎng)與弦長(zhǎng)之比來(lái)看“以直代曲”27．拋物線弓形的最小值問(wèn)題28．心輸出量的測(cè)定29．由定積分導(dǎo)出的平均值之間的不等關(guān)系30．對(duì)數(shù)函數(shù)曲線的割線的性質(zhì)31．梯形法誤差估計(jì)式的證明32．辛普森公式對(duì)三次函數(shù)精確嗎？33．?dāng)嚢璨蹎?wèn)題34．碳-14年齡測(cè)定法35．牛頓冷卻定律36．飲食模型37．大湖污染凈化的模型38．曳物線39．等速下降曲線40．懸鏈線41．用微分方程表述圓錐曲線42．物體上拋時(shí)上升快還是下降快？43．球體、球殼、圓柱體、空心圓柱體中哪個(gè)滾得快？44．伽利略實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型45．牛頓法迭代過(guò)程的收斂性與穩(wěn)定性46．累次指數(shù)47．藥的用量模型48．廣義幾何數(shù)列49．1nN(N=2，3，)的級(jí)數(shù)展開(kāi)50．歐拉常數(shù)51．沃利斯(Wallis)積52．極限lim x→0 sinx/x=1能推廣到二元函數(shù)去嗎？53．具有“面積不變性”的函數(shù)54．柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)生產(chǎn)函數(shù)55．泊肅葉(Poiseuille)定律在醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用56．血液流動(dòng)中有關(guān)供氧量和血流量的問(wèn)題57．方向?qū)?shù)在二元函數(shù)極值判定中的應(yīng)用58．金屬線的分割問(wèn)題59．帕波斯(Pappus)定理60．由y=xn和y=■所圍區(qū)域的質(zhì)心61．仿射函數(shù)的平均值62．邏輯斯蒂增長(zhǎng)模型63．傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型64．離散的邏輯斯蒂增長(zhǎng)模型(與混沌)65．離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)66．開(kāi)普勒(Kepler)定律的證明67．彈性桿與δ函數(shù)68．彈性梁與樣條函數(shù)69．熱傳導(dǎo)問(wèn)題70．傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換附錄1  追逐線附錄2  1nk的級(jí)數(shù)展開(kāi)式附錄3  能量積分附錄4  矩陣的三角分解思考題提示參考文獻(xiàn)

圖書(shū)封面

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