吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集學(xué)習(xí)指引（第1冊）

前言

當(dāng)年學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析時，我們和很多同學(xué)一樣，慕名選取《吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》（以下簡稱為《習(xí)題集》）來訓(xùn)練和檢驗自己的解題能力，鞏固和加深對課程基本內(nèi)容的理解。在使用該書中，有的題在通過艱苦的思考后有所收獲，有的題需要請教老師或同學(xué)才能解決。從中我們往往發(fā)現(xiàn)困難的原因，有的是由于知識的不足，而更多的則是思維能力的欠缺和數(shù)學(xué)方法方面的匱乏。工作后我們有幸從事數(shù)學(xué)分析課程的講授，在多年的教學(xué)實踐中對于學(xué)習(xí)解題的重要性有了更深的體會。僅僅將解法表達(dá)清楚還只是第一步，關(guān)鍵是使得學(xué)生在解題的思考過程和方法方面有所收獲，而這也是數(shù)學(xué)分析課程必然要承擔(dān)的任務(wù)。無獨有偶，高等教育出版社的趙天夫編輯也有上述類似的觀點。他約請我們?yōu)樽钚掳娴摹都锥嗑S奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》f根據(jù)俄文2003年版翻譯）編寫學(xué)習(xí)指引，這就是本書（以下簡稱為《指引》）的由來。在《習(xí)題集》中既有為初學(xué)者而設(shè)的入門題，也有達(dá)到考研水平的難題，既有理工科都需要訓(xùn)練的基本計算題，也有理科教學(xué)中必須學(xué)習(xí)的證明題，此外還包含了許多有趣的應(yīng)用題，因此該書具有特別巨大的讀者群體。為此我們在編寫這本《指引》時必然要考慮到不同層次讀者的不同需要。一方面，如達(dá)。芬奇教學(xué)生畫畫時從畫蛋入手，“千里之行，始于足下”，《指引》的每一節(jié)都從基本題和基本的思維方法開始。另一方面，在本書中力求不回避任何困難，因為解決《習(xí)題集》中的部分較難習(xí)題的過程正是培養(yǎng)獨立思考和發(fā)揮自己的創(chuàng)造才能的極佳機(jī)會。此外，為提供新的工具或解決某些問題的需要，本書還增加了若干命題。我們希望本書對于從初學(xué)者直到已經(jīng)學(xué)過微積分的許多不同讀者都能提供適當(dāng)?shù)膸椭?。“授人以魚不如授人以漁”。在講解習(xí)題的解答時，我們希望回答“它是如何想出來的”，這樣才不至于做了一百道題之后還不知道如何去解第一百零一道題。當(dāng)然這在很爹隋況下是幾乎不可能完成的任務(wù)，但我們?nèi)匀慌亩鄠€方面去接近這樣的目標(biāo)?！吨敢分羞x擇了部分題寫出解答，或只作分析，其目的是為了介紹方法，而不是“就題論題”地列出其答案。一方面，我們要求一法多用，而且還希望突出方法的出發(fā)點、其中所用的技巧或者其背后的數(shù)學(xué)思想。另一方面，對于很多題我們又給出一題多解，特別是在解法的簡潔易懂和生動有力方面下功夫。這是為了從多種角度去探索問題的核心所在，在尋找更完美的解法中提高對數(shù)學(xué)的鑒賞水平以及我們自身的思維能力。在《習(xí)題集》中有各種類型的題，其中還包含了許多基本定理。讀者很需要了解它們的意義。在《指引》中經(jīng)常通過注解等形式對習(xí)題解釋其意義，點明其來龍去脈，指出在《習(xí)題集》內(nèi)部的前后關(guān)照，以及說明它們與數(shù)學(xué)分析以外知識的聯(lián)系?！吨敢分匾曂ㄟ^直觀的幾何圖像發(fā)展形象思維的能力。凡是幾何思維對揭示問題本質(zhì)有益之處盡可能配以相應(yīng)的插圖。第一冊中的插圖總數(shù)超過180幅，此外還有兩個附錄中的300多幅的函數(shù)圖像。所有圖形都用PSTricks軟件繪出。

內(nèi)容概要

《吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》是最為經(jīng)典的微積分習(xí)題集，自20世紀(jì)50年代引進(jìn)以來，對我國半個多世紀(jì)的微積分和高等數(shù)學(xué)的教與學(xué)產(chǎn)生了重大的影響。本書是為該習(xí)題集的俄文2003年版的中譯本編寫的學(xué)習(xí)指引。全書分三冊出版，第一冊為分析引論和一元微分學(xué)，第二冊為一元積分學(xué)與級數(shù)，第三冊為多元微積分。    本書通過對習(xí)題集中的部分典型習(xí)題的講解與分析，由淺入深、分層次、分類型地介紹微積分的解題思路，講道理、講方法，揭示出習(xí)題集中的豐富多彩的內(nèi)容和結(jié)構(gòu)，特別注重一法多用、一題多解和發(fā)展幾何直觀的形象思維，同時通過補(bǔ)注、命題等多種方式補(bǔ)充介紹與習(xí)題有關(guān)的背景知識和聯(lián)系，不回避任何難點，為讀者更有效地利用該習(xí)題集掌握微積分的基本功提供適當(dāng)?shù)膸椭?   本書適用于正在學(xué)習(xí)微積分的大學(xué)生和需要提高自己數(shù)學(xué)水平與能力的各類自學(xué)者，對于講授微積分或高等數(shù)學(xué)的教師和準(zhǔn)備考研的學(xué)生也有參考價值。

書籍目錄

使用說明第一章  分析引論  1.1  實  數(shù)(習(xí)題1-40)    1.1.1  數(shù)學(xué)歸納法(習(xí)題1-10)    1.1.2  有理數(shù)集的分割(習(xí)題11-13)    1.1.3  確界的定義與性質(zhì)(習(xí)題15-20)    1.1.4  含有絕對值的不等式(習(xí)題21-30)    1.1.5  絕對誤差和相對誤差(習(xí)題31-40)    1.1.6  補(bǔ)注(習(xí)題5，14)  1.2  數(shù)列理論(習(xí)題41-150)    1.2.1  極限的定義與計算(習(xí)題41-57)    1.2.2  幾個極限證明題(習(xí)題58-68)    1.2.3  與數(shù)e有關(guān)的習(xí)題(習(xí)題69-75(a)，146-147)    1.2.4  單調(diào)有界數(shù)列收斂定理(習(xí)題77-81)    1.2.5  柯西收斂準(zhǔn)則(習(xí)題82-88)    1.2.6  予列、聚點與上下極限(習(xí)題89-134)    1.2.7  柯西命題和施托爾茨定理(習(xí)題138-145)    1.2.8  迭代生成的數(shù)列(習(xí)題148-150)    1.2.9  補(bǔ)注(習(xí)題76，75(b)，136-137，135)  1.3  函數(shù)的概念(習(xí)題151-236)    1.3.1  關(guān)于函數(shù)概念的基本訓(xùn)練(習(xí)題151-196)    1.3.2  擬合與插值(習(xí)題197-202)    1.3.3  復(fù)合函數(shù)(習(xí)題203-213.2)    1.3.4  單調(diào)性、反函數(shù)和奇偶性(習(xí)題214-232)    1.3.5  周期函數(shù)(習(xí)題233-236)    1.3.6  補(bǔ)注  1.4  函數(shù)的圖像表示(習(xí)題237-380)    1.4.1  有理函數(shù)的圖像(習(xí)題237-265)    1.4.2  無理函數(shù)、冪函數(shù)和初等超越函數(shù)的圖像(習(xí)題266-324.2)    1.4.3  關(guān)于圖像運算的一般規(guī)律(習(xí)題325-367)    1.4.4  反函數(shù)、用參數(shù)表示的函數(shù)和隱函數(shù)的圖像(習(xí)題368-370.2)    1.4.5  極坐標(biāo)系中的函數(shù)圖像(習(xí)題371.1-371.3)    1.4.6  用函數(shù)圖像求方程(組)的近似解(習(xí)題372-380)    1.4.7  補(bǔ)注  1.5  函數(shù)的極限(習(xí)題381-644)    1.5.1  有界性、確界和振幅(習(xí)題381-400)    1.5.2  函數(shù)極限的定義(習(xí)題401-407)    1.5.3  有理函數(shù)的極限計算(習(xí)題408-434)    1.5.4  無理函數(shù)的極限計算(習(xí)題435-470)    1.5.5  初等超越函數(shù)的極限計算(習(xí)題471-591，602，604-605)    1.5.6  雜題(習(xí)題592-601，603，613-636，641-644)    1.5.7  補(bǔ)注(習(xí)題606-612，637-640)  1.6  符號O(習(xí)題645-661)  1.7  函數(shù)的連續(xù)性(習(xí)題662-758)    1.7.1  連續(xù)性的定義(習(xí)題662-674)    1.7.2  連續(xù)性分析與作圖(習(xí)題675-733)    1.7.3  連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)(習(xí)題734-747，749-750)    1.7.4  連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)(習(xí)題751，753-757)    1.7.5  補(bǔ)注(習(xí)題748，752，758)  1.8  反函數(shù).由參數(shù)方程確定的函數(shù)(習(xí)題759-784)    1.8.1  反函數(shù)的存在性(習(xí)題759-766)    1.8.2  反函數(shù)的單值連續(xù)分支(習(xí)題767-779)    1.8.3  由參數(shù)方程確定的函數(shù)(習(xí)題780-784)  1.9  函數(shù)的一致連續(xù)性(習(xí)題785-808)    1.10  函數(shù)方程(習(xí)題809-820)    1.10.1  柯西方法(習(xí)題809-820)185    1.10.2  補(bǔ)注第二章  一元微分學(xué)  2.1  顯函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(習(xí)題821-1033)    2.1.1  導(dǎo)數(shù)的定義(習(xí)題821-833)    2.1.2  導(dǎo)數(shù)的計算(習(xí)題834-989)    2.1.3  雜題(習(xí)題990-1023)    2.1.4  應(yīng)用題(習(xí)題1024-1033)  2.2  反函數(shù)、用參數(shù)表示的函數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(習(xí)題1034-1054)    2.2.1  反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(習(xí)題1034-1037)    2.2.2  用參數(shù)表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(習(xí)題1038-1047)    2.2.3  隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(習(xí)題1048-1054)  2.3  導(dǎo)數(shù)的幾何意義(習(xí)題1055-1082)  2.4  函數(shù)的微分(習(xí)題1083-1110)  2.5  高階導(dǎo)數(shù)和微分(習(xí)題1111-1234)    2.5.1  顯函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)和微分的計算(習(xí)題1111-1139)    2.5.2  非顯函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)和微分的計算(習(xí)題1140-1150)    2.5.3  應(yīng)用題(習(xí)題1151-1155)    2.5.4  高階導(dǎo)數(shù)與微分計算(續(xù))(習(xí)題1156-1185)    2.5.5  n階導(dǎo)數(shù)與微分計算(習(xí)題118L1234)  2.6  羅爾定理.拉格朗日定理和柯西定理(習(xí)題1235-1267)    2.6.1  羅爾定理(習(xí)題1235-1243)    2.6.2  拉格朗日中值定理(習(xí)題1244-1251)    2.6.3  柯西中值定理(習(xí)題1252-1253)261    2.6.4  中值定理的其他應(yīng)用(習(xí)題1254-1265)262    2.6.5  補(bǔ)注(習(xí)題1266-1267)  2.7  函數(shù)的遞增與遞減.不等式(習(xí)題1268-1297)    2.7.1  單調(diào)性分析(習(xí)題1268-1287)    2.7.2  不等式(習(xí)題1288-1295，1297)    2.7.3  補(bǔ)注(習(xí)題1296)  2.8  凹凸性.拐點(習(xí)題1298-1317)    2.8.1  凹凸性分析(習(xí)題1298-1310，1313)    2.8.2  與凹凸性有關(guān)的一些證明題(習(xí)題1311-1312，131L1317)    2.8.3  補(bǔ)注  2.9  不定式極限(習(xí)題1318-1375)    2.9.1  不定式計算Ⅰ(習(xí)題1318-1338，1358-1360，1367，1368(b))    2.9.2  不定式計算Ⅱ(習(xí)題1339-1357，1361-1366，1368(a)，1369-1370)    2.9.3  雜題(習(xí)題1371-1375)    2.9.4  補(bǔ)注  2.10  泰勒公式(習(xí)題1376-1413)    2.10.1  泰勒公式計算(習(xí)題1376-1392)    2.10.2  若干證明題(習(xí)題1393)    2.10.3  近似計算與誤差估計(習(xí)題1394-1397)    2.10.4  局部泰勒公式的一些應(yīng)用(習(xí)題1398-1413)  2.11  函數(shù)的極值.函數(shù)的最大值和最小值(習(xí)題1414-1470)    2.11.1  極值的研究(習(xí)題1414-1428)    2.11.2  極值、最值和確界的計算(習(xí)題1429-1455)    2.11.3  不等式證明(習(xí)題1456)    2.11.4  偏差計算(習(xí)題1457-1461)    2.11.5  根的個數(shù)問題(習(xí)題1462-1470)    2.11.6  補(bǔ)注  2.12  根據(jù)特征點作函數(shù)圖像(習(xí)題1471-1555)    2.12.1  有理函數(shù)的圖像(習(xí)題1471-1483)    2.12.2  無理函數(shù)與初等超越函數(shù)的圖像(習(xí)題1484-1530)    2.12.3  參數(shù)方程與隱函數(shù)方程表示的曲線(習(xí)題1531-1545)    2.12.4  極坐標(biāo)系中的函數(shù)圖像(習(xí)題1546-1550)    2.12.5  曲線族的圖像(習(xí)題1551-1555)    2.12.6  補(bǔ)注  2.13  函數(shù)的極大值和極小值問題(習(xí)題1556-1590)  2.14  曲線相切.曲率圓.漸屈線(習(xí)題1591-1616)  2.15  方程的近似解(習(xí)題1617-1627)附錄一  1.4的圖像參考答案附錄二  2.12的圖像參考答案附錄三  命題索引參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

插圖：內(nèi)容簡介本節(jié)的習(xí)題可分為以下部分：數(shù)學(xué)歸納法與若干恒等式和初等不等式、有理數(shù)集的戴德金分割與實數(shù)的定義、確界定義與性質(zhì)、與絕對值有關(guān)的不等式和等式、絕對誤差與相對誤差。按照以上內(nèi)容分小節(jié)敘述。最后的補(bǔ)注小節(jié)解答較難的習(xí)題，對數(shù)學(xué)歸納法作補(bǔ)充，并證明本書將經(jīng)常使用的平均值不等式。1.1.1 數(shù)學(xué)歸納法（習(xí)題1-10）數(shù)學(xué)歸納法是本書所用的基本方法之一。這里的習(xí)題1-5是關(guān)于正整數(shù)幾的恒等式，習(xí)題6-10是關(guān)于n的不等式，它們都是高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的結(jié)果，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的好材料。由于數(shù)學(xué)歸納法是中學(xué)數(shù)學(xué)的必修內(nèi)容，這里不再對它從頭開始作介紹，而只是作一些補(bǔ)充。數(shù)學(xué)歸納法是用于數(shù)學(xué)證明的一種工具。凡是與正整數(shù)n有關(guān)的命題，不論是恒等式還是不等式，都有可能用數(shù)學(xué)歸納法給出證明。如果證明成功了，則就認(rèn)為該命題在數(shù)學(xué)上已經(jīng)確認(rèn)為真。但是與正整數(shù)有關(guān)的命題也有很多不能用數(shù)學(xué)歸納法給出證明，這就是說數(shù)學(xué)歸納法不是萬能的。

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《吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集學(xué)習(xí)指引(第1冊)》是由高等教育出版社出版的。

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